高考数学专题复习（精选精讲）练习3-三角函数习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习3-三角函数习题精选精讲

透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点 解答三角高考题的一般策略：‎ ‎（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。‎ ‎（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。‎ ‎（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。‎ 三角函数恒等变形的基本策略：‎ ‎（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。‎ ‎（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。‎ ‎（3）降次，即二倍角公式降次。‎ ‎（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。‎ ‎（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。‎ 三、与三角函数有关的五大热点问题 ‎1．三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。‎ 例1.(06重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2.（06山东卷）已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).‎ 解：（I）‎ 的最大值为2，.‎ 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，‎ ‎.‎ 过点，‎ 又.‎ ‎（II）解法一：，‎ ‎.‎ 又的周期为4，，‎ 解法二：‎ 又的周期为4，，‎ 例3.（06福建卷）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.‎ ‎（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？‎ 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。‎ ‎ 解：（I）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎ 的最小正周期 ‎ 由题意得 即　‎ ‎ 的单调增区间为 ‎ （II）方法一： 先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。‎ ‎ 方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。‎ ‎2．三角函数的性质性质问题 近年来，高考解答题加大了对三角函数性质的考查力度，它不仅考查了函数的有关概念，还考查三角变换技能。‎ 例4.（06辽宁卷）已知函数，.求:‎ ‎(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；‎ ‎(II) 函数的单调增区间.‎ ‎【解析】(I) 解法一: ‎ 当,即时, 取得最大值.‎ 函数的取得最大值的自变量的集合为.‎ 解法二: ‎ 当,即时, 取得最大值.‎ 函数的取得最大值的自变量的集合为.‎ ‎(II)解: 由题意得: ‎ 即: 因此函数的单调增区间为.‎ ‎【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.‎ 例5.（06广东卷）已知函数.‎ ‎(I)求的最小正周期； ‎ ‎(II)求的的最大值和最小值；‎ ‎(III)若，求的值.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的最小正周期为;‎ ‎（Ⅱ）的最大值为和最小值；‎ ‎（Ⅲ）因为，即,即 ‎ ‎3．关于三角函数求值问题 三角函数求值问题，必须明确求值的目标。一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式。解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式。‎ 例6.（06安徽卷）已知 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值。‎ 解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求。‎ ‎（Ⅱ）=‎ ‎===。‎ 例7.（06北京卷）已知函数，‎ ‎ （Ⅰ）求的定义域；‎ ‎ （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.‎ 解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，‎ 即的定义域为｛x|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝‎ ‎（2）＝－2sinx＋2cosx＝－2sina＋2cosa 由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝‎ ＝－2sina＋2cosa＝‎ 例8.（08湖南卷）已知求θ的值. ‎ 解析：　由已知条件得.‎ 即.‎ 解得.‎ 由0＜θ＜π知，从而.‎ ‎4．三角形函数的最值问题 ‎ 三角形函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，是和三角函数求值问题并重的重要题型，是高考必考内容之一。‎ 例9．(06陕西卷)已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.‎ 解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) ‎ ‎ = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1‎ ‎ =2sin[2(x－)－]+1‎ ‎ = 2sin(2x－) +1 ‎ ‎∴ T==π ‎ (Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+ ‎ 即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}．‎ ‎5．三角与平面向量综合问题 ‎ 由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，必将成为高考命题的热点。‎ 例10.（06浙江卷）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)‎ 的图象与y轴交于点（0，1）. ‎ ‎(Ⅰ)求φ的值；‎ ‎(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。‎ 解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.‎ ‎（II）由函数及其图像，得 所以从而 ，‎ 故.‎ 四、典型例题分析 例1、‎ ‎ 分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现：‎ ‎ （1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；‎ ‎ （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；‎ ‎ （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。‎ ‎ 解法一：‎ ‎ ‎ ‎ 解法二：（从“名”入手，异名化同名）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。‎ 例2、已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。‎ 解：(1)，由题意，可得，解得，所以；‎ ‎(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。‎ ‎［注］本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。‎ 例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析二：‎ ‎ ‎ ‎ 解法如下：‎ ‎ ‎ ‎ 　‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［注］换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。‎ 例4、已知向量，‎ ‎(1)求的值；(2)若的值。‎ 解：(1)因为 所以 又因为，所以，‎ 即；‎ ‎(2) ，‎ 又因为，所以 ，‎ ‎，所以，所以 点评　本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．‎ 例5、已知向量，向量与向量的夹角为，且，‎ ‎（1）求向量；‎ ‎（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。‎ ‎　　分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。‎ 解：（1）设，由，有　　①‎ ‎ 向量与向量的夹角为，有，‎ ‎，则　　②‎ 由①、②解得：　‎ ‎（2）由与垂直知，‎ 由 若，则，‎ ‎　　　　＝，‎ ‎，‎ 例6　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．‎ ‎（１）用a，表示S1和S2；‎ ‎（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．‎ 解：（1）‎ 设正方形边长为，则 ‎（2）当固定，变化时，‎ 令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。‎ o ‎［注］三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。‎ 三角高考数学题的常规解题途径 ‎ 由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。‎ 途径1：化成“三个一”‎ ‎ “三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。‎ ‎ 例1. （2004年全国）求的最小正周期、最大值和最小值。‎ ‎ 分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。‎ ‎ 简解：‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。‎ ‎ 途径2：化成“两个一”‎ ‎ 若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。‎ ‎ 例2. （2004年广东）当时，函数的最值为（ ）‎ ‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎ 分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成，却无法变成一次方形式，则走途径2。‎ ‎ ，选（D）。‎ 分析2：本题若用降幂公式变形为，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为，利用辅助角，得函数 ‎，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得。‎ ‎ 途径3：边角转换 ‎ 若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。‎ ‎ 例3. 在中，分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角B；（2）若 ‎，求a的值。‎ ‎ 简解1（边化角）：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 简解2（角化边）：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 得或3‎ ‎ 评注：有些学生把条件变形为后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。‎ ‎ 途径4：三角变换 ‎ 三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。‎ ‎ 例4. （2002年全国）已知，求的值。‎ ‎ 分析：本题是由角的余弦求角的余弦，故用角变换。因为，而的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。‎ ‎ 简解：‎ ‎ ‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以 ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。‎ ‎ 途径5：等价转化 ‎ 有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。‎ ‎ 例5. （2004年广东）已知成公比为2的等比数列（），且也成等比数列，求的值。‎ ‎ 分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为，代入后，再选用途径4求解。‎ ‎ 简解：‎ ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 即 ‎ 所以。以下从略。‎ 高三期末(11套)数学试卷分类汇编——三角函数 ‎ 15．（本题满分14分）‎ 已知，，求和的值．‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.函数的最小正周期是 ▲ . ‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在中，角A、B、C的对边分别为，已知向量 且满足，‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若试判断的形状。‎ ‎15．（1）‎ ‎（2）。‎ ‎2．已知，则= ．‎ ‎16．（本小题满分16分）‎ 已知向量，若函数的图象经过点和 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的最小正周期，并求在上的最小值；‎ ‎（III）当时，求的值．‎ ‎16．（I）‎ ‎（II），‎ 的最小正周期为 当或时，的最小值为1．‎ ‎（III）‎ 两边平方得，解得 ‎1.函数的最小正周期是 ▲ . ‎ ‎4.已知，则值为 ▲ .7‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 在中， 所对边分别为.‎ 已知,且.‎ ‎（Ⅰ）求大小.‎ ‎（Ⅱ）若求的面积S的大小.‎ ‎15. 解: 解：（I）∵，‎ ‎∴＝0.‎ ‎∴ ………………………………2分 ‎∵‎ ‎∴ ………………………………4分 ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ………………………………6分 ‎∵‎ ‎∴ ………………………………8分 ‎（II）△ 中，‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎∴ ………………………………10分 ‎∴ ………………………………12分 ‎∴△的面积 ……………14分 ‎7．方程（为常数，）的所有根的和为 ▲ ． 0‎ ‎17．（本小题共15分）‎ ‎、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线． ‎ ‎（Ⅰ）如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形的边长；‎ ‎ （Ⅱ）如图，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形的三顶点分别放在，，上，如果能放，求和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？‎ ‎（Ⅲ）如果边长为2的正三角形的三顶点分别在，，上，设与的距离为，与的距离为，求的范围？‎ ‎（第17题）‎ ‎17．不妨设 ‎ ‎（Ⅰ）∵到直线的距离相等，‎ ‎ ∴过的中点， 1分 ‎ ∴ 2分 ‎ ∴边长 4分 ‎ （Ⅱ）设边长为与的夹角为，由对称性，不妨设， 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 两式相比得：‎ ‎ 8分 ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ 9分 ‎ ∴边长 10分 ‎ （Ⅲ）‎ ‎ 11分 ‎ = 12分 ‎ = 13分 ‎ ∵，∴ 14分 ‎ ∴，‎ ‎ ∴ 15分 ‎3．△中，若，，则 ▲ ．4 ‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求函数在内的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在处取到最大值，求的值；‎ ‎（3）若（），求证：方程在内没有实数解．‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（1）， ‎ ‎ 令（）‎ ‎ 则，------------------------------------------------2分 ‎ 由于，则在内的单调递增区间为和；‎ ‎---------------4分 ‎ （注：将单调递增区间写成的形式扣1分）‎ ‎（2）依题意，（），------------------------------------------6分 由周期性，‎ ‎；-----------------8分 ‎（3）函数（）为单调增函数，‎ 且当时，，，此时有；-------------10分 当时，由于，而， ‎ 则有，即，即，------------------12分 而函数的最大值为，且（）为单调增函数，‎ 则当时，恒有，‎ 综上，在恒有，即方程在内没有实数 解．--------------------------------------------------------------------------------------------14分 ‎3． 函数的最小正周期T= ▲ ．‎ ‎ 答案：．‎ ‎9． 在△ABC中，若，则 ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知向量，，记．‎ ‎ （1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；‎ ‎ （2）若，且，求．‎ 答案：（1）∵，‎ ‎∴ …………………………………2分 ‎．………4分 定义域为． ……………………………………………………6分 ‎ （2）因，即＞0，‎ ‎ 故为锐角，于是． ………………………………9分 ‎ ∴=‎ ‎=． ………………………………12分 讲评建议：第（1）问中，必须注意中x的条件限制．‎ ‎ 第（2）中，学生常会将“”展开，并结合，求解方程组，求的值．但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练．‎ ‎9．在△中,, ,若,则= ▲ . ； ‎ ‎1．函数的最小正周期为 ‎ ‎2．已知，求 ‎6.在中，如果∶∶=5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是 ★ ．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 已知向量,,,设.‎ ‎ (Ⅰ)求函数的最小正周期.‎ ‎ (Ⅱ)若,且,求的值.‎ ‎15.解:(Ⅰ)因为 ‎ ……………………………………………………………4分 ‎ 所以函数的最小正周期. ………………………………6分 ‎(Ⅱ)因为,所以, ………………………………8分 又因为,所以, ………………………………10分 即 ‎ =. ………………………………14分 高考试题中常见的三角函数问题及对策 一、高考调研 ‎1 理解任意角的概念、弧度的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算; ‎ ‎2掌握任意角的正弦、余弦正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式;‎ ‎3 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;‎ ‎4能正确运用上述三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值三角函数恒等式的证明；‎ ‎5理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义;用三角变换和图象变换方法解决问题; ‎ ‎6会由已知三角函数值求角，会用记号反正弦、反余弦、反余切表示角；7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。‎ 二、常见题型及对策 Ⅰ利用方程思想和目标意识进行三角变换 例1、已知（Ⅰ）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求的值. ‎ 分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力 ，目标意识，方程组观念平方切入，（Ⅰ）用同角的关系沟通有方法1，由 即 注意角所在范围选取符号又 故 ‎ 认识同角关系的作用，构建方程组有解法2：‎ ‎①②‎ 联立方程 由①得将其代入②，整理得 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）目标意识沟通代入有,，‎ 例2、已知为第二象限的角，为第一象限的角，‎ 解：目标意识,用同角及倍角和角公式的应用, ‎ 已知为第二象限的角，，‎ 例3、已知 解：和角公式及二倍角公式的特征,由目标意识构建同角正弦和余弦的方程组切入,二倍角余弦公式的分解因式使问题简单化例4、已知函数 ‎ ‎ 分析：函数值的意义,降次辅助角切入,由和角值如何求单角的值,平方关系启示展开构建方程组解.‎ 解：‎ 规律总结：三角函数的化简与求值,以角的差异切入,目标意识和整体思维选择变换公式,通过变角,变名称,变结构达到 “特殊值,约项,消项’的目的.其中方程组的观念,整体认识和使用公式起着关键的作用.应注重诱导公式(余角改变名称,补角三角形中降元),同角关系(沟通关系构建方程组,分式类齐次式的处理)、升降幂公式及变形公式的灵活应用.‎ Ⅱ、三角变换化归同一个角的三角函数的图象和性质的问题 例5、已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的值； ‎ ‎ （2）求函数的值域. ‎ 分析：注意特殊值用特殊角的三角函数值表示，逆用辅助角公式化归同一角的三角函数切入，‎ 解：（1），‎ ‎ . ‎ ‎ （2）利用有界性求值域，， ， ‎ ‎ ， ， 函数的值域为. ‎ 例6、化简，并求函数的值域和最小正周期。‎ 分析：诱导公式化简，辅助角公式化归。‎ 解：‎ ‎ ，则函数的值域为[－4,4]，函数的周期 例7、函数 （ ）‎ （A） 在[0，，（，上递增，在[，，（，上递减。‎ （B） 在[0，，[，上递增，在（，，（，上递减。‎ （C） 在（，，（，上递增，在[0，，[，上递减。‎ ‎（D）在[，，（，上递增，在[0，，（，上递减。‎ 分析： 认识整体公式意义，升次公式应用化简,注意两种情形选择支验证,选A;‎ 规律总结：依据题设特征选择诱导公式，升降幂公式，辅助角公式等化归为同一个角的三角函数，利用公式和有解性简化求解问题。‎ Ⅲ、三角变换和三角函数的图象和性质的信息迁移问题 ‎ 例8、函数，[0，]的图像与直线 有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 ‎ 分析：运动变化和数形结合解决图象的交点的个数,从分段的图象入手，平行直线系 ,作图形助数有 为所求;‎ 例9、 设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为　　 　.‎ B P C D A ‎0‎ 分析：理解信息迁移的意义，注意图象的对称性的意义，分割法求面积。‎ （1） 认识对称性和信息反馈两部分关于具有对称性,‎ 而 在[0，]上的面积为,所以面积为;‎ ‎ (2) 如图,所球面积分割为 规律总结：利用三角函数图象性质可数形结合研究根的个数问题，注意图象的对称性，可分割法解决图象与其直线所围成的非规则图形的面积，应积累这种学习体验。‎ Ⅳ、三角形中的三角问题 例10、 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos‎2C＝0，求角A、B、C的大小. ‎ 解：注意三角形中补角的降元意识，从某一个条件入手构建方程有解法一， 由得展开化因式积，则即因为所以，从而由知 从而.‎ 即 由此得所以 注意三角形中补角的降元意识，从另一个条件等式入手构建方程有解法二：由由、，所以即由得 ‎ 所以 即因为，所以由从而，知B+‎2C=不合要求.再由，得 所以 例11、在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.‎ 分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力 引入中位线产生解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=‎ 在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，‎ 构建向量产生解法2：‎ 以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.‎ 引边的高产生解法3：‎ 过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，‎ 过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=‎ 例12、在中，所对的边长分别为，设满足条件 和，求和的值.‎ 分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.‎ 解：注意余弦定理的整体结构特征“边化角”有解法一：‎ 由余弦定理，因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而 注意余弦定理的整体结构特征“角化边”解法二：‎ 由余弦定理，因此，，则，二次齐次式处处理得 所以 ①由正弦定理.由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，从而 规律总结：三角形问题中的三角问题，注意其隐含条件的挖掘.互补角降元，互余角变名常常是变换的思维点；解三角形中若能引入不同的辅助线将会产生不同的思维方法，构建向量利用其概念和运算简化求解三角问题，更显示出向量和三角的相互依赖的关系；正弦定理和余弦定理为“边化角”和“角化边”提供了化统一的依据和方法，要依据题设的特殊性适当的选择.‎ Ⅴ、三角的工具性和应用性 例13、 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？‎ 分析：本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 注意直角三角的函数的意义切入。‎ 解：（Ⅰ）设S为十字形的面积 则 ‎ ‎（Ⅱ）用三角的有界性产生解法一：‎ 其中 当最大.所以，当最大. S的最大值为 ‎ 若用导数解决产生解法二：‎ 因为 ‎ 所以令S′=0，即可解得 所以，当时，S最大，S的最大值为 规律总结：应用问题中若能引入一个角参数，将会优化思维过程，如本题为降低难度给出了角参数，使面积表达式容易沟通；有关三角函数的最值可化归有界性求解也可用导数法求解。‎ Ⅵ、三角与向量及导数的网络交汇问题 例14、设函数，图像的一条对称轴是直线 （Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）证明直线分析：由待定系数确定解析式切入。‎ 解：(1) 认识对称轴确定初相位, (2)为所求的递增区间;‎ ‎(3) 利用导数的几何意义和有界性完成证明. ,而的斜率,所以直线与函数的图像不相切.函数的图像不相切