【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版3-6导数的综合应用(二)作业
第六节 导数的综合应用(二)
A组 基础题组
1.(2019安徽黄山一模)已知函数f(x)=mx-1x-2ln x(m∈R),g(x)=-mx,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)
0,解得a>-e2,所以此时-e20).
(1)若k=1,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值.
解析 (1)k=1, f(x)=x-ln x,定义域为(0,+∞),则f '(x)=1-1x,由f '(x)>0得x>1,由f '(x)<0得00),
令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2,
当x=e时,g'(x)=0;当00;
当x>e时,g'(x)<0.
∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
∴g(x)max=g(e)=1e.
当x→+∞时,g(x)→0.
又k>0,∴要使f(x)有且只有一个零点,则k=1e.
解法二:f(x)=kx-ln x, f '(x)=k-1x=kx-1x(x>0,k>0).
当x=1k时, f '(x)=0;当01k时, f '(x)>0.
∴f(x)在0,1k上单调递减,在1k,+∞上单调递增,
∴f(x)min=f1k=1-ln1k,∵f(x)有且只有一个零点,
∴1-ln1k=0,即k=1e.
4.函数f(x)=13x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的导函数的图象如图所示:
(1)求a,b的值并写出f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)有三个零点,求c的取值范围.
解析 (1)因为f(x)=13x3+ax2+bx+c,
所以f '(x)=x2+2ax+b.
由题图知f '(x)=0的两个根为-1,2,
所以-1+2=-2a,-1×2=b,解得a=-12,b=-2,
由导函数的图象可知,当-12时, f '(x)>0,
故函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.
(2)由(1)得f(x)=13x3-12x2-2x+c,
函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增函数,在(-1,2)上是减函数,
所以函数f(x)的极大值为f(-1)=76+c,极小值为f(2)=c-103.
而函数f(x)恰有三个零点,故必有76+c>0,c-103<0,解得-760),
当a<0时, f '(x)>0恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,由f '(x)=ax-1ax2>0,得x>1a,
由f '(x)=ax-1ax2<0,得00时,函数f(x)在1a,+∞上单调递增,在0,1a上单调递减.
(2)∵当x∈1e,e时,函数g(x)=(ln x-1)ex+x-m的零点,
即当x∈1e,e时,方程(ln x-1)ex+x=m的根.
令h(x)=(ln x-1)ex+x,h'(x)=1x+lnx-1ex+1.
由(1)知当a=1时, f(x)=ln x+1x-1在1e,1上单调递减,在(1,e)上单调递增,
∴当x∈1e,e时, f(x)≥f(1)=0.
∴1x+ln x-1≥0在x∈1e,e上恒成立.
∴h'(x)=1x+lnx-1ex+1≥0+1>0,
∴h(x)=(ln x-1)ex+x在x∈1e,e上单调递增.
∴h(x)min=h1e=-2e1e+1e,h(x)max=h(e)=e.
∴当m<-2e1e+1e或m>e时,函数g(x)在1e,e上没有零点;
当-2e1e+1e≤m≤e时,函数g(x)在1e,e上有一个零点.
2.(2019河南开封定位考)已知函数f(x)=aln x+1x-bx+1.
(1)当a=0时,函数f(x)的极小值为5,求负数b的值;
(2)若b=-1,F(x)=f(x)-5x,且当a≥-4时,不等式F(x)≥2在区间[1,4]上有解,求实数a的取值范围.
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=0时, f(x)=1x-bx+1(b<0),f '(x)=-1x2-b
令f '(x)=0,得x1=-1b,x2=--1b(舍去).
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下:
x
0,-1b
-1b
-1b,+∞
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极小值为f-1b=5,即-b+-b+1=5,解得b=-4.
(2)由题意知,当a≥-4时,F(x)在[1,4]上的最大值M≥2.
当b=-1时,F(x)=f(x)-5x=x-4x+aln x+1,
则F'(x)=x2+ax+4x2.
①当-4≤a≤4时,在[1,4]上,F'(x)=x+a22+4-a24x2≥0,
故F(x)在[1,4]上单调递增,M=F(4).
②当a>4时,设x2+ax+4=0(Δ=a2-16>0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-a<0,x1x2=4,故x1<0,x2<0,所以在[1,4]上,F'(x)=x2+ax+4x2>0,故F(x)在[1,4]上单调递增,M=F(4).
综上,当a≥-4时,F(x)在[1,4]上的最大值M=F(4)=4-1+aln 4+1≥2,解得a≥-1ln2,
所以实数a的取值范围是-1ln2,+∞.