【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式课时作业
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案C
解析因为x>0,所以x2+≥2·x·=x,
所以lg≥lgx(x>0),故选项A不正确;
当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;
由基本不等式可知选项C正确;
当x=0时,=1,故选项D不正确.
2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案B
解析由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).
3．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：∵a2＋b2≥2ab，
∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，
即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.
答案：C
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m
2，所以a－2>0，
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4，
由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4.
所以m>n.
答案：A
5．[2019·东北三省四校联考]已知首项与公比相等的等比数列{an}满足ama＝a(m，n∈N*)，则＋的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：设该数列的首项及公比为a，则由题可得
am×a2n＝a4×2，即am×a2n＝am＋2n＝a4×2，得m＋2n＝8，所以＋＝(m＋2n)＝≥＝1，当且仅当＝，即m＝4，n＝2时等号成立，故选A.
答案：A
二、填空题
6．设00，x>0)的最小值为2，则实数a的值为________．
解析：因为a>0，x>0，
所以y＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，
即x＝时等号成立，
故2＝2，解得a＝5.
答案：5
8．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：设＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.
答案：18
三、解答题
9．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．
解析：因为x>0，
所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，∴a≥.
故a的取值范围是[，＋∞)．
10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
11．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中ab＝12.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1 832－6x－
y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)解法一 S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y，xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大1 352.
解法二 S＝1 832－6x－×＝1 832－≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝时，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
