湖北省荆门市2019-2020学年高二上学期期末学业水平选择性考试阶段性检测数学试题 含答案

湖北省荆门市2019-2020学年高二上学期期末学业水平选择性考试阶段性检测数学试题 含答案

荆门市 2019—2020 学年度上学期 高二年级学业水平选择性考试阶段性检测 数 学 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效. 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试 题卷上无效. 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四项中，只有一项是符 合题目要求的) 1. 直线 在 轴上的截距为(▲) A. B. C. D. 2. 圆心为 ，半径为 的圆的方程为(▲) A. B. C. D. 3. 抛物线 的焦点坐标为(▲) A. B. C. D. 4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺， 两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第 一天也进一尺，以后每天减半.问两鼠在第几天相遇？(▲) A.第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 5. 是双曲线 的左、右顶点， 为双曲线上异于 的一点，则直线 0632 =−− yx y 2 2− 3 3− ）（ 1,1−C 2 022222 =−−++ yxyx 022222 =−+−+ yxyx 02222 =−++ yxyx 2 2 2 2 0x y x y+ − + = 22xy = )2 10，（ )02 1，（ )8 10，（ )0,1（ BA, 1169 22 =− yx P BA, PBPA, 的斜率之积为(▲) A. B. C. D. 6. 已知等差数列 前 项的和为 ,若 ，则 (▲) A. 154 B. 153 C. 77 D. 78 7. 已知直线 ，且 ，则 的值 为(▲) A. B. C. D. 8. 设等比数列 的前 项和为 ，若 则 (▲) A． B． C． D． 9. 已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点，连接 并延长交抛物线的准 线于点 ，且点 的纵坐标为负数，若 ，则直线 的方 程为(▲) A . B. C. 或 D. 10. 等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则(▲) A． 随 的增大而减小 B. 随 的增大而增大 C. 随 的增大而增大 D. 随 的增大而增大 11. 数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直 线称为欧拉线.已知 的顶点 A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为 ， 则顶点 C 的坐标为(▲) 16 9 16 9− 9 16 9 16− }{ na n nS 8,27 109 == aS =14S 02)2()2(:,03)2(3: 21 =+++−=+++ ymxmlymmxl 21//ll m 1− 2 1 22 1 −或 21 −− 或 }{ na n nS 6 3 3S S = ， = 6 9 S S 2 3 7 3 8 3 xyC 42 =： F Q FQ P P QFPQ 23 = PF 033 =−− yx 033 =−+ yx 033 =−+ yx 033 =−− yx 013 =−− yx }{ na n nS d nSd ,0< n nSd ,0> n nn SSd −< +2,0 n nn SSd −> +2,0 n ABC∆ 2 0x y− + = A. B. C. D. 12. 设 F 是椭圆 的一个焦点，P 是椭圆 C 上的点，圆 与线段 PF 交于 A，B 两点，若 A，B 三等分线段 PF，则椭圆 C 的离心率为(▲) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡上相应位置） 13.两条平行直线 与 间的距离为 ▲ ． 14.已知抛物线 的一条弦 恰好以点 为中点，则弦 所在直线方程 是 ▲ ． 15.已知圆 上有且仅有三个点到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 16. 数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的 最小值为 ▲ ． 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）已知双曲线的焦点为 ， 且该双曲线过点 ． （1）求双曲线的标 准方程； （2）若双曲线上的点 满足 ，求 的面积． 18.（本小题满分 12 分）在平面直 角坐标系中，设直线 与 ( 4,0)− ( 2, 2)− − ( 3,1)− ( 4, 2)− − )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 9 2 22 ayx =+ 3 3 3 5 4 10 5 17 0523 =−− yx 0346 =+− yx xy 42 = AB ）（ 1,1P AB 0161022 =+−+ yyxC： ,0(12 2 2 2 >=− ab y a x )0>b 1 }{ na n nS 1),(32) 501 2 1 =−=+− ++ aaaaa nnnn 且（ 100S )0,4(),0,4( 21 FF − )22,6(P M 21 MFMF ⊥ 21FMF∆ )(0 Rmmyx ∈=−+ 圆 交于不同两点 . （1）求实数 的取值范围; （2）若圆上存在点 C 使得 为等边三角形，求实数 的值. 19. （本小题满分 12 分）已知 是公比为整数的等比数列， ，且 成等 差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . [来源:学*科*网] 20.（本小题满分 12 分）已知直线 与抛物线 交于两点 . 822 =+ yxO： BA, m m }{ na 92 =a 321 ,6, aaa + }{ na )()14( ∗∈−= Nnanb nn }{ nb n nS mxy −= 2 )0(2: 2 >= ppxyC BA, （1）若 求抛物线 的方程； （2）若 求证 （点 为坐标原点）.[来源:Zxxk.Com] 21.（本小题满分 12 分）甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额均为 万元.由于经营方 式不同，甲超市前 年的总销售额为 万元，乙超市第 年的销售 额比前一 年销售额多 万元． （1）求甲、乙两超市第 年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 ，则该超市将被另一超 市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 5== ABpm 且 C 4 ,m p= OBOA ⊥ O a n 2 )2( 2 ann +− n an 1)3 2( − n %50 22.（本小题满分 12 分）已知 分别为椭圆 的左右焦点. （1）当 时，点 为椭圆 上一点且 位于第一象限，若 , 求点 的坐标; （ 2 ） 当 椭 圆 焦 距 为 2 时 ， 直 线 交 椭 圆 交 于 两 点 ， 且 ，判断 的面积是否为定值，若是，求出此定值； 若不是，请说明理由. 21,FF )0(14: 2 22 >=+ bb yxC 1=b P C P 4 5 21 −=⋅ PFPF P mkxy += C BA, 4 2bkk OBOA −=⋅ AOB∆ 荆门市 2019—2020学年度上学期 高二年级学业水平选择性考试阶段性检测 数学参考答案 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分. 1-5 BACBC 6-10 CABDD 11-12 AD 11. 解析：设 ，由重心坐标公式得， 的重心为 ，代入欧拉线方 程得： ，整理得： ① 的中点为 ， 的中垂线方程为 ， 联立 和 解得 的外心为 则 ，整理得 ② 联立①②得： 或 （舍）[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 当 时 重合，舍去，所以顶点 的坐标为 ，故选 12. 解析：如图，取线段 的中点 ，连接 .设椭圆另一个焦点为 ，连接 . ∵ 三等分线段 ，∴ 也是线段 的中点，即 . 设 ，则 . 在 中， ，解得 . 在 中， ,由 2， 化简得 ，即椭圆 的离心率为 .故选 . 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分. 13. 14. 15. 16. ),( nmC ABC∆ )3 4,3 2( ++ nm 023 4 3 2 =++−+ nm 04 =+− nm AB )2,1( AB 032 =+− yx 032 =+− yx 02 =+− yx ABC∆ )1,1(− 1013)1()1( 2222 =+=−++ nm 82222 =−++ nmnm 0,4 =−= nm 4,0 == nm 4,0 == nm CB, C ）（ 0,4− A PF H OAOH, E PE BA, PF H AB ABOH ⊥ dOH = 3,22,2 daAHdaPFdPE −=−== OHARt∆ 222 AHOHOA += da 5= OHFRt∆ cOFaOHaFH === ,5,5 4 222 FHOHOF += 5 17,2517 22 == a cca C 5 17 D 2 13 012 =−− yx 2 5 1075− 16. 解析：由条件得 ，由 知，当 时， ；当 时， . 故当前 50 项的公差为 2，后 50 项的公差为 1 时，数列的前 100 项和最小. 所以 . 三、解答题： 17. （1） = ……………………2 分 ∴ 又 c＝4，∴ ， ……………………4 分 ∴双曲线的标准方程为 ； …………………………………5 分 直接设标准方程，联立方程组求解酌情给分. （2）由 ……………………………8 分 得 , ………………………………………………9 分 ∴ ． ………………………………………………10 分 18.（1）由题意知圆心 到直线的距离 ， ……………………4 分 解得 ，所以 的取值范围为 ；…………………………6 分 （2） 为等边三角形，∴圆周角 , 得圆心角 ,…10 分 则圆心 到直线的距离 ，解得 .………………………………12 分 [来源:学科网] 19. （1）设数列 的公比为 ，因为 成等差数列， 所以 …………………………………………………………………2 分 又 ，所以 ，解得 ………………………………3 分 因为公比为整数，所以 舍去，所以 …………………………………………4 分 所 以 ； ………………………………………………………6 12 11 =−=− ++ nnnn aaaa 或 50 1a = 49n ≤ 0na < 51n ≥ 0na > 10752 4950250)2(2 4950150)( min100 −=×+×+−×+×=S 2222 )22()46()22()46(2 +−−++=a 34 ,12)32( 22 ==a 4324 222 =−= ）（b 1412 22 =− yx 64,34 2 2 2 121 =+=− MFMFMFMF 821 =⋅ MFMF 2 1 21 =∆ FMFS 421 =⋅ MFMF O 22 2 <= md 44 <<− m m 44 <<− m ABC∆ 3 π=∠ACB 3 2π=∠AOB O 2 2 == md 2±=m }{ na q 321 ,6, aaa + 312 )62 aaa +=+（ 92 =a qq 99692 +=+ ）（ 33 1 == qq 或 3 1=q 3=q nnn n qaa 339 22 2 =⋅=⋅= −− 分 （2）由 ……………………………………………………7 分 则 ① ② ……………9 分 由① ②，得 ………………………………………………11 分 所以 .…………………………………………………………12 分 20. （1）联立 得： ………………………………2 分 设 ，则 ………………………………………………3 分 因为直线过抛物线的焦点 , ∴ , ……………………………………5 分 ∴ ,故抛物线方 程为 ……………………………………………………6 分 （2）由 得： ……………………………………8 分 设 ，则 ………………………………9 分 所以 …………………………10 分 …………………………………………11 分 ∴ .…………………………………………………………………………12 分 21.（1）设甲、乙两个超市第 年全年的销售额分别为 万元，甲超市前 年总销售额为 ，则 ， n nn nanb 3)14()14( ⋅−=⋅−= ,3)14(3)54(3113733 1321 nn n nnS ⋅−+⋅−+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= − ,3)14(3)54(31137333 1432 +⋅−+⋅−+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= nn n nnS − 14321 3)14()3333(4332 +⋅−−+⋅⋅⋅++++⋅=− nn n nS 1 1 3)14(31 )31(949 + − ⋅−−− −⋅+= n n n 93)43( 1 −−= +nn 2 93)2 32( 1 +−= +n n nS    = −= pxy pxy 2 2 2 064 22 =+− ppxx ),(),, 2211 yxByxA（ pxx 2 3 21 =+ )0,2( pF 52 5 21 ==++=+= ppxxBFAFAB 2=p xy 42 =    = −= pxy pxy 2 42 2 016184 22 =+− ppxx ),(),, 2211 yxByxA（ 2 2121 42 9 pxxpxx ==+ ， )42)(42( 21212121 pxpxxxyyxxOBOA −−+=+=⋅ 2 2121 16)(85 pxxxx ++−= 0162 9820 222 =+×−= ppp OBOA ⊥ n nn ba , n nS )2(2 )2( 2 ≥+−= nannSn 因为 时， …………………………………………………………………1 分 则 时， …2 分 故 ………………………………………………………………3 分 又 时， 故 ……………………………………………………5 分 显然 也适合，故 ．………………………………6 分 （2）当 时， 有 ； …………………………………………7 分 当 时， 有 ；…………………………………………8 分 当 时， 故乙超市有可能被甲超市收购．………………………9 分 当 时，令 ，则 即 ……………………………………………10 分 又当 时， ， 故当 时，必有 ， ……………………………………11 分 即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．…………12 分 22. 解：（1）当 时，椭圆方程为 ，则 ……1 分 设 则 , 由 得 : ， ……………………………………………3 分 1=n ,1 aa = 2≥n annnnnaSSa nnn )1(]2)1()1(2[2 22 1 −=−−+−−+−=−= − ;2,)1( 1,    ≥− == nan naan 2,1 ≥= nab ,)3 2( 1 1 abb n nn − − =− )()()( 123121 −−+⋅⋅⋅+−+−+= nnn bbbbbbbb aaaa n 12 )3 2()3 2(3 2 −+⋅⋅⋅+++= aa n n ])3 2(23[ 3 21 )3 2(1 1−−= − − = 1=n )(])3 2(23[ 1 ∗− ∈−= Nnab n n 2=n ,3 5, 22 abaa == 22 2 1 ba > 3=n ,9 19,2 33 abaa == 33 2 1 ba > 4≥n ,3,3 abaa nn ≤≥ 4≥n nn ba > 2 1 aan n ])3 2(23[)1(2 1 1−−>− 11 )3 2(47,)3 2(461 −− ⋅−>∴⋅−>− nn nn 7≥n 1)3 2(40 1 <⋅< −n 7≥∈ ∗ nNn 且 1)3 2(47 −⋅−> nn 1=b 14 2 2 =+ yx ），（），（ 0,30,31 FF − )0,0)(, >> yxyxP（ ),3(),,3( 21 yxPFyxPF −−=−−−= 4 5 21 −=⋅ PFPF 4 722 =+ yx 结合 解得 ,所以点 坐标为 .………………6 分 （2）由题意知椭圆 所以椭圆方程为： 联立 可得： ………………………8 分 设 ，则 ① [来源:学科网] 且 ， ， 由 可得 , ,满足 ① ………………………10 分 ∵ ， 又原点到直线的距离 , ∴ 为定值 .………………………………………………12 分 14 2 2 =+ yx 2 3,1 == yx P )2 3,1( 3,1 2 == bc 134 22 =+ yx    =+ += 134 22 yx mkxy 01248)43( 222 =−+++ mkmxxk ),(),, 2211 yxByxA（ 043 22 >−+=∆ mk 2 2 21221 43 )3(4,43 8 k mxxk kmxx + −=+−=+ 2 22 2 2121 2 21 43 )4(3)( k kmmxxmkxxkyy + −=+++= 4 2bkk OBOA −=⋅ 2121 21 21 4 3 4 3 xxyyxx yy −=∴−= 342,43 )3(4 4 3 43 )4(3 22 2 2 2 22 =−∴+ −⋅−=+ −∴ kmk m k km m kxxkAB 2 21 2 1321 +⋅=−+= 21 k md + = 32 1 =⋅⋅=∆ ABdS AOB