2013山东卷（文）数学试题

2013山东卷（文）数学试题

‎2013·山东卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ A．25 B. C．5 D. ‎ ‎1．C　[解析] ∵z＝＝＝－4－3i，‎ ‎∴|z|＝＝5.‎ ‎2． 已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝(　　)‎ A．{3} B．{4} ‎ C．{3，4} D． ‎2．A　[解析] ∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}，又∵B＝{1，2}，∴{3}A{1，2，3}，‎ ‎∴∁UB＝{3，4}，A∩∁UB＝{3}．‎ ‎3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)‎ A．2 B．1 ‎ C．0 D．－2‎ ‎3．D　[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.‎ ‎4． 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)‎ 图1－1‎ A．4 ，8 B．4 ， C．4(＋1)， D．8，8‎ ‎4．B　[解析] 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为＝，∴侧面积＝4××2×＝4 ，体积为×2×2×2＝.‎ ‎5． 函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．(－3，0]‎ B．(－3，1]‎ C．(－∞，－3)∪(－3，0]‎ D．(－∞，－3)∪(－3，1]‎ ‎5．A　[解析] 要使函数有意义，须有解之得－30，x＝π，y＝－π<0，故选D.‎ ‎10． 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示．则7个剩余分数的方差为(　　)‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ x ‎9‎ ‎1‎ 图1－4‎ A. B. ‎ C．36 D. ‎10．B　[解析] 由题得91×7＝87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x，解得x＝4，剩余7个数的方差s2＝[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2＋2(94－91)2]＝.‎ ‎11．， 抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．D　[解析] 抛物线C1：y＝x2的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y＝－(x－2)，联立得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a ，则在点M处切线的斜率为.又∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，∴＝，即a＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝或p＝0(舍去)．‎ ‎12． 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)‎ A．0 B. ‎ C．2 D. ‎12．C　[解析] 由题意得z＝x2－3xy＋4y2，‎ ‎∴＝＝＋－3≥2 －3＝1，‎ 当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，‎ ‎∴x＋2y－z＝2y＋2y－＝－2(y－1)2＋2≤2.‎ ‎13． 过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．‎ ‎13．2 　[解析] 设弦与圆的交点为A、B，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 .‎ ‎14． 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．‎ ‎14.　[解析] 可行域如图，当OM垂直于直线x＋y－2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝＝.‎ 图1－5‎ ‎15． 在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．‎ ‎15．5　[解析] 由题意得＝－＝(3，2－t)，又∵∠ABO＝90°，∴·＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t＝5.‎ ‎16．， 定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：‎ ‎①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；‎ ‎②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；‎ ‎③若a>0，b>0，则ln＋()≥ln＋a－ln＋b；‎ ‎④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)‎ ‎16．①③④　[解析] ①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当00，∴01时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立．‎ ‎③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0，左边≥右边，成立；当>1时，左边＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若01>b>0，左边＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，左边≥右边成立，∴③正确．‎ ‎④中，若00，左边≤右边；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln.‎ 又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，‎ ‎∴ln≤ln a或ln≤ln b，即有ln＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．‎ ‎17． 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．‎ ‎17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝.‎ ‎18．， 设函数f(x)＝－sin2 ωx－sin ωx cos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值．‎ ‎18．解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎＝－·－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx ‎＝－sin.‎ 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，‎ 又ω＞0，‎ 所以＝4×.‎ 因此ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.‎ 当π≤x≤时，≤2x－≤.‎ 所以－≤sin≤1.‎ 因此－1≤f(x)≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ ‎19．， 如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ 图1－6‎ ‎19．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.‎ 因为E为PB的中点，‎ 所以EH∥AB，EH＝AB.‎ 又AB∥CD，CD＝AB，‎ 所以EH∥CD，EH＝CD.‎ 因此四边形DCEH是平行四边形．‎ 所以CE∥DH.‎ 又DH平面PAD，CE平面PAD，‎ 因此CE∥平面PAD.‎ 证法二：联结CF.‎ 因为F为AB的中点，‎ 所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，‎ 所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，‎ 所以四边形AFCD为平行四边形．‎ 因此CF∥AD.‎ 又CF平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又EF平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，‎ 故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE平面CEF，‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA，‎ 所以AB⊥EF.‎ 同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，‎ 因此AB⊥平面EFG.‎ 又M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD.‎ 又AB∥CD，‎ 所以MN∥AB，‎ 因此MN⊥平面EFG.‎ 又MN平面EMN，‎ 所以平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎20． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈*，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎20．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得 解得a1＝1，d＝2.‎ 因此an＝2n－1，n∈*.‎ ‎(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈*，‎ 当n＝1时，＝；‎ 当n≥2时，＝1－－＝.‎ 所以＝，n∈*.‎ 由(1)知an＝2n－1，n∈*，所以bn＝，n∈*.‎ 又Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减得 Tn＝＋－ ‎＝－－，‎ 所以Tn＝3－.‎ ‎21． 已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x (a，b∈)．‎ ‎(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)设a>0，且对任意x>0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．‎ ‎21．解：(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，‎ 得f′(x)＝.‎ ‎①当a＝0时，f′(x)＝.‎ ‎(i)若b≤0，当x＞0时，f′(x)＜0恒成立，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．‎ ‎(ii)若b＞0，当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，‎ 当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．‎ 所以，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎②当a＞0时，令f′(x)＝0，‎ 得2ax2＋bx－1＝0.‎ 由Δ＝b2＋8a＞0得 x1＝，x2＝.‎ 显然，x1＜0，x2＞0.‎ 当0＜x＜x2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；‎ 当x＞x2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是，‎ 单调递增区间是.‎ 综上所述，‎ 当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；‎ 当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎(2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值，‎ 由(1)知是f(x)的唯一极小值点，‎ 故＝1，整理得 ‎2a＋b＝1，即b＝1－2a.‎ 令g(x)＝2－4x＋ln x.‎ 则g′(x)＝.‎ 令g′(x)＝0，得x＝.‎ 当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；‎ 当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．‎ 因此g(x)≤g＝1＋ln ＝1－ln 4＜0.‎ 故g(a)＜0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a＜0，‎ 即ln a＜－2b.‎ ‎22．， 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，‎ 射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值．‎ ‎22．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 故题意知 解得a＝，b＝1，‎ 因此椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)(i)当A，B两点关于x轴对称时，‎ 设直线AB的方程为x＝m，由题意－＜m＜0或0＜m＜.‎ 将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，‎ 得|y|＝.‎ 所以S△AOB＝|m|＝.‎ 解得m2＝或m2＝.①‎ 又＝t＝t(＋)＝t(2m，0)＝(mt，0)，‎ 因为P为椭圆C上一点，‎ 所以＝1.②‎ 由①②得 t2＝4或t2＝，‎ 又因为t>0，所以t＝2或t＝.‎ ‎(ii)当A，B两点关于x轴不对称时，‎ 设直线AB的方程为y＝kx＋h.‎ 将其代入椭圆的方程＋y2＝1，‎ 得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2，‎ 此时x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，‎ 所以|AB|＝＝‎ ‎2 .‎ 因为点O到直线AB的距离d＝，‎ 所以S△AOB＝|AB|d ‎＝×2 ‎＝ |h|.‎ 又S△AOB＝，‎ 所以 |h|＝.③‎ 令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，‎ 解得n＝4h2或n＝h2，‎ 即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④‎ 又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，‎ 因为P为椭圆C上一点，‎ 所以t2＝1，‎ 即t2＝1.⑤‎ 将④代入⑤得t2＝4或t2＝，又知t>0，‎ 故t＝2或t＝，‎ 经检验，适合题意．‎ 综合(i)(ii)得t＝2或t＝‎