【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第3讲圆的方程作业
对应学生用书[练案56理][练案52文]
第三讲 圆的方程
A组基础巩固
一、选择题
1．(2019·江西南昌)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( C )
A．(－1,1) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
[解析] ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－
0得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2，由圆关于直线y＝x＋2b对称可知圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，所以－3＝1＋2b，得b＝－2，故a－b<4.
二、填空题
9．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__(－2，－4)___，半径是__5___.
[解析] ∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2，∴a＝－1或a＝2(舍)，∴圆的方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.∴圆心坐标为(－2，－4)，半径r＝5.
10．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__(x－2)2＋y2＝10___.
[解析] 依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
11．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x－1)2＋y2＝2___.
[解析] 因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，
所以半径最大时的半径r＝，
所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
12．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是__x＋y－3＝0___.
[解析] 设圆心C到直线l的距离为d，则有cos＝，要使∠ACB最小，则d要取到最大值，此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝＝1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.
三、解答题
13．已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交．
(1)求圆C的标准方程．
(2)求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．
[解析] (1)设圆心C(a，b)，a>0，b>0，半径为r，
则b＝3a，r＝3a.
圆心C(a,3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝a，则(a)2＋()2＝(3a)2，即a2＝1.
因为a>0，所以a＝1.
因为圆心C(1,3)，半径为3，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2)因为直线l：kx－y－2k＋5＝0，即(x－2)k－(y－5)＝0，
所以直线l过定点M(2,5)，kCM＝2，
弦长最短时，kt＝－.
此时直线l：x＋2y－12＝0，|CM|＝，所以最短弦长为4.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若点P到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[解析] (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题意，知y2＋2＝r2，x2＋3＝r3，从而y2＋2＝x2＋3.
故点P的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)．
由已知，得＝，即|x0－y0|＝1.①
由(1)，知y－x＝1，②
联立①②，得或，
解得或，
对应的圆P的半径均为.
故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
B组能力提升
1．(2019·唐山模拟)若方程－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围( B )
A．－4≤m≤4 B．－4≤m≤4
C．－4≤m≤4 D．4≤m≤4
[解析] 由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，若两图象有交点，需－4≤m≤4.
2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)，则的最大值为( D )
A．3＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
[解析] 由题可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中＝k，将圆C的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2,7)，半径r＝2，由直线MQ与圆C有交点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，∴的最大值为2＋，故选D．
3．(2019·南通模拟)点P是圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的动点，点Q(2,2)，O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是__2___.
[解析] 因为|OQ|＝2，直线OQ的方程为y＝x，圆心(－3,1)到直线OQ的距离d＝
eq f(|－3－1|,
(2))＝2，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为2－＝，所以△OPQ面积的最小值为×2×＝2.
4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围 [0，] .
[解析] 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故实数k的取值范围为[0，]．
5．(2019·洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．
(1)求圆S的方程；
(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．
[解析] (1)线段AB的中垂线方程为y＝x，
由得所以圆S的圆心为S(4,4)，
圆S的半径为|SA|＝5，故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.
令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得
8－5
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