【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-6数学归纳法作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-6数学归纳法作业

课时跟踪检测(四十二)　数学归纳法 ‎1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　　　B. C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 解析：选C　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.‎ ‎2．下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)‎ A．x＞sin x，x∈(0，π)‎ B．ex≥x＋1(x∈R)‎ C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)‎ D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)‎ 解析：选C　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C符合题意．‎ ‎3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2‎ D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ 解析：选A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.‎ ‎4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)‎ A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 解析：选D　令不等式的左边为g(n)，则 g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，‎ 其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.‎ 故左边增加了2k项．‎ ‎5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为___________．‎ 解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.‎ 答案：1＋a＋a2‎ ‎6．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．‎ 解析：观察不等式中分母的变化便知．‎ 答案：＋＋…＋＋＞－ ‎7．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，‎ 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]‎ ‎＝(－1)k·.‎ ‎∴n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)知对任意n∈N*，都有 ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ ‎8．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝1时，‎ 左边＝1＋，右边＝＋1，‎ 所以≤1＋≤，即命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 ‎1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.‎ 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，‎ 即n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．‎ ‎9．已知数列{an}满足a1＝a＞2，an＝(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(1)求证：对任意n∈N*，an＞2恒成立；‎ ‎(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由；‎ ‎(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn＜2n＋.‎ 解：(1)证明：用数学归纳法证明an＞2(n∈N*)恒成立．‎ ‎①当n＝1时，a1＝a＞2，结论成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＞2，‎ 则n＝k＋1时，ak＋1＝＞＝2，‎ 所以n＝k＋1时，结论成立．‎ 故由①②及数学归纳法，知对一切的n∈N*，都有an＞2成立．‎ ‎(2)数列{an}是单调递减的数列．‎ 因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an＞2，‎ 所以a－a＜0，所以an＋1＜an.‎ 所以{an}是单调递减的数列．‎ ‎(3)证明：由an＋1＝，得a＝an＋2，‎ 所以a－4＝an－2.‎ 根据(1)知an＞2(n∈N*)，‎ 所以＝＜，‎ 所以an＋1－2＜(an－2)＜2(an－1－2)＜…＜n·(a1－2)．‎ 所以当a＝3时，an＋1－2＜n，即an＋1＜n＋2.‎ 当n＝1时，S1＝3＜2＋，‎ 当n≥2时，‎ Sn＝3＋a2＋a3＋…＋an ‎＜3＋＋＋…＋ ‎＝3＋2(n－1)＋ ‎＝2n＋1＋＜2n＋.‎ 综上，当a＝3时，Sn＜2n＋(n∈N*)．‎