2018-2019学年河北省武邑中学高一上学期开学考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省武邑中学高一上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省武邑中学高一上学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．下列计算正确的是（　　）‎ A． B． C． D． ＝‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别将各选项化简即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，故B,C,D三项都是错的，‎ 只有是正确的，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关运算法则的问题，涉及到的知识点有绝对值的意义，非零实数的零次方等于1，指数的运算性质，还有就是根式的意义，属于简单题目.‎ ‎2．若，且，则是（ ）‎ A． 第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，‎ ‎，，同时满足，则的终边在三象限。‎ ‎3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A． 圆柱 B． 球 C． 圆锥 D． 棱柱 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据圆柱的三视图，有两个视图是矩形，一个是圆；球的三视图都是圆；圆锥的三视图有两个是三角形，一个是圆；棱柱的三视图都是多边形；∴这个几何体是圆柱，故选A．‎ ‎【考点】考查了常见几何体的三视图．‎ 点评：解本题的关键是掌握常见的几种几何体的三视图，‎ ‎4．已知点）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先应用第二象限的点的坐标所满足的条件，横坐标小于零，纵坐标大于零，解不等式组即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在第二象限，‎ 所以，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关象限内点的坐标的符号，利用第二象限的点满足横坐标小于零，纵坐标大于零，从而求得结果，属于简单题目.‎ ‎5．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：‎ x ‎…‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－11‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎－2‎ ‎－5‎ ‎…‎ 由于粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是(　　)‎ A． －11 B． －2 C． 1 D． －5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在或时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，‎ 则错误应出现在或时，‎ 故函数的顶点坐标为，‎ ‎，当时，，故，‎ 故，当时，，‎ 故错误的数值为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关二次函数的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有二次函数图象的对称性，从表中可以初步确定哪个点处可能出错，利用其过的点可以确定函数的解析式，从而求得最后的结果.‎ ‎6．如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度随时间变化规律的是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段.‎ ‎【详解】‎ 最下面的容器较细，第二个容器较粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面的容器最细，那么用时最短，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一次函数的图像的模样，再者就是通过观察容器的特征，从而得到相应的结果.‎ ‎7．实数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）‎ A． a+b＞0 B． a﹣b＞0 C． a•b＞0 D． ＞0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，所以异号，且，根据有理数加减法得的值应取b的符号，故，根据其大小，能够判断出，所以，根据有理数的乘法法则可知，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意得：，所以异号，且，所以，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关实数的运算法则问题，涉及到的知识点有异号的两个实数的和的符号与绝对值大的那个数保持一致，两个异号的实数的积与商是小于零的，而两个实数的差的符号与两个实数的大小有关，从而求得结果.‎ ‎8．如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点，‎ 恰好能使△ABC的面积为1的概率是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在的网格中共有25个格点，找到能使得面积为1的格点即可利用概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 在的网格中共有25个格点，而使得三角形面积为1的格点有6个，‎ 故使得三角形面积为1的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关概率的求解问题，涉及到的知识点为随机事件发生的概率，解题的步骤为先确定总的基本事件数，再去找满足条件的基本事件数，之后应用公式求得结果.‎ ‎9．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（　　）‎ A． 9 B． 12 C． 7或9 D． 9或12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边长关系验证能否组成三角形.‎ ‎【详解】‎ 当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长为；‎ 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；‎ 所以这个三角形的周长为12，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关等腰三角形的周长问题，涉及到的知识点有分类讨论的思想，三角形三边关系，认真分析求得结果.‎ ‎10．设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中一定正确的是（ ）‎ A． 是偶函数 B． 是奇函数 C． 是奇函数 D． 是奇函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 为奇函数; 为偶函数;‎ ‎ 为奇函数;‎ ‎ 为偶函数;因此选C.‎ ‎11．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用勾股定理和锐角三角函数的定义、两圆相外切，圆心距等于两圆半径的和.‎ ‎【详解】‎ 设正方形的边长为y，，‎ 由题意知，，即，‎ 由于，化简得，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关角的正弦值的问题，涉及到的知识点有锐角三角函数的定义，勾股定理，两圆相切的条件，利用题中的条件，建立相应的等量关系，求得结果.‎ ‎12．下列命题：①三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；②如果，那么；③若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m<-4；④相等的圆周角所对的弧相等；⑤对于反比例函数，当﹥-1时，y随着x的增大而增大其中假命题有 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；‎ ‎②如果，那么，故正确；‎ ‎③若关于的方程的解是负数，则m的取值范围为且，故错误；‎ ‎④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；‎ ‎⑤对于反比例函数，当或时，y随x的增大而增大，故错误；‎ 所以假命题的个数是4，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关判断命题真假的问题，涉及到的知识点有命题与定理，反比例函数的性质，分式方程的解，锐角三角函数的增减性，圆周角定理，三角形的内切圆与内心，正确理解基础知识是解题的关键.‎ ‎13．设则的最大值是（ ）‎ A． B． 18 C． 20 D． 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，代入，根据，求出x的取值范围即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由已知得：，代入，‎ 整理得，‎ 而，，则，‎ ‎，‎ 当或时，取得最大值，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的最值的求解问题，涉及到的知识点是二次函数的最值问题，在解题的过程中，需要注意的是自变量的取值范围.‎ ‎14．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中心对称图形的概念求解.‎ ‎【详解】‎ 根据中心对称图形的概念可得：图形D不是中心对称图形，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关中心对称图形的选择问题，灵活掌握中心对称图形的概念是解题的关键，属于简单题目.‎ ‎15．出售某种文具盒，若每个可获利元，一天可售出（）个．当一天出售该种文具盒的总利润最大时，的值为(　 　)‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先用每个文具盒获利的钱数乘以一天可售出的个数，即可得到和的关系式，利用配方法，对求得的关系式进行配方，进而可得顶点坐标，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为总利润等于单个利润乘以个数，所以，‎ 将其进行变形，可得，‎ 所以顶点坐标为，‎ 故当时，y取得最大值9，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的应用题，在解题的过程中，注意其解题步骤，首先根据题的条件，建立相应的函数模型，利用配方法求得函数的最值，属于中档题目.‎ 二、解答题 ‎16．先化简，再求值： ，其中是方程的根。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题的条件，可以确定，之后先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，之后将其代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵m是方程x2＋3x－1＝0的根，‎ ‎∴m2＋3m－1＝0，即m2＋3m＝1，‎ ‎∴＝ ‎ ‎＝＝＝＝.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关式子的化简求值问题，涉及到的知识点有分式的化简求值，一元二次方程的根，在解题的过程中，细心运算，把握运算法则是正确解题的关键.‎ ‎17．已知集合， ，‎ ‎（1）求A∪B，‎ ‎（2）求 .‎ ‎【答案】;.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合，利用并集的定义求解即可；（2）利用补集的定义求出与，再由交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 试题解析：(1)由，可得，‎ 所以，‎ 又因为 所以；‎ ‎（2）由可得或，‎ 由可得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式，求集合的补集、并集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎18．解关于的方程：‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将方程两边同时乘以公分母，将分式方程化为整式方程，求得结果，之后进行验根，将增根去掉，从而求得最后的结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，关于的方程：+=，‎ 则得或，而是原方程的增根， ‎ 所以是原方程的根.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关分式方程的求解问题，在解题的过程中，需要明确解分式方程的步骤，特别需要注意的就是最后需要验根.‎ ‎19．如图所示，已知直线与双曲线交于A,B两点，且点A的横坐标为4．‎ ‎（1）求的值及B点坐标；‎ ‎（2）结合图形，直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．‎ ‎【答案】(1)k=8, B(-4,-2)；(2)x＞4或-4＜x＜0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将交点A的横坐标代入直线解析式中求出对应的y的值，即为A的纵坐标，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k 的值，从而求得反比例函数的解析式；‎ ‎（2）由函数的图象和交点坐标即可求得干比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为直线与双曲线交于A,B两点，且点A的横坐标为4，‎ 将代入直线解析式得：，‎ 所以A点的坐标为，‎ 将代入反比例解析式得：，解得，‎ 所以反比例函数的解析式为，并根据图像的对称性可得.‎ ‎（2 ）因为，由图像可知：当或时，‎ 反比例函数的值大于一次函数的值.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关一次函数和反比例函数解析式的求解问题，结合其函数解析式的特征，应用图像所过的一个点即可得到，再者就是利用图像，得到对应的自变量的取值范围，注意数形结合思想的应用.‎ ‎20．已知数列为等比数列，,公比为，且，为数列的前项和.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；‎ ‎（3）是否存在正常数，使得对任意正整数，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）或；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求和公式计算即可得到所求值；‎ ‎（2）由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程即可得到所求值；‎ ‎（3）假设存在正常数c,q，使得对任意的正整数n，不等式总成立，由，即为，等价为，讨论公比q，结合题意，推得存在，求得q的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为所以，所以或（舍去）． ‎ 所以 ‎（2）若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若或成等差数列，‎ 则，解得或1（舍去）；若成等差数列，‎ 则，解得（舍去）.综上，‎ ‎（3）由，可得，故等价于恒成立.‎ 因为 所以得到当时，不可能成立.‎ 当时，另，得，解得 因为，所以即当时，，所以不可能成立.‎ 当时，由，即，所以 即当时，不成立.当时，，‎ 所以当时恒成立，‎ 综上，存在正常数，使得对任意正整数不等式总成立，的取值范围为 ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关等比数列与等差数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，等差数列的性质，等比数列的求和公式，以及是否存在类问题的解法，注意正确应用公式是解题的关键.‎ ‎21．已知关于的方程.‎ ‎（1）求证:无论取什么实数，这个方程总有两个不同的实数根；‎ ‎（2）若这个方程的两个实数根,满足，求的值及相应的,的值。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）当时，；当时，；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式的值恒大于零即可；‎ ‎（2），即，两边平方后再配方得，再根据根与系数的关系用m表示出两根的和与两根的积，代入得到关于m的方程，即可得到m的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：‎ ‎ 原方程总有两个不相等的实数根。‎ ‎（2）由题意可得,异号或有一个为0‎ ‎ ,‎ ‎①当时,‎ 此时方程为,‎ ‎②当时,‎ 此时方程为,‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关一元二次方程根的问题，一是根的个数由一元二次方程的判别式所确定，再者就是根于系数之间的关系，即韦达定理要会熟练应用.‎ ‎22．如图所示，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，抛物线经过B、D两点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由旋转性质可得CD=AB=1，OA=OC=2，从而得到点B,D的坐标，代入解析式即可得出答案；‎ ‎（2）由直线OP把的周长分成相等的两部分，且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得到点Q的坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，‎ ‎∴CD=AB=1，OA=OC=2，则点B（2，1），D（﹣1，2），代入解析式，‎ 得，解得，‎ ‎∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+.‎ ‎（2）如图：‎ ‎∵OA=2，AB=1，∴B（2，1）.‎ ‎∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，‎ ‎∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D（﹣1，2），‎ ‎∴点Q坐标为（，）.‎ 设直线OP解析式为y=kx，‎ 将点Q坐标代入，得k=，解得k=3，‎ ‎∴直线OP的解析式为y=3x，‎ 代入y=﹣x2+x+，得﹣x2+x+=3x，‎ 解得x=1或x=﹣4.‎ 当x=1时，y=3；当x=﹣4时，y=﹣12.‎ ‎∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解析式的求解问题，涉及到的知识点有坐标与图形的变化，二次函数图像上的点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合题，对二次函数的有关问题熟练掌握是解题的关键.‎ ‎23．（1）问题发现 如下图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。‎ 填空：①∠AEB的度数为____________；‎ ‎ ②线段AD、BE之间的数量关系是_________。‎ ‎（2）拓展探究 如下图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。‎ ‎（3）解决问题 如下图，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)① 60； ② AD=BE（2）见解析；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.‎ 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,‎ ‎ ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, ‎ 即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.‎ ‎ ∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．‎ 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，‎ ‎∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.‎ 或.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 在和中，‎ ‎，CD=CE，‎ 所以和全等，‎ 所以AD=BE, ，所以.‎ ‎（2）(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.‎ 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,‎ ‎ ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, ‎ 即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.‎ ‎ ∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．‎ 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，‎ ‎∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.‎ 或.‎ ‎（3）或.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，注意对题中条件的正确转化，是解题的关键，注意量之间的关系.‎ ‎24．抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．‎ ‎（1）如下图，若P(1，－3)、B(4，0)，① 求该抛物线的解析式；② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；‎ ‎（2） 如下图，在图中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）①；②或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；‎ ‎②根据平行线的判定，可得，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；‎ ‎（2）作于Q点，设，可表示出的长，可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①将P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得 ‎ ，解得 ，抛物线的解析式为： ．‎ ‎②如图：‎ 由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P(1，－3)得D(-1，-3)；‎ 如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP，‎ 设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，‎ 再联立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）‎ ‎∴点D的坐标为(-1，-3)或（ ）‎ ‎（2）过点P作PH⊥AB，设P（x，）有OH=x，PH=，‎ 易证：△PAH∽△EAO，则 即，∴，‎ 同理得∴，∴，则OE＋OF＝ ‎ ‎∴OE+OF是定值，等于。‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线的问题，注意对二次函数的图像的特征熟练掌握，对其相关的性质了如指掌，再者就是对相关的结论要非常熟悉.‎