2013福州5月份质检文数试卷(2)

2013福州5月份质检文数试卷(2)

‎2013年福州市高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷 ‎（完卷时间120分钟；满分150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；‎ ‎2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 样本数据，，，的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式 其中为底面面积，为高 锥体体积公式 其中为底面面积，为高 球的表面积、体积公式 ‎，‎ 其中为球的半径 ‎ ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ ‎1. 是虚数单位，复数，若的虚部为2，则 ‎ A．-2 B． 2 C．-1 D．1‎ ‎2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎3. 命题“存在，”的否定是 A．不存在， B．存在，‎ C．对任意的， D．对任意的，‎ ‎4.已知圆C：x2＋y2＝2与直线l：x＋y＋＝0，则圆C被直线l所截得的弦长为 A．1 B． C．2 D．‎ ‎5. 已知命题“直线与平面有公共点”是真命题，那么下列命题：‎ ‎①直线上的点都在平面内；‎ ‎②直线上有些点不在平面内；‎ ‎③平面内任意一条直线都不与直线平行．其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎6. 在正项等比数列中，已知，则的最小值为 A.64 B. 32 C. 16 D.8‎ ‎7. 如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ 第7题图 ‎8. 设动点满足，则的最小值是 A. 2 B. -4 C. -1 D. 4‎ ‎9. 如图所示为函数的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么.‎ A．2 B．1 C．-1 D．‎ ‎10. 已知=1， =，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n（m，n∈Ｒ），则=‎ 第9题图 A． B． C． D．1‎ ‎11. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎12.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数 ‎①，               ②，   ‎ ‎③，              ④ ， ‎ 其中在区间上存在“友好点”的有 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ 第15题图 开始 ‎_？___‎ ‎ ‎ 结束 输出y ‎ 是 否 输入x ‎ ‎13.已知函数，则 .‎ 14． ‎．已知在中，且三边长构成公差为2的等差数列， 则所对的边= .‎ 15． 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入，输出，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ ‎16.设数列｛an｝是集合｛3s＋3t| 0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的数从小到大排列成的数列，‎ 即a1＝4，a2＝10，a3＝12，a4＝28，a5＝30，a6＝36，…，‎ 将数列｛an｝中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：‎ ‎ 4‎ ‎ 10 12‎ ‎ 28 30 36‎ ‎ …‎ ‎= （用3s＋3t形式表示）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ 已知平面向量，若函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了 编号 性别 投篮成绩 ‎1‎ 男 ‎95‎ ‎8‎ 男 ‎85‎ ‎10‎ 男 ‎85‎ ‎20‎ 男 ‎70‎ ‎23‎ 男 ‎70‎ ‎28‎ 男 ‎80‎ ‎33‎ 女 ‎60‎ ‎35‎ 女 ‎65‎ ‎43‎ 女 ‎70‎ ‎48‎ 女 ‎60‎ 了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1~50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：‎ 编号 性别 投篮成绩 ‎2‎ 男 ‎90‎ ‎7‎ 女 ‎60‎ ‎12‎ 男 ‎75‎ ‎17‎ 男 ‎80‎ ‎22‎ 女 ‎83‎ ‎27‎ 男 ‎85‎ ‎32‎ 女 ‎75‎ ‎37‎ 男 ‎80‎ ‎42‎ 女 ‎70‎ ‎47‎ 女 ‎60‎ ‎ ‎ ‎ 甲抽取的样本数据 乙抽取的样本数据 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）观察乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，求两名男同学中恰有一名非优秀的概率．‎ ‎（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？‎ 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 ‎10‎ ‎（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎ 第20题图 K°‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且． （Ⅰ ）求多面体的体积； （Ⅱ ）求证：平面EAB⊥平面EBC；‎ ‎（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面内过K点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．‎ 第21题图 ‎21．(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆C：的离心率为，‎ 直线：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直 径的圆相切.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点.设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在，求出实数的取值范围，如果不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若,对都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：（且）.‎ ‎2013年福州市高中毕业班质量检查 数学（文科）试卷参考答案及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分．‎ ‎ 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分．‎ ‎ 13.1 14. 7 15. ②、③、④ 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎ 17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想,满分12分.‎ 解:（Ⅰ）当，时， 2分 又，也满足上式，‎ 所以数列{}的通项公式为． 3分 ‎，设公差为，则由成等比数列，‎ 得 ， 4分 解得（舍去）或， 5分 所以数列的通项公式为． 6分 ‎（Ⅱ）解： 8分 ‎ 数列的前项和 ‎ 10分 ‎ . 12分 ‎18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力，处理交汇性问题的能力，以及运算求解能力,满分12分.‎ 解:（Ⅰ）∵ 函数 ‎∴ 1分 ‎ 3分 ‎∴ ∴函数的最小正周期为8． 6分 ‎（Ⅱ）依题意将函数的图像向左平移1个单位后得到函数 ‎…………8分 函数在上有两个零点，即函数与在有两个交点，如图所示：‎ 所以，即 所以实数取值范围为． 12分 ‎19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等,满分12分.‎ 解:（Ⅰ）记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件A，乙抽取的样本数据中，男同学有4名优秀，记为a，b，c，d，2名不优秀，记为e，f . 1分 乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，则总的基本事件有15个， 2分 事件A包含的基本事件有，，，， ，，，，共8个基本事件，所以 =． 4分 ‎（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：‎ 优秀 非优秀 合计 男 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ 女 ‎0‎ ‎4‎ ‎4‎ 合计 ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎ 6分 的观测值4.4443.841， 8分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 9分 ‎（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． 10分 由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 12分 ‎20．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力,满分12分.‎ 解：（Ⅰ）如图，连接ED，‎ ‎∵底面且，∴底面 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴面 …………………………………………1分 ‎∴………2分 ‎ 3分 ‎∴． 5分 ‎（Ⅱ ）∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 6分 ‎∵EA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BC⊥EA. 7分 又AB∩EA＝A，∴BC⊥平面EAB. 8分 ‎ 又∵BC⊂平面EBC，‎ ‎∴平面EAB⊥平面EBC. 10分 ‎（Ⅲ）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求．…………………………………………………11分 图上有正确的作图痕迹………………………………12分 ‎21. 本试题主要考查了点到直线的距离，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，平面向量的应用，均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分12分． 解: (Ⅰ)， 2分 ‎∵直线：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，‎ ‎∴，解得，则a2=4. 4分 故所求椭圆C的方程为. 5分 ‎（Ⅱ）在轴上存在点，使得是以GH为底边的等腰三角形.……6分 理由如下：‎ 设的方程为（），‎ ‎ 由 因为直线与椭圆C有两个交点，所以 所以，又因为，所以.‎ 设，，则. 7分 ‎.‎ ‎ =‎ ‎.‎ 由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则. 8分 所以.‎ 故.‎ 即 因为，所以.所以.‎ 设，当时，，‎ 所以函数在上单调递增，所以 ‎， 10分 ‎ 所以 11分 ‎（若学生用基本不等式求解无证明扣1分）‎ 又因为，所以0. 所以，. ‎ 故存在满足题意的点（m,0）且实数的取值范围为：. 12分 ‎22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分.‎ 解：（I） 1分 当时，在（0，+∞）单调递增. 2分 当m>0时，由得 ‎ 由得0 4分 综上所述：当时，单调递增区间为（0，+∞）.‎ 当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）. 5分 ‎（Ⅱ）若m=, ,对都有成立等价于对都有 6分 由（I）知在[2,2]上的最大值= 7分 函数在[2,2]上是增函数，‎ ‎=g(2)=2-, 9分 由2-，得，又因为，∴∈‎ 所以实数的取值范围为。 10分 ‎（Ⅲ）证明：令m=，则 由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，‎ ‎，（当x=1时取“=”号）‎ ‎ 11分 ‎< 12分 令S=……………………①‎ ‎2S=……②‎ ‎①-②得-S=‎ S=‎ ‎（） 14分