专题26+平面向量的概念及运算（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题26+平面向量的概念及运算（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

本专题特别注意：‎ ‎1.向量加减的几何意义 ‎2. 向量共线的问题 ‎3. 零向量问题 ‎4.向量夹角为锐角和钝角问题 ‎ ‎5.基本定理的两条路径法表示向量 ‎6.向量共线与三点共线的区别与联系 ‎7.向量的模与夹角的运算及应用问题 ‎8.平行与垂直问题 ‎【学习目标】‎ ‎1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．‎ ‎2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.向量线性运算技巧 ‎(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.‎ ‎(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.‎ ‎2.向量共线问题 ‎(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ 高考模拟：‎ 一、单选题 ‎1．已知平面向量，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据向量的数乘以及向量的减法运算，求得对应向量的坐标，利用模的坐标公式求得结果.‎ 详解：因为平面向量，，则向量，‎ 所以，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关向量的模的问题，在解题的过程中，需要应用向量的数乘以及减法运算公式，求得对应向量的坐标，之后应用模的坐标运算式求得结果.‎ ‎2．设为向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析：“”可得，由“”可得向量夹角为或，利用充分不必要的定义可得结果.‎ 点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎3．已知向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先应用向量共线时坐标所满足的关系，求得，从而可以求得，之后应用向量的模的坐标公式求得结果. ‎ 点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，在解题的过程中，需要利用向量共线坐标所满足的条件，求得相关的参数的值，之后应用向量加法运费法则求得和向量的坐标，接着应用向量的模的坐标公式求得结果.‎ ‎4．已知四个命题：‎ ‎①如果向量与共线，则或；‎ ‎②是的必要不充分条件；‎ ‎③命题： ， 的否定： ， ；‎ ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.‎ 以上命题正确的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】①错，如果向量与共线，则 ；‎ ‎②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到 ‎，如 ；‎ ‎③命题： ， 的否定： ， ；‎ 正确 ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.‎ 故选D.‎ ‎5．两个单位向量，的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】两个单位向量，的夹角为, 则 ‎ 代入得到.‎ 故答案为：.‎ ‎6．已知，是两个单位向量，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：本题的难点在于解题思路的找寻，对于这个最值，一般利用函数的思想，先建立的三角函数，进而研究函数的最值.‎ ‎7．若向量、满足、，，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，，所以，，即，‎ 所以，又 ，故与的夹角为，‎ 选.‎ 考点：平面向量的数量积、模、夹角.‎ ‎8．已知向量，满足，，若且（，），则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：本题考查向量的基本运算，向量模的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．解题时二次函数的配方是解题的关键 ‎9．已知是互相垂直的两个单位向量，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 本题选择B选项.‎ ‎10．设平面向量满足，且，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴．‎ ‎∵，当且仅当与共线同向时等号成立，‎ ‎∴的最大值为．选C．‎ 点睛：‎ 由于向量，且，因此向量确定，这是解题的基础也是关键．然后在此基础上根据向量模的三角不等式可得的范围，解题时要注意等号成立的条件．‎ ‎11．四边形中， ，且，则四边形是（ ）‎ A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 ‎【答案】C ‎12．下列命题正确个数为的是（ ）‎ ‎① 对于任意向量、、，若∥， ∥，则∥ ‎ ‎② 若向量与同向，且︳︳＞︳︳，则＞ ‎ ‎③‎ ‎④ 向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个 ‎【答案】D ‎【解析】 对于①，若，则不能得出，①错；对于②，向量不能比较大小，所以②错；对于③， 表示与共线的向量， 表示与共线的向量，所以与不一定相等，③错；对于④， 与是共线向量，等价于，A、B、C、D四点不一定共线，所以④错，正确个数为0个，选D. ‎ 点睛：本题主要考查向量中的有关概念，属于易错题。解答本题的关键是熟练掌握向量中的相关概念、性质等。‎ ‎13．如图，以为直径在正方形内部作半圆， 为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）‎ A. 无最大值，但有最小值 B. 既有最大值，又有最小值 C. 有最大值，但无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 ‎【答案】A ‎【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，‎ 点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.‎ ‎14．下列命题正确的是( )‎ A. 与,与共线，则与也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C. 向量与不共线，则与都是非零向量 D. 有相同起点的两个非零向量不平行 ‎【答案】C ‎15．已知向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有： ，‎ 由向量关系可得： ，‎ 则： ，‎ 整理可得： ，‎ 满足题意时： ，‎ 据此可得三角不等式： ，‎ 解得： ，即 的取值范围是 . ‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎16．下列命题中： ‎ ‎ ①∥ 存在唯一的实数，使得；‎ ‎ ②为单位向量，且∥，则； ‎ ‎③；‎ ‎ ④与共线，与共线，则与共线； ‎ ‎⑤若 ‎ 正确命题的序号是（ ）‎ A. ①⑤ B. ②③ C. ②③④ D. ①④⑤‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：逐一分析判断即得正确答案.‎ 点睛：（1）本题主要考查平面向量的基本概念和性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和辨别能力. (2)本题的几个命题是典型的易错题，要理解掌握.如：∥ 存在唯一的实数，使得；与共线，与共线，则与共线；若.‎ ‎17．给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.‎ ‎③（为实数），则必为零.‎ ‎④为实数，若，则与共线.‎ 其中正确的命题的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎18．对于非零向量，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则在上的投影为 C. 若，则 ‎ D. 若，则 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A.：若，， 时，不一定有，故A错误 B： 可得在上的投影为或，故B错误；‎ C：由，可得从而有 ，故C正确 D：由不一定成立，故D错误 故选C ‎19．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　)‎ A. B. // C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎20．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）‎ A. 若向量，向量 ，则 B. 若四边形ABCD为菱形，则 C. 点是ΔABC的重心，则 D. ΔABC中， 和的夹角等于 ‎【答案】D ‎【解析】ΔABC中， 和的夹角等于的补角，D的说法是错误的.‎ 本题选择D选项. ‎ 二、填空题 ‎21．已知向量，，其中，且与共线，则当取最小值时，为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量共线的充要条件得 则 当且仅当时，取等号，此时，‎ 则 ‎22．已知向量，若（为实数），则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎23．若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，由可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则 结合题意可得： .‎ ‎24．如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.‎ ‎（1）若为中点, ______（用,表示）‎ ‎（2）已知下列四个向量:‎ ‎①; ②;‎ ‎③; ④.‎ 对于点,,,,落在阴影区域内（不含边界）的点有_____（把所有符合条件点都填 上）‎ ‎【答案】 ‎ ‎25．已知向量， ， ，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,‎ 由，平方得，‎ 因为，所以，‎ 有，解得 ‎26．已知， ， ，若向量满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知，由得，‎ 所以或，由此可得的取值范围是.‎ ‎27．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点， ， ， ，若动点 ，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题主要考查了平面向量的线性运算及其运用，综合了圆上点与定点之间的距离最大值，先给出动点的轨迹方程，再表示出向量的坐标结果，依据其几何意义计算求得结果，本题方法不唯一，还可以直接计算含有三角函数的最值 ‎28．已知向量的夹角为，若，则 ___________。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意可得： ，‎ 整理可得： ，‎ 据此可得： .‎ ‎29．已知， ，且，若点P满足，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎30．在锐角中，，，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题设可得，即，也即，则，故，应填答案。.‎ ‎31．如图，在中，为线段上的一点，，且，则_______，_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，得，即，所以，.‎ ‎32．①若与为非零向量，且 时，则 必与或中之一的方向相同；‎ ‎②若为单位向量，且，则 ；‎ ‎③；‎ ‎④若与共线，与共线，则与必共线；‎ ‎⑤若平面内有四个点，则必有.‎ 上述命题正确的有______.（填序号）‎ ‎【答案】⑤‎ 点睛：此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是平面向量的基础知识点.在此问题中，针对每个命题的条件与结论，逐一对照平面向量相关的知识，进行运算、判断，抓住零向量方向的特殊性，进行验证，从而问题可得解.‎ ‎33．设 为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则.上述命题中，假命题个数是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】向量是既有大小又有方向的量， 与 模相同，但方向不一定相同，故①为假命题；若与方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 ，故②③也是假命题，故答案为 ‎ ‎34．如图， 为线段的中点， ， ，设， ，试用， 表示， ， .‎ ‎【答案】， ‎ ‎【解析】【试题分析】依据题设条件运用向量的三角形法则进行求解：‎ 解：因为， ，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎35．已知， ，则与向量共线的单位向量为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意可得： ‎ 设所求向量为： ，由题意可得： ，‎ 求解方程组可得：与向量共线的单位向量为或.‎ ‎36．如下图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设，则= ．（结果用表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：向量的运算 ‎37．已知，，函数，那么下列四个命题中正确命题的序号是 .‎ ‎①是周期函数，其最小正周期为；‎ ‎②当时， 有最小值；‎ ‎③是函数的一个单调递增区间；‎ ‎④点是函数的一个对称中心.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】试题分析：‎ 函数的周期为， ①为错误的；当时， 取得最小值，此时，即，当时， ， ②为正确的；令 ，解得， 函数的增区间为，当时，函数的增区间为， ③为正确的；令 ，解得， 函数的对称中心为，当时，得点是函数的一个对称中心， ④为正确的；综上所述，②③④是正确的命题.故答案为②③④. ‎ 考点：命题的真假；三角函数的性质.‎ ‎38．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．‎ 解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）‎ 设P（0，b）（0≤b≤a）‎ 则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），‎ ‎∴=（5，3a﹣4b）‎ ‎∴=≥5．‎ 故答案为5．‎ 点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．‎ ‎39．设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：‎ ‎①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；‎ ‎②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；‎ ‎③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．‎ 其中真命题的序号是_______________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】（1）若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；‎ ‎（2）由题得围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；‎ ‎（3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故 中的中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．‎ 故填②③.‎ ‎40．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，在平行四边形中， 分别是的中点，则以 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是.‎ 即答案为.‎ ‎41．如图，在平面斜坐标系中， ，斜坐标定义：如果（其中,分别是轴， 轴的单位向量），则叫做P的斜坐标.‎ ‎（1）已知P得斜坐标为，则__________．‎ ‎（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是__________．‎ ‎【答案】 1 ‎ 点睛：本题给出了一个新情景，考查了学生运用新情景的能力，本题解答中只要明确试题的本质是向量的一个变形应用，即可得到求解，此类问题的解答中认真读题，读懂信息，转化为数学知识的运算是解答的关键.‎