【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-8-3解析几何压轴大题题型上——高考3大题型逐一精研作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-8-3解析几何压轴大题题型上——高考3大题型逐一精研作业

课时跟踪检测（五十六） 题型上——高考3大题型逐一精研 ‎ ‎1.(2018·郑州一检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求·的最大值．‎ 解：(1)由题意知＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以e＝＝.‎ ‎(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，得a＝，‎ 由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，‎ ‎①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为 x＝－1，P，Q，＝，＝，故·＝.‎ ‎②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ 由消去y并整理得 ‎(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)‎ ‎＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1‎ ‎＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1‎ ‎＝＝－，‎ 由k2＞0可得·∈.‎ 综上所述，·∈，‎ 所以·的最大值是.‎ ‎2．(2019·沈阳教学质量监测)设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.‎ ‎(1)求点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．‎ 解：(1)设P(x，y)，易知N(x,0)，＝(0，y)，‎ 又＝＝，∴M，‎ 又点M在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.‎ ‎∴点P的轨迹E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：当直线l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝，‎ ‎∴＋＝.‎ 当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，‎ ‎∴＋＝.‎ 当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直线l2的方程为y＝－(x－1)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 联立直线l1与曲线E的方程，得 得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，‎ 可得 ‎∴|AB|＝·＝，‎ 同理可得x3＋x4＝，x1x2＝.‎ 则|CD|＝ ·＝.‎ ‎∴＋＝＋＝.‎ 综上可得＋为定值．‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由e＝，得＝，‎ 即c＝a，①‎ 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，‎ 且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，‎ 所以a＝＝，代入①得c＝2，‎ 所以b2＝a2－c2＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由 得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，‎ 使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，‎ 则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)‎ ‎＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2‎ ‎＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)‎ ‎＝，‎ 要使上式为定值，即与k无关，‎ 只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，‎ 解得m＝，‎ 此时， 2＋·＝m2－6＝－，‎ 所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－.‎ ‎4．(2019·惠州调研)已知点C为圆(x＋1)2＋y＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2.‎ ‎(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；‎ ‎(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤时，求k的取值范围．‎ 解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2＞|CA|＝2，‎ 所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a＝，c＝1，b＝＝1，‎ 故点Q的轨迹方程是＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，‎ 直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1.‎ 联立⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，‎ Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0⇒k≠0，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2‎ ‎＝＋kt＋t2‎ ‎＝－＋k2＋1‎ ‎＝，‎ 所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤，‎ 所以－≤k≤－或≤k≤.‎ 故k的取值范围是∪.‎