【数学】2020届一轮复习（理）通用版函数与方程思想专练作业
函数与方程思想专练
一、选择题
1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝( )
A． B． C． D．4
答案 C
解析 如图，令|F1P|＝r1，
|F2P|＝r2，
那么
⇒⇒r2＝．故选C．
2．(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A． B． C．－ D．－
答案 C
解析 依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－．故选C．
3．设a>1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为( )
A．{a|1
1，由此解得a≥2．故选B．
4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0
答案 B
解析 原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y．
即2x－x≤2－y－－y．
故设函数f(x)＝2x－x，
f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0．故选B．
5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0．5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( )
A．1＋ 米 B．2米
C．(1＋) 米 D．(2＋) 米
答案 D
解析 由题意，设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，则AB＝AC－0．5＝(t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因x
>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋当且仅当x＝1＋时取等号，此时t取最小值2＋．故选D．
二、填空题
6．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．
答案 (－∞，－2 ]∪[2，＋∞)
解析 由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2．
7．若存在两个正实数x，y，使得等式x3e－ay3＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最小值为________．
答案
解析 由题意知a＝，设＝t(t>0)，则令f(t)＝，则f′(t)＝，当t>3时，f′(t)>0，当00)，
则BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知
＋＝0，
解得x＝1，所以BC＝5．
10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5＝20，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．
解 (1)设数列{an}的公差为d，则
即
又因为d≠0，所以所以an＝n＋1．
(2)因为＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋…＋－
＝－＝．
因为存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，
所以存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立，
即存在n∈N*，使λ≤成立．
又＝，
且≤(当且仅当n＝2时取等号)，
所以λ≤．即实数λ的取值范围是－∞，．
11．设函数f(x)＝ln x＋(a为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，
由f(x)＝ln x＋得f′(x)＝－，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f′(2)＝0，即－＝0，所以a＝．
(2)因为f′(x)＝－＝，
若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，
令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1．
设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1，
不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)，
若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，
即y＝φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以β>e，
又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0，
解得a>e＋－2，所以实数a的取值范围是e＋－2，＋∞．
12．(2018·河南联考)在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，记M的轨迹为T．
(1)求轨迹T的方程；
(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，
得＝，整理得＋y2＝1，
∴轨迹T的方程为＋y2＝1．
(2)假设存在直线m，设直线m的方程为x＝ky－1，
由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，
∴线段AB的中点H的坐标为．
∵PQ⊥AB，
∴直线PQ的方程为y－＝－k，
令y＝0，解得x＝－，即P．
设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称，
∴＝，＝(y0＋0)，
解得x0＝，y0＝，即Q．
∵点Q在椭圆上，∴2＋22＝2，
解得k2＝，
于是＝，即＝±，
∴直线m的方程为y＝x＋或y＝－x－．
