2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题：“若，则”的逆否命题是 A．若，则，或 B．若，则 C．若，或，则 D．若，或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则 故选．‎ ‎2．已知命题若，则；命题若，则．在命题①；②；③④中真命题的序号是（ ）．‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 是真命题，是假命题，是假命题，∴真命题是②③.‎ 点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ ‎3．命题“，”的否定是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题“，”是特称命题，其否定应为全称命题，存在改为任意，“”改为“”即可得结果．‎ ‎【详解】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，‎ 一是要将存在量词改写为全称量词，‎ 所以命题 “，”的否定是，．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎4．设则“且”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．‎ 考点：本题考查充分、必要、冲要条件。‎ 点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点。显然，后者是前者的一部分，所以选A。这种做法比分析中的做法更形象、更直观。‎ ‎5．已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的一个焦点为求得，根据离心率，可得的值，由可解得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的标准方程为，‎ 椭圆的一个焦点为，离心率，‎ ‎，解得．‎ 故椭圆的方程为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数求椭圆方程，属于简单题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎6．若经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为　　‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得的周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程求出，即可求出的周长．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ ‎，为椭圆的两个焦点，‎ ‎，，‎ 的周长为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程与椭圆的定义的应用，属于中档题．在求解与椭圆焦点有关的问题时，往往考虑应用椭圆的定义：.‎ ‎7．已知双曲线的一个焦点，且过点，则该双曲线的标准方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的一个焦点求得，根据双曲线过过点可得的值，由可得解得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的一个焦点，且过点，‎ 所以，；‎ ‎．‎ 该双曲线的标准方程是：．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于简单题．求解双曲线过程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.‎ ‎8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.‎ 详解：‎ 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.‎ 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.‎ ‎9．若抛物线顶点为，对称轴为x轴，焦点在上那么抛物线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，假设抛物线的标准方程，求得焦点坐标，代入3x﹣4y﹣12=0，从而可求抛物线的标准方程．‎ 解：∵抛物线顶点为（0，0），对称轴为x轴，‎ ‎∴设抛物线方程为：y2=ax．‎ ‎∴焦点坐标为（，0）‎ ‎∵焦点在3x﹣4y﹣12=0上 ‎∴3×﹣12=0‎ ‎∴a=16‎ ‎∴抛物线的方程为y2=16x 故选A．‎ 点评：本题以抛物线的性质为依托，考查抛物线的标准方程，假设抛物线的标准方程是关键．‎ ‎10．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.‎ 详解：在中，‎ 设，则，‎ 又由椭圆定义可知 则离心率，‎ 故选D.‎ 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.‎ ‎11．已知点，F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，当最小时，M点坐标是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2,4)．‎ ‎12．如图所示，和分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，根据是等边三角形以及双曲线的对称性可知，结合是圆的直径可表示出、，再由双曲线的定义可得，从而可求双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 连接，因为和是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，‎ 所以是圆的直径，‎ 则，‎ 因为是等边三角形，所以，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的方程与离心率，‎ 以及数形结合的思想的运用，属中档题．求离心率一般有以下几种方法：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．抛物线的焦点坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 抛物线的焦点坐标为 故答案为：‎ ‎14．与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，‎ 该双曲线经过点，‎ ‎．‎ 所求的双曲线方程为：，‎ 整理得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.‎ ‎15．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程求得渐近线方程，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，利用数形结合，可求出符合条件直线的斜率取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 双曲线的渐近线方程，‎ 当过焦点的直线与两条渐近线平行时，‎ 直线与双曲线右支分别只有一个交点 因为双曲线正在与渐近线无限接近中，‎ 由图可知，斜率不在的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线），‎ 斜率在的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线）．‎ 所以此直线的斜率的取值范围 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先由椭圆方程确定焦点位置，确定所求双曲线方程形式：，再根据两个独立条件求量：一是焦距，二是离心率，解方程组得，．‎ 试题解析：椭圆的焦点坐标为，， 2分 设双曲线的方程为， 3分 则， ， 9分 解得，．‎ 所以 双曲线的方程是．12分 考点：双曲线方程 ‎17．已知命题p：方程有负实数根；命题q：方程无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】1＜m＜2或m≥3‎ ‎【解析】‎ 先根据命题p和命题q为真的情况求出m的范围，再根据真值表列出与m的不等式组，最后利用不等式知识解得m的取值范围 解：p：方程有负根m＝－＝－(x+)≥2；q：方程无实数根∴1＜m＜3‎ ‎“p或q”为真命题，“p且q”为假命题∴p、 q一真一假∴1＜m＜2或m≥3‎ 所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3。‎ ‎18．椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．‎ ‎（1）当直线的斜率为时，求线段的长度；‎ ‎（2）当点恰好为线段的中点时，求的方程．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点斜式求出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点间的距离公式即可得到弦长；运用点差法，求得直线的斜率，由点斜式即可得到直线方程．‎ ‎【详解】‎ 直线l的方程为，即为，‎ 代入椭圆方程，可得 ‎，．‎ 即有；‎ 由P的坐标，可得，可得P在椭圆内，‎ 设，，‎ 则，，‎ 由中点坐标公式可得，，‎ 由可得，，‎ 将代入，可得 ‎，‎ 则所求直线的方程为，‎ 即为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和椭圆的位置关系，以及点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.‎ ‎19．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为．‎ 求抛物线的标准方程及准线方程．‎ 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长．‎ ‎【答案】(1) 抛物线方程为，准线方程为;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ 由抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，可得，从而可得抛物线方程与准线方程；设 ，由点斜式可得的方程为：，将直线方程与抛物线方程联立可得，利用焦半径公式，结合韦达定理可得.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且，，‎ 所以所求抛物线方程为，准线方程为．‎ 设 ，‎ 由抛物线定义可得A、B到准线的距离为，，‎ 于是，由已知得直线AB的方程为：，‎ 将代入抛物线方程，得，所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义与简单性质，以及直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎20．（本小题满分13分） 已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程 ‎【答案】(Ⅰ) 双曲线方程为(Ⅱ) 满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y=‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由双曲线焦点可得值，进而可得到的关系式，将点P代入双曲线可得到的关系式，解方程组可求得值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和O到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，求得直线方程 试题解析：（1）由已知及点在双曲线上得 解得；所以，双曲线的方程为．‎ ‎（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为 由 得 设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，‎ 且即且 ①‎ 这时 ，‎ 又 即 ‎ 所以 即 ‎ 又 适合①式 所以，直线的方程为与．‎ 另解：求出及原点到直线的距离,利用求解． 或求出直线与轴的交点，利用 求解 ‎21．已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切．‎ Ⅰ求椭圆C的方程；‎ Ⅱ设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点．‎ 若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；‎ 若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）直线过定点，该定点的坐标为；（ii）面积的取值范围为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据抛物线的焦点得，再结合椭圆几何条件得当点为椭圆的短轴端点时，△面积最大，此时，所以．（2）（i）证明直线过定点问题，一般方法以算代证，即求出直线方程，根据方程特征确定其过定点，本题关键求出之间关系即可得出直线过定点．由得，即，因此联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得；（ii）先分析条件：直线的斜率时直线，斜率的等比中项，即，，化简得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，这样三角形面积可用m表示，其中高利用点到直线距离得到，底边边长利用弦长公式得到：，最后根据基本不等式求最值 试题解析：（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，‎ 当点为椭圆的短轴端点时，△面积最大，此时，所以．‎ ‎，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，△面积的最大值为1，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）联立得，‎ ‎，得（*）‎ 设，，则，，‎ ‎（i），，由，得，‎ 所以，即，‎ 得，‎ 所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为．‎ ‎（ii）因为直线的斜率是直线，斜率的等比中项，所以，即，‎ 得，得，所以，又，所以，‎ 代入（*），得．‎ ‎．‎ 设点到直线的距离为，则，‎ 所以 ，‎ 当且仅当，即时，△面积取最大值．‎ 故△面积的取值范围为．‎ 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】1．求定值问题常见的方法有两种 ‎（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．定点的探索与证明问题 ‎（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎