2020届二轮复习简单的线性规划学案(全国通用)

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2020届二轮复习简单的线性规划学案(全国通用)

简单的线性规划 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。‎ ‎2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。‎ ‎3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;‎ ‎4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。‎ ‎5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。‎ ‎【知识网络】‎ 简单的线性规划 二元一次不等式(组)表示的区域 简单应用 不等式(组)的应用背景 ‎【考点梳理】‎ 不等式与不等关系394841 知识要点】‎ 考点一:用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)‎ 要点诠释:‎ 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤:‎ ‎①画出直线(有等号画实线,无等号画虚线);‎ ‎②当时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当时,另取一特殊点判断;‎ ‎③确定要画不等式所表示的平面区域。‎ 简称:“直线定界,特殊点定域”方法。‎ 考点二:二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y),实数Ax+By+c的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便).把它的坐标代入Ax+By+c,由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.‎ 要点诠释:‎ 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法:‎ 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y),数Ax+By+C的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)‎ 最简便),它的坐标代入Ax+By+c,由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.‎ 考点三:线性规划的有关概念:‎ ‎①线性约束条件:在一个问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.‎ ‎②线性目标函数:‎ 关于x、y的一次式z=ax+by(a,b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.‎ ‎③线性规划问题:‎ 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.‎ ‎④可行解、可行域和最优解:‎ 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.‎ 由所有可行解组成的集合叫做可行域.‎ 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.‎ 要点诠释:‎ 在应用线性规划的方法时,一般具备下列条件:‎ ‎①一定要能够将目标表述为最大化(极大)或最小化(极小)的要求。‎ ‎②一定要有达到目标的不同方法,即必须要有不同的选择的可能性存在;‎ ‎③所求的目标函数是有约束(限制)条件的;‎ ‎④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式(组),并将目标函数表示成为线性函数。‎ 考点四:解线性规划问题总体步骤:‎ 设变量→找约束条件,找目标函数 作图,找出可行域求出最优解 要点诠释:‎ 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用:‎ ‎ ①在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;‎ ‎ ②给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1. 用平面区域表示不等式组.‎ ‎【解析】不等式表示直线右下方的区域,‎ 表示直线右上方的区域,‎ 取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】画出不等式组表示的平面区域并求其面积。‎ ‎【解析】如图,面积为;‎ ‎【变式2】由直线,和围成的三角形区域(如图)用不等式组可表示为 。‎ ‎【解析】‎ ‎【变式3】求不等式组表示平面区域的面积.‎ ‎【解析】不等式所表示的平面区域如图 联立方程组得 所以 例2. 画出下列不等式表示的平面区域 ‎(1) ; (2) ‎ ‎【解析】 (1) 原不等式等价转化为或(无解),‎ 故点在区域内,如图:‎ ‎(2) 原不等式等价为或,如图 举一反三:‎ ‎【变式1】用平面区域表示不等式 ‎(1); (2); (3)‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(1) (2) (3)‎ 例3.求满足不等式组的整数解.‎ ‎【解析】设: ,:,:,则 由,得,‎ 由,得 由,得 于是看出区域内点的横坐标在内,取,‎ 当时,代入原不等式组有,即,得=-2,‎ ‎∴区域内有整点。‎ 同理可求得另外三个整点、、.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】求不等式组的整数解。‎ ‎【解析】如图所示,‎ 作直线,,,‎ 在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域,‎ 此三角形区域内的整点(2,1),(1,0),(2,0),(1,-1),(2,-1),(3,-1)即为原不等式组的整数解。‎ 类型二:图解法解决简单的线性规划问题.‎ 不等式与不等关系394841 基础练习一】‎ 例4.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( )‎ A.12 B.10 C.8 D.2‎ ‎【解析】由约束条件可知可行域如图:‎ 平移知在处取得最大值 答案:B 举一反三:‎ ‎【变式1】求的最大值和最小值,使式中的,满足约束条件.‎ ‎【解析】在平面直角坐标系内作出可行域(如图所示)‎ 作直线,把向右上方平移至位置,‎ 即直线经过可行域上点A时,距原点距离最大,且,‎ 这时目标函数取得最大值.‎ 由方程组 ,解得,∴.‎ 把直线向左下方平移至位置,即直线l经过可行域上点B时,由于,‎ 这时目标函数取得最小值.‎ 由方程组 ,解得,∴.‎ ‎【变式2】给出平面区域如图所示,若使目标函数取得最大值的最优解有无穷个,则的值为 . ‎ ‎【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得.‎ ‎【变式3】如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,‎ 要求的最小值只需求出圆心到平面区域的最小值再减去半径1即可。‎ 由图象可以知道圆心到平面区域的最小值就是圆心到直线的距离 ‎(垂足为A)‎ 所以,故选A 例5(2015春 衡阳校级期末)若满足求:‎ ‎(1) 的最小值;‎ ‎(2) 的范围;‎ ‎(3) 的最大值.‎ ‎【解析】作出满足已知条件的可行域为内(及边界)区域,如图其中,,‎ (1) 目标函数表示直线,表示该直线 纵截距,当过点时纵截距有最小值,故 ‎(2)目标函数表示区域内的点到坐标系点的距离的平方,又原点O到AB距离 ‎ 且垂足是在线段AB上,故 ,即 ‎(3)目标函数,则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点A时,斜率最大,即即 举一反三:‎ ‎【变式】(2015春 龙海市期末)变量满足约束条件若的最大值为2,则实数m等于 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图阴影)‎ 变形目标函数可得,平移直线经过点A时,目标函数取最大值2,‎ 联立可解得即点 ‎,解得 类型三:某些实际背景的线性规划问题.‎ 例6.‎ 某厂生产甲、乙两种产品,生产甲种产品每件要消耗煤9吨,电力4千瓦,使用劳动力3个,获利7000元:生产乙种产品每件要消耗煤4吨,电力5千瓦,使用劳动力10个,获利12000元。有一个生产日,这个厂可动用的煤是360吨,电力是200千瓦,劳动力是300个,问应该如何安排甲、乙两种产品的生产,才能使工厂在当日的获利最大,并问该厂当日的最大获利是多少?‎ ‎【解析】设生产甲产品x件,乙产品y件 ‎ 约束条件:, ‎ 目标函数:z=7000x+12000y 如图:目标函数经过A点时,z取得最大值 ‎ ‎, 即A(20,24)‎ ‎∴ 当x=20, y=24时,zmax=7000×20+12000×24=428000(元)。‎ 答:安排甲产品20件,乙产品24件时,利润最大为428000元。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车,9名驾驶员,在建筑某段高速公路中,此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务,已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次,B型卡车6次,每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元,B型卡车252元,每天派出A型车与B型车各多少辆,才能使公司所花的成本费最低?‎ ‎【解析】设派出A型车x辆,B型车y辆,所花成本费为z=160x+252y,且x、y满足给条件如:‎ ‎,即 如图所示,作出不等式表示的区域,‎ 作直线,即,‎ 作直线的平行线:‎ 当直线经过可行域内A点时,纵截距最小,‎ 可得A点坐标为。‎ ‎∵z=160x+252y,∴,式中代表该直线的纵截距b,‎ 而直线的纵截距b取最小值时,z也取得最小值,‎ 即过时,,‎ 但此时,‎ ‎∴z=1220.8到不到,即它不是可行解,调整x、y的值,‎ 当x=5,y=2时,点在直线4x+5y=30上,且在可行域内符合x、y要求。‎ ‎∴派5辆A型车,2辆B型车时,成本费用最低,‎ 即zmin=160×5+2×252=1304(元).‎
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