河北省宣化市第一中学2019-2020学年高一11月月考数学试卷

河北省宣化市第一中学2019-2020学年高一11月月考数学试卷

www.ks5u.com ‎ 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题(本大题共12小题，共48.0分)‎ ‎1.在不等式x+2y-1＞0表示的平面区域内的点是（　　） A.（1，-1）  B.（0，1）  C.（1，0）  D.（-2，0）‎ ‎2.设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（　　） A. B. C.或 D.‎ ‎3.已知等比数列{an}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{an}前10项的和为S10=（　　） A.1022    B.1023    C.2046    D.2047‎ ‎4.在△ABC中，若a=2，b=2，c=+，则A的度数为（　　） A.30°     B.45°     C.60°     D.75°‎ ‎5.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）-ac=2b2，则sinB=（　　） A. B. C. D.‎ ‎6.已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则+的最小值为（　　） A.4      B.2     C.8      D.16‎ ‎7.在等比数列{an}中，a1+an=82，a3•an-2=81，且数列{an}的前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于（　　） A.4      B.5      C.6      D.7‎ ‎8.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值是（　　） A.10     B.9      C.8      D.7‎ ‎9.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1＞0，若S2＞2a3，则q的取值范围是（　　） A. B. C. D.‎ ‎10.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（　　） A.1.9升    B.2.1升    C.2.2升    D.2.3升 ‎11.下列函数中，最小值为2的函数是（　　） A. B. C. D.‎ ‎12.+++…+=（　　） A.- B. C.- D.‎ 二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)‎ ‎13.写出数列，，，，…的一个通项公式 ______ ．‎ ‎14.设x＞2，则的最小值是 ______ ．‎ ‎15.若a＞0，b＞0，3a+2b=1，则ab的最大值是 ______ ．‎ ‎16.△ABC中，若4sinA+2cosB=4，，则角C= ______ ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共56.0分)‎ ‎17. (8分)‎ 在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3=21，a1a2a3=231． （1）求该数列中a2的值； （2）求该数列的通项公式an．‎ ‎ ‎ ‎18.（8分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B=2sinAsinC． （1）若△ABC为等腰三角形，求顶角C的余弦值； （2）若△ABC是以B为直角顶点的三角形，且，求△ABC的面积． ‎ ‎19.（10分）已知关于x的不等式ax2-（a+2）x+2＜0． （1）当a=-1时，解不等式； （2）当a∈R时，解不等式． ‎ ‎20.（10分）已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an． （1）求a2，a3，及{an}的通项公式． （2）求{}的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜2． ‎ ‎21.（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC． （Ⅰ）求b； （Ⅱ）若a=6，求△ABC的面积． ‎ ‎22.（10分）在等比数列{an}中，，．设，为数列{bn}的前n项和． (Ⅰ)求an和Tn； (Ⅱ)若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围． ‎ ‎ 数学试卷答案和解析 ‎【答案】 1.B    2.A    3.C    4.A    5.C    6.C    7.B    8.B    9.B    10.B    11.D    12.B     13.an=． 14.6 15. 16. 17.解：由等差数列的性质可知，a1+a3=2a2， 所以a1+a2+a3=3a2=21，则a2=7； （2）依题意得 ， 解得或； 所以公差d==-4或d==4．∴an=11+（n-1）×（-4）=-4n+15或an=3+（n-1）×4=4n-1． 18.解：（1）由sin2B=2sinAsinC及正弦定理得：b2=2ac， 又△ABC为等腰三角形，且顶角为C， 则a=b，即b=2c，a=2c， 由余弦定理可得：； （2）由（1）知，b2=2ac， ∵B=90°，∴a2+c2=b2， ∴a2+c2=2ac，即（a-c）2=0，则a=c， 由得， 所以△ABC的面积S==1． 19.解：（1）当a=-1时，此不等式为-x2-x+2＜0， 可化为x2+x-2＞0， 化简得（x+2）（x-1）＞0， 解得即{x|x＜-2或x＞1}；（4分） （2）不等式ax2-（a+2）x+2＜0化为（ax-2）（x-1）＜0， 当a=0时，x＞1； 当a＞0时，不等式化为（x-）（x-1）＜0， 若＜1，即a＞2，解不等式得＜x＜1；‎ ‎ 若=1，即a=2，解不等式得x∈∅； 若＞1，即0＜a＜2，解不等式得1＜x＜； 当a＜0时，不等式（x-）（x-1）＞0，解得x＜或x＞1； 综上所述：当a=0，不等式的解集为{x|x＞1}； 当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为{x|1＜x＜}； 当a=2时，不等式的解集为∅； 当a＞2时，不等式的解集为{x|＜x＜1}．（12分） 20.解：（1）由S2=a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2， 解得：a2=3a1=3； 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3， 解得：a3=（a1+a2）=6． 由题设知a1=1， 当n＞1时有an=Sn-Sn-1=an-an-1， 整理得：an=an-1． 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1， 将以上n个等式两端分别相乘，整理得an=， 综上，{an}的通项公式an=； （2）∵=， ∴Tn=2[++…+]=2（1-+-+…+-）=2（1-）=2-＜2，即Tn＜2， 又Tn+1＞Tn，{Tn}单调增， ∴Tn＞=T1=1， 则1≤Tn＜2． 21.解：（Ⅰ）△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∵已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC ‎ ‎ ∴a•=3•c•，∴2（a2-c2）=b2，∴=2b，∴b=4． （Ⅱ）∵a=6，b=4，a2-c2=2b，∴c=2，∴cosC==，∴C=， ∴△ABC的面积S=ab•sinC=6． 22.解：(Ⅰ)设{an}的公比为q，由得， ∴．----------------------------------(2分) = ∴=．----(5分) (Ⅱ)①当n为偶数时，由λTn＜n-2恒成立得，恒成立， 即，----------------------------------(6分) 而随n的增大而增大，∴n=2时， ∴λ＜0；----------------------------------(8分) ②当n为奇数时，由λTn＜n+2恒成立得，恒成立， 即，-----------------------------------(9分) 而，当且仅当等号成立， ∴λ＜9．---------------------------------------(11分) 综上，实数λ的取值范围(-∞，0)．----------------------------------------(12分) 【解析】 1. 解：∵不等式x+2y-1＞0， ∴1-2-1=-3＜0，0+2-1=1＞0， 1+2×0-1=0， -2+0-1=-3＜0， 故选：B． 根据二元一次不等式表示平面区域，即可进行得到结论． 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域以及点与平面区域的关系的判断，比较基础． 2. 解：∵a=3，，‎ ‎， ∴由正弦定理可得：sinB===， ∵a＞b，B为锐角， ∴B=． 故选：A． 由已知及正弦定理可求sinB==，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值． 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题． 3. 解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=6，a4+a5=48，∴a1（1+q）=6，（1+q）=48， 联立解得a1=q=2． 则数列{an}前10项的和为S10==2046． 故选：C． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 解：∵在△ABC中，a=2，b=2，c=+， ∴根据余弦定理，得 cosA====． 又∵A是三角形的内角， 可得0°＜A＜180°， ∴A=30°． 故选：A 根据题中的数据，利用余弦定理算出cosA==，结合A为三角形的内角，即可算出角A的度数． 本题已知三角形的三条边的长度，求角A的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 5. 解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2-b2=2accosB， 代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=， ∴sinB==， 故选：C． 利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值． 此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 6. 解：∵m＞0，n＞0，2m+n=1， 则+=（2m+n）=4+≥4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号． 故选：C．‎ ‎ 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7. 解：由等比数列的性质可得a1an=a3•an-2=81， 又a1+an=82， ∴a1和an是方程x2-82x+81=0的两根， 解方程可得x=1或x=81， 若等比数列{an}递增，则a1=1，an=81， ∵Sn=121，∴==121， 解得q=3，∴81=1×3n-1，解得n=5； 若等比数列{an}递减，则a1=81，an=1， ∵Sn=121，∴==121， 解得q=，∴1=81×（）n-1，解得n=5． 综上，数列的项数n等于5． 故选：B． 由题意易得a1和an是方程x2-82x+81=0的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得a1，an，再由Sn=121得q，进一步可得n值． 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属基础题． 8. 解：约束条件对应的可行域为直线x+2y-5=0，x-y-2=0，x=0围成的三角形及其内部； 三顶点为， 当z=2x+3y过点（3，1）时取得最大值9， 故选：B． 确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最值． 本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，属于基础题． 9. 解：根据题意，对于等比数列{an}，有S2＞2a3， 则有a1+a2＞2a3，即a1+a1q＞2a1q2； 又由a1＞0，则有1+q＞2q2； 解可得-＜q＜1， 又由q≠0，‎ ‎ 则q的取值范围是（-，0）∪（0，1）； 故选：B． 根据题意，分析易得a1+a2＞2a3，由等比数列通项公式可得a1+a1q＞2a1q2，结合a1＞0，可以变形1+q＞2q2；解可得q的范围，即可得答案． 本题考查等比数列的前n项和，注意运用本公式时注意公比q是否为1． 10. 解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9， 则{an}是等差数列，设公差为d， 由题意得， 解得a1=1.4，d=-0.1， ∴中间两节的容积为：a4+a5=（1.4-0.1×3）+（1.4-0.1×4）=2.1（升）． 故选：B． 设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{an}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积． 本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 11. 解：选项A，令=t≥，则y=t+，t≥，y′=1-＞0∴函数y=t+在[，+∞）上单调递增，则最小值为=，故选项A不正确； 选项B，中取x=-1，则y=-2，故最小值为2不正确； 选项C，，当且仅当x=取等号，故最小值为2不正确； 选项D，=≥2，当且仅当x=0取等号，故最小值为2正确； 故选D． 选项A，先换元，然后利用导数研究函数的单调性从而求出最值，可判定真假；选项B，可取x=-1进行否定；选项C，利用基本不等式可求出最大值为2，可判定真假；选项C，利用基本不等式直接求解，可判定真假． 本题主要考查了基本不等式，以及利用导数研究函数的单调性，注意利用基本不等式的条件，属于基础题． 12. 解：因为=． 所以+++…+=1+…+ =1- =． 故选：B． 化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．‎ ‎ 本题考查裂项消项法求和的方法，考查计算能力． 13. 解：数列，，，，…的一个通项公式为：an=． 故答案为：an=． 从符号、分子与分母上考虑即可得出． 本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14. 解：∵x＞2，则x-2＞0， ∴=x-2++2+2=6，当且仅当x=4时取等号． 因此y的最小值是6． 故答案为：6． 变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15. 解：a＞0，b＞0，3a+2b=1， ∴1=3a+2b≥2，当且仅当a=，b=时取等号， ∴ab≤， ∴ab的最大值是， 故答案为： 利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 16. 解：∵4sinA+2cosB=4，， ∴2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=， ∴两边同时平方，然后两式相加，化简得5+4（sinAcosB+sinBcosA）=7， ∴sin（A+B）=， ∴sin（180°-C）=sinC=， ∴得出∠C=或． ∵若∠C=，可得：A+B=，cosB＜1，2sinA＜1，2sinA+cosB=2，不成立， ∴∠C=． 故答案为：． 先对条件中两个式子平方后相加得到关于A+B的正弦值，再由诱导公式得到角C的正弦值，最后得到答案． 本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题． ‎ ‎17. （1）利用等差数列的性质求出a2的值； （2）得到a1，a3的方程组，从而求出a1，a3的值，得到公差d，可得通项公式．本题主要考查了等差数列的性质，以及通项公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础试题． 18. （1）由正弦定理化简已知的条件列出方程，由条件求出三边的关系，由余弦定理求出cosC的值； （2）由（1）和勾股定理可得a=c，由条件求出a、c的值，代入三角形的面积公式求出答案． 本题考查正弦定理、余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，属于基础题． 19. （1）a=-1时，不等式化为-x2-x+2＜0，求解即可； （2）不等式化为（ax-2）（x-1）＜0，讨论a=0、a＞0和a＜0时，对应不等式的解集是什么，从而求出对应的解集． 本题考查了含参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，解题时应对参数进行讨论，是综合性题目． 20. （1）根据已知等式确定出a2，a3，得出{an}的通项公式即可； （2）表示出{}的前n项和Tn，根据前n项和Tn为递增数列，确定出Tn的范围，即可得证． 此题考查了数列的求和，确定数列的通项公式，拆项法，以及数列的递推式，熟练掌握数列的性质是解本题的关键． 21. （Ⅰ）由条件利用余弦定理求得=2b，由此求得b的值． （Ⅱ）根据a=6，b=4，a2-c2=2b，求得c=2，余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再根据△ABC的面积S=ab•sinC，计算求得结果． 本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题． 22. (Ⅰ)先确定等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求通项，进而利用裂项法求数列{bn}的前n项和； (Ⅱ)分类讨论：①当n为偶数时，由λTn＜n-2恒成立得；②当n为奇数时，由λTn＜n+2恒成立得，由此可得实数λ的取值范围． ‎