2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）‎ ‎1．（5分）双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B． C． D．8‎ ‎2．（5分）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（　　）‎ A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0‎ ‎3．（5分）已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．（5分）设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎6．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0点的坐标为（　　）‎ A．（1，0） B．（2，8） C．（2，8）和（﹣1，﹣4） D．（1，0）和（﹣1，﹣4）‎ ‎7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎8．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0‎ ‎9．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎10．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二、解答题（共4小题，满分20分）‎ ‎13．（5分）函数y=的导数为　 　．‎ ‎14．（5分）已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0=　 　．‎ ‎15．（5分）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为　 　．‎ ‎16．（5分）给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ ‎18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎19．（12分）求曲线f（x）=ex﹣f（0）x+x2在点（1，f（1））处的切线方程．‎ ‎20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线L与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求L的方程．‎ ‎21．（12分）（1）求垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程．‎ ‎（2）已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2，求y=f（x）的解析式．‎ ‎22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线L交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）‎ ‎1．（5分）双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B． C． D．8‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得b的值，进而由虚轴长为2b，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，‎ 则其中b==2，‎ 则虚轴的长2b=4；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意虚轴的长是2b．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（　　）‎ A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0‎ ‎【分析】由题意，根据导数的定义，可知f′（x0）=，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，根据导数的定义，可知f′（x0）=，‎ ‎∴=2f′（x0），‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的定义，考查函数的极限，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c=2b，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．‎ ‎【解答】解：设焦距为2c，‎ 则有，解得b2=16，‎ ‎∴椭圆．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先求出导函数，再代值算出a．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，‎ ‎∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是对导数基本知识的考查，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则代入双曲线方程，相减可得﹣，‎ ‎∵点P（6，2）是AB的中点，‎ ‎∴x1+x2=12，y1+y2=4，‎ ‎∵直线l的斜率为3，∴=3，‎ ‎∴a2=b2，c2=2a2，‎ ‎∴e=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0点的坐标为（　　）‎ A．（1，0） B．（2，8） C．（2，8）和（﹣1，﹣4） D．（1，0）和（﹣1，﹣4）‎ ‎【分析】先设切点坐标，然后对f（x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设切点为P0（a，b），f'（x）=3x2+1，k=f'（a）=3a2+1=4，a=±1，‎ 把a=﹣1，代入到f（x）=x3+x﹣2得b=﹣4；‎ 把a=1，代入到f（x）=x3+x﹣2得b=0，‎ 所以P0（1，0）和（﹣1，﹣4）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎【分析】由椭圆方程求得a，再由椭圆定义结合已知求得|PQ|．‎ ‎【解答】解：∵直线PQ过椭圆的右焦点F2，‎ 由椭圆的定义，在△F1PQ中，有|F1P|+|F1Q|+|PQ|=4a=16．‎ 又|F1P|+|F1Q|=10，∴|PQ|=6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0‎ ‎【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：4x﹣y+m=0，‎ 即曲线y=x4在某一点处的导数为4，‎ 而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，‎ 将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，‎ 故l的方程为4x﹣y﹣3=0．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用F1关于渐近线的对称点恰落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 设一条渐近线方程为y=﹣x，则F1到渐近线的距离为=b．‎ 设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，‎ 又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形，‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ ‎∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，‎ ‎∴c=2a，∴e=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，‎ ‎∴a＞0，﹣＞0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵f′（x）=2ax+b，‎ ‎∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，‎ ‎∴A符合，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2‎ ‎），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．‎ ‎【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；‎ 由得，y2﹣2py﹣p2=0；‎ ‎∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；‎ ‎∴弦AB的中点坐标为；‎ 弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及根据直线的倾斜角求斜率，直线的点斜式方程，韦达定理．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值．‎ ‎【解答】解：解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则 由于|BC|=3|BF|=3|BN|，则直线l的斜率为2，‎ ‎∵|AF|=4，‎ ‎∴AM=4，‎ 故|AC|=3|AM|=12，从而|CF|=8，|CB|=6．‎ 故，即p=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．‎ ‎　‎ 二、解答题（共4小题，满分20分）‎ ‎13．（5分）函数y=的导数为　　．‎ ‎【分析】根据函数的导数公式进行求导即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数y′==，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0=　﹣　．‎ ‎【分析】求导数，确定切线的斜率，利用曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0‎ 处的切线互相垂直，建立方程，即可求x0的值．‎ ‎【解答】解：由题意，y′=2x，k1=y′|x=x0=2x0；y′=3x2，k2=y′|x=x0=3x02‎ ‎∵曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，‎ ‎∴k1k2=﹣1，‎ ‎∴6x03=﹣1，∴x0=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义，考查两条直线垂直位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为　﹣=1　．‎ ‎【分析】先根据题意可推断出椭圆方程中的长半轴，进而根据离心率求得焦半距，根据曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，推断出其轨迹是双曲线且半焦距为5，实轴为8，进而求得虚轴的长，则双曲线的方程可得．‎ ‎【解答】解：根据题意可知椭圆方程中的a=13，‎ ‎∵=‎ ‎∴c=5‎ 根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8‎ ‎∴虚轴长为2=6‎ ‎∴双曲线方程为﹣=1‎ 故答案为：﹣=1‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的定义和简单性质，双曲线的标准方程和椭圆的简单性质．考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　（1）（3）　．‎ ‎【分析】由题意可得：，化为（x≠±3）．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得=5，即可得出曲线C的焦点坐标；‎ ‎（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，由于∠F1MF2=90°，可得，mn=16；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，可得|F2A|=8，|F1A|=2，解得xA，即可判断出；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a=6，可得|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；‎ ‎（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣xA=8，解得xA=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．‎ 综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ ‎【分析】设出椭圆方程，利用已知条件求出a，c然后求解b，得到椭圆方程，联立直线与由椭圆方程，利用判别式大于0，结合韦达定理求解即可．‎ ‎【解答】（本小题10分）解：设椭圆C的方程为，‎ 由题意a=3，c=2，b==1．∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ 联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，‎ 因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，‎ 故线段AB的中点坐标为（﹣，）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），到抛物线顶点的距离的平方为+p，利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求解p，即可得到抛物线方程．‎ ‎（2）直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理结合•=0‎ 求解m即可．‎ ‎【解答】（本小题12分）解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），‎ 到抛物线顶点的距离的平方为+p，‎ ‎∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，‎ ‎∴+p=（+）2，∴p=2 抛物线的方程为：y2=4x．‎ ‎（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，‎ ‎∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0‎ 可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0‎ ‎∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．‎ ‎【点评】B本题考查抛物线方程的求法直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）求曲线f（x）=ex﹣f（0）x+x2在点（1，f（1））处的切线方程．‎ ‎【分析】利用已知条件求出f′（1），得到曲线的斜率，求出f（1），然后求解切线方程．‎ ‎【解答】（本小题12分）解：由题意，f′（x）=ex﹣f（0）+x，‎ ‎∴f′（1）=e﹣f（0）+1，∴f（0）=1，‎ f（x）=ex﹣1+x2‎ f（0）=e0﹣1，‎ ‎∴f′（1）=e ‎∴f（x）=ex﹣1+x2，‎ ‎∴f（1）=e﹣，‎ ‎∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即y=ex﹣，‎ 曲线f（x）=ex﹣f（0）x+x2在点（1，f（1））处的切线方程：y=ex﹣．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线L与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求L的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的半焦距，利用离心率求出a，然后求解椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求解三角形的面积，利用换元法结合基本不等式求解三角形面积的最大值时，得到直线的斜率，然后求出直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），A（0，﹣2），由条件直线AF的斜率为，知，得c=，又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，x1，2=‎ 从而|PQ|=|x1﹣x2|=，‎ 又点O到直线PQ的距离d=，所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=，‎ 设，则t＞0，S△OPQ==≤1，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及设而不求思想方法的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（1）求垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程．‎ ‎（2）已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2，求y=f（x）的解析式．‎ ‎【分析】（1）求出切点坐标（a，b），求出函数的导数，利用斜率求出a，然后求解b，即可得到切线方程；‎ ‎（2）求出函数的导数，利用曲线的斜率列出方程，点在曲线上也切线上，列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 解：（1）设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x，‎ 切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，‎ 得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），‎ 垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程为：y+3=﹣3（x+1），‎ 即3x+y+6=0．‎ ‎（2）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，‎ f′（x）=4ax3+2bx，k=f′（1）=4a+2b=1，‎ 切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1），‎ 得a+b+c=﹣1，得a=，b=﹣，‎ f（x）=x4x2+1．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法与应用，考查函数与方程的思想，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线L交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设P（x，y），根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能出动点P的轨迹C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线L的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），L的方程为y=k（x﹣2），将其代入，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由此利用韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、线段MN的垂直平分线方程，结合已知条件能求出的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=4＞4，‎ 根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为=1．‎ ‎（Ⅱ）设直线L的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则L的方程为y=k（x﹣2），将其代入，‎ 整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，‎ 由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，‎ 根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，‎ 那么|MN|=‎ ‎=•‎ ‎=，‎ y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，‎ 线段MN中点H的坐标为（，），‎ 那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），‎ 令y=0，得D（，0），‎ ‎|DH|==，‎ 则=•=•，‎ 由k≠0，可得1+∈（1，+∞），‎ ‎∴∈（0，）．‎ ‎【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查两线段的比值的求法，考查韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、线段MN的垂直平分线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎