高考数学一轮复习专题08不等式中的最值与参数特色训练

高考数学一轮复习专题08不等式中的最值与参数特色训练

八、不等式中的最值与参数 一、选择题 1．【2018 届河南省天一大联考高三上 10 月测试】已知  , 0,m n  ，若 2mm n   ，则 mn 的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】因为 2mm n   ，化简可得 2 2 2mn m n mn   ，故 2 8mn mn ，即 8mn  ， 当且仅当 2 4m n  是等号成立，即 mn 的最小值是 8，故选 C. 2．【2018 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若 2 20( , 0)m n m n   ，则  lg lg lg2m m 的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】A 3．【2018 届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知 ， 则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】因 ，故 ， 又因为 ，所以 ，当 且仅当 ，即 取等号，应选答案 D. 4．【2017 浙江卷】若 x,y 满足约束条件 x 0 {x+y-3 0 z 2 x-2y 0 x y      ，则 的取值范围是 A. [0,6] B. [0,4] C. [6, +） D. [4, +） 【答案】D 【解析】解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图： 故选：D． 5．【2018 届河南省林州市第一中学高三 8 月调研】已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 且 8 42 5S S  ，则 9 10 11 12a a a a   的最小值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】由题意可得： 9 10 11 12 12 8a a a a S S     ，由 8 42 5S S  可得 8 4 4 5S S S   ， 由等比数列的性质可得： 4 8 4 12 8, ,S S S S S  成等比数列， 本题选择 C 选项. 6．【2018 届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】已知实数 满 足条件 ,则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 ；由 ；由 ；由约束条件做出 的可行域如图所示， 的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率，观察图形可知 的斜率 最小，所以 .故选 A. 7．【2018 届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点 在不等式组 表示 的平面区域上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图： ，则 z 的几何意义是区域内的点到点 D（1，0）的 距离的平方，由图象知 D 到直线 2x-y=0 的距离最小，此时 ，所以 ， 故选 D. 8．【2018 届河南省天一大联考高三 10 月测试】已知实数 满足 若 的最 大值为 10，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】作可行域，则直线 过点(3,4)时取最大值，由 得 ，选 B. 9．【2018 届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】设实数 满足 , 则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出可行域如图所示： 10．【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线 2 0ax by   （ 0, 0a b  ）始 终平分圆 2 2 2 2 2x y x y    的周长，则 1 1 2a b  的最小值为（ ） A. 3 2 2 4  B. 3 2 2 2  C. 3 2 2 2  D. 3 2 2 4  【答案】D 【解析】直线平分圆周，则直线过圆心 1,1 ，所以有  1 1 1 1 1 1 32, 2 2 2 2 2 2 b aa b a ba b a b a b                   1 3 3 2 22 ·2 2 2 4 b a a b         （当且仅当 2b a 时取“=”），故选 D. 11．【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知实数 x ， y 满足 2 5 0, { 3 5 0, 5 0, x y x y kx y k          若目标函数 1 3z x y  的最小值的 7 倍与 2 7z x y  的最大值相等，则实数 k 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】D 12．【2018 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量 ,x y 满足约束条件 2 2 { 0 4 x y x y x        ，若不等式 22 0x y m   恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A. 6, 6   B. 7, 7   C.   , 6 6,    D.   , 7 7,    【答案】D 【解析】作出约束条件 2 2 { 0 4 x y x y x        所对应的可行域（如图中阴影部分），令 2z x y   ， 当直线经过点  4, 1A   时， z 取得最大值，即  max 2 4 1 7z       ，所以   , 7 7,    ，故选 D． 二、填空题 13．已知 ， ，则 的最小值是________. 【答案】4 【解析】由题意可得： 当且仅当 时等号成立. 据此可得 的最小值是 4. 14．【2017 天津卷】若 ,a b R ， 0ab  ，则 4 44 1a b ab   的最小值为___________. 【答案】4 15．【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】当 时， 对任意实数 都成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】当 时，不等式显然成立； 当 时， 而 ，∴ ，即 当 时， ，∴ 故答案为： . 16．已知数列 n 满足 1 1 2a  ，  * 1 1 n n n aa n Na   ，若不等式 4 1 0nta n    恒成立， 则实数 t 的取值范围是_____． 【答案】[﹣9，+∞） 三、解答题 17．【2018 届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 对任意 恒成立，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）写出分段函数 ，再分段讨论解不等式。（2） 即求 f(x)的最小值，由（1）中分段函数可知最小值为 ，即 ，由于 ，所以 ，再由重要不等式 ，可解。 试题解析：（1） ， 或 或 解得 或 的解集为 或 . 18．在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，且满足 24cos cos2 4cos cos 2 CC C C  ． （1）求角 C 的大小； （2）若 1 22CA CB   ，求 ABC 面积的最大值． 【答案】（1） C 3  （2） 2 3 【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得 cosC 的值，进而求得 C ． （2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于 a 和b 的关系式，进而利用基 本不等式求得 ab 的范围，进而求得三角形面积的最大值． 试题解析： （1）由 2 C4cosC cos2C 4cosCcos 2   得  24cosC 2cos C 1 2cosC 1 cosC    解得 1cosC 2  ， 由 0 C   ，所以 C 3  （注：也可将 1C C 2 D2         两边平方） 即 2 24 2 2 a abb       2 2 2 4 2 2 a b ab ab   ， 所以 8ab  ，当且仅当 4a  ， 2b  时取等号 此时 C 1 3sinC2 4S ab ab   ，其最大值为 2 3 . 19．【2018 届贵州省贵阳市普通高中高三 8 月摸底】已知函数   2f x x x   . (1)解不等式   6f x  的解集 M ； (2)记(1)中集合 M 中元素最小值为 m ，若 ,a b R ，且 a b m  ，求 1 11 1a b         的最 小值. 【答案】（1）  | 2 M x x  ；（2）4． 【解析】试题分析： (1)零点分段可得解不等式   6f x  的解集  | 2 M x x  ； (2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式，注意等号成立的条件. 试题解析： (1)   6f x  ，即为 2 6x x   ， ∴ 2{ 2 6 x x x      或 2{ 2 6 x x x      即 2x  ∴  | 2 M x x  . (2)由(1)知 2m  ，即 2a b  ，且 ,a b R ， ∴ 1 11 1 1 12 2 a b a b a b a b                      3 3 5 3 5 3 2 42 2 2 2 2 4 2 4 b a b a b a a b a b a b                        . 当且仅当 1a b  时， 1 11 1a b         取得最小值 4. 20．【2017 届安徽省亳州市二中高三下检测】已知 0, 0a b  ，函数   2f x x a x b    的最小值为1． （I）求证： 2 2a b  ； （II）若 2a b tab  恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）实数t 的最大值为 9 2 . 试题解析：（Ⅰ）法一：   2 = 2 2 b bf x x a x b x a x x         ， ∵  2 2 2 b b bx a x x a x a            且 02 bx   ， ∴   2 bf x a  ，当 2 bx  时 取等号，即  f x 的最小值为 2 ba  ， ∴ 12 ba   ， 2 2a b  . 法二：∵ 2 ba  ， ∴   3 , 2 ={ , 2 3 , 2 x a b x a bf x x a x b x a b a x bx a b x                   ， 显然  f x 在 , 2 b    上单调递减，  f x 在 ,2 b   上单调递增， ∴  f x 的最小值为 2 2 b bf a      ， ∴ 12 ba   ， 2 2a b  . （Ⅱ）∵ 2a b tab  恒成立， ∴ 2a b tab   恒成立，  2 1 2 1 2 1 1 2 22 1 42 2 a b a ba bab b a b a b a                    1 2 2 91 4 22 2 a b b a          当 2 3a b  时， 2a b ab  取得最小值 9 2 ， ∴ 9 2 t ，即实数t 的最大值为 9 2 . 21．【2017 届浙江省台州市高三 4 月调研】已知数列 满足： . （1）求证： ； （2）求证： . 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 试题解析：（1）由 ， 所以 ，因为 ， 所以 . （2）假设存在 ， 由（1）可得当 时， ， 根据 ，而 ， 所以 . 于是 ， …… . 累加可得 （*） 22．【2017 届浙江省台州市高三 4 月调研】已知函数 . （1）若函数 在 上存在两个极值点，求 的取值范围； （2）当 时，求证：对任意的实数 ， 恒成立. 【答案】(1) 的取值范围 ;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1） 在 上有两个实根，根据二次函数根的分布 列不等式组， ，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当 时， ， 利用导数分 和 两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明 . 试题解析：（1） ，由已知可得 在 上存在两个不同的零点， 故有 ，即 ， 令 ，由图可知 ， 故 的取值范围 . 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 因为 ， 要证 ，只需证 ，即证 ， 因为 ，所以 ， 所以 成立. 综上所述，对任意的实数 恒成立.