数学文·北京师大附中2017届高三上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·北京师大附中2017届高三上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣4＜0}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．N⊆M B．N∩M=∅ C．M⊆N D．M∪N=R ‎2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i ‎3．设p：log2x＜0，q：（）x﹣1＞1，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（　　）‎ A．1升 B．升 C．升 D．升 ‎5．若函数f（x）=，则f（f（10））=（　　）‎ A．lg101 B．2 C．1 D．0‎ ‎6．如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的x值为（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．﹣1或 ‎7．已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．100 cm3 B．108 cm3 C．84 cm3 D．92 cm3‎ ‎9．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C． D．3‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎11．若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞ B．a＜ C．a≤ D．a≥‎ ‎12．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2（a＞0）及其外一点A（0，2）．若圆C上存在点T满足∠CAT=，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式=　　．‎ ‎14．已知菱形ABCD的边长4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一 点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为　　．‎ ‎15．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=　　．‎ ‎16．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．‎ ‎18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如图部分频率分布直方图，其中成绩在[130，150]的称为“优秀”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法在在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段在分数段[120，130）内的概率．‎ ‎（3）若统计了这100名学生的地理成绩后得到如下表格：‎ 数学成绩“优秀”‎ 数学成绩“一般”‎ 总计 地理成绩“优秀”‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 地理成绩“一般”‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 则能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”？‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎ P（K2≥k）‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎ k ‎ 2.072‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 5.024‎ K2=．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC； ‎ ‎（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积．‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣1，且f'（1）=﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求点T的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线W，过点T作直线m，若直线m被曲线W截得的线段长为，求直线m的极坐标方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数的最小值为a．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣4＜0}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．N⊆M B．N∩M=∅ C．M⊆N D．M∪N=R ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】求出集合N，然后判断集合的关系即可．‎ ‎【解答】解：集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}．‎ 可得M⊆N．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．‎ ‎【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，‎ ‎∴z=2﹣i．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设p：log2x＜0，q：（）x﹣1＞1，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由log2x＜0可知0＜x＜1，又由于＞1，得x﹣1＜0，故x＜1是0＜x＜1的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵log2x＜0‎ ‎∴0＜x＜1，‎ 又∵＞1，‎ ‎∴得x﹣1＜0，‎ 故x＜1是0＜x＜1的充分不必要条件．‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（　　）‎ A．1升 B．升 C．升 D．升 ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．‎ ‎【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，‎ 根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，‎ 即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，‎ 把d=代入①得：a1=，‎ 则a5=+（5﹣1）=．‎ 故选B ‎　‎ ‎5．若函数f（x）=，则f（f（10））=（　　）‎ A．lg101 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=，‎ 所以f（10）=lg10=1；‎ f（f（10）=f（1）=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的x值为（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．﹣1或 ‎【考点】选择结构．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值．‎ 当x≤0时，若y=2x=，则x=﹣1，‎ 当0＜x＜时，若y=x=，则x=∉（0，），舍去，‎ 当x时，若y=x2=，则x=﹣（舍）或x=，‎ 输入的x值为﹣1或，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，‎ ‎∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，‎ 根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，‎ 把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，‎ 则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，‎ ‎∴当a=时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，‎ 则ab的取值范围是（﹣∞，]．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．100 cm3 B．108 cm3 C．84 cm3 D．92 cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，原几何体为：‎ 一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．‎ 因此该几何体的体积=3×6×6﹣××3×4×4‎ ‎=108﹣8‎ ‎=100．‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C． D．3‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 若表示的平面区域为三角形，‎ 由，得，即A（2，0），‎ 则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，‎ 即2+2m＞0，‎ 则m＞﹣1，‎ 则A（2，0），D（﹣2m，0），‎ 由，解得，即B（1﹣m，1+m），‎ 由，解得，即C（，）．‎ 则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC ‎ ‎=|AD||yB﹣yC|‎ ‎=（2+2m）（1+m﹣）‎ ‎=（1+m）（1+m﹣）=，‎ 即（1+m）×=，‎ 即（1+m）2=4‎ 解得m=1或m=﹣3（舍），‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞ B．a＜ C．a≤ D．a≥‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意知：函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5，函数f（x）在R上单调递增，则说明f'（x）在R上恒有f'（x）≥0，转换为一元二次函数问题．‎ ‎【解答】解：由题意知：函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5‎ 则f'（x）=3ax2﹣2x+1，‎ 函数f（x）在R上单调递增，则说明f'（x）在R上恒有f'（x）≥0；‎ 所以有，即：‎ 解得：a 故选：D ‎　‎ ‎12．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2（a＞0）及其外一点A（0，2）．若圆C上存在点T满足∠CAT=，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，由题意可得1≥≥sin∠MAT，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．‎ ‎【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，‎ ‎∴圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，‎ ‎∴AM=，TM=|a|，‎ ‎∵AM和TM长度固定，‎ ‎∴当T为切点时，∠MAT最大，‎ ‎∵圆M上存在点T使得∠MAT=45°，‎ ‎∴若最大角度大于45°，则圆M上存在点T使得∠MAT=45°，‎ ‎∴=≥sin∠MAT=sin45°=，‎ 整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥﹣1或a≤﹣，‎ 又=≤1，解得a≤1，‎ 又点 A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，‎ ‎∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1‎ ‎∵a＞0，∴≤a＜1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式=　3　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，∴﹣2cosθ﹣sinθ=0，‎ 求得tanθ=﹣2，∴代数式==3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．已知菱形ABCD的边长4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一 点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．‎ ‎【解答】解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．‎ 在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，‎ 满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域 ‎∵S菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×=8，‎ ‎∴S阴影=S菱形ABCD﹣S空白=8﹣π×12=8﹣π．‎ 因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P===，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=　5　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．‎ ‎【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．‎ 又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2．‎ 故5log2a3=5log22=5．‎ 故选为：5．‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=　2　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．‎ ‎【解答】解：函数可化为f（x）==，‎ 令，则为奇函数，‎ ‎∴的最大值与最小值的和为0．‎ ‎∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．‎ 即M+m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得cosA=，结合A的范围，即可解得A的值．‎ ‎（Ⅱ）由b=2c及余弦定理可求得cosA=，解得c，b，由三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 由（2b﹣c）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，‎ 得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，…‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴sinB≠0，‎ 所以cosA=，因为0＜A＜π，‎ 所以解得：A=．…‎ ‎（Ⅱ） 因为b=2c．所以cosA===，解得c=，‎ ‎∴b=2．…‎ 所以S△ABC=bcsin A=×2××=．…‎ ‎　‎ ‎18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如图部分频率分布直方图，其中成绩在[130，150]的称为“优秀”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法在在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段在分数段[120，130）内的概率．‎ ‎（3）若统计了这100名学生的地理成绩后得到如下表格：‎ 数学成绩“优秀”‎ 数学成绩“一般”‎ 总计 地理成绩“优秀”‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 地理成绩“一般”‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 则能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”？‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎ P（K2≥k）‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎ k ‎ 2.072‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 5.024‎ K2=．‎ ‎【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）求出频率，然后求解分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数．‎ ‎（2）求出[110，120）分数段的人数，[120，130）分数段的人数，在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，基本事件总数，求出A的事件数目；然后求解概率．‎ ‎（3）求出K2，即可判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．‎ ‎【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为 ‎1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；‎ 分数在[130，150]内的频率为 ‎0，.25+0.05=0.3；‎ 所以分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为100×0.3=30．‎ ‎（2）依题意，[110，120）分数段的人数为100×0.15=15（人），‎ ‎[120，130）分数段的人数为100×0.3=30（人）；‎ ‎∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ ‎∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；‎ 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；‎ 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，‎ 则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，‎ ‎（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；‎ 则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），‎ ‎（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；‎ ‎∴P（A）==．‎ ‎（3），‎ 所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC； ‎ ‎（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．得到EF⊥AC．证明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）证明MF∥PA，即可证明MF∥平面PAB，同理EF∥平面PAB．然后证明平面MEF∥平面PAB，得到ME∥平面PAB．‎ ‎（Ⅲ）证明MN⊥底面ABCD，然后求解四棱锥M﹣ECDF的体积．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，‎ ‎∴∠ABC=45°，‎ 所以AB⊥AC．‎ 由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，‎ 所以EF⊥AC．…‎ 因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，‎ 所以PA⊥底面ABCD．…‎ 又因为EF⊂底面ABCD，‎ 所以PA⊥EF．…‎ 又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以EF⊥平面PAC．…‎ ‎（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，‎ 所以MF∥PA，‎ 又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ 所以MF∥平面PAB．…‎ 同理，得EF∥平面PAB．‎ 又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，‎ 所以平面MEF∥平面PAB．…‎ 又因为ME⊂平面MEF，‎ 所以ME∥平面PAB．…‎ ‎（Ⅲ）解：在△PAD中，过M作MN∥PA交AD于点N（图略），‎ 由，得，‎ 又因为PA=6，‎ 所以MN=4，…‎ 因为PA⊥底面ABCD，‎ 所以MN⊥底面ABCD，‎ 所以四棱锥M﹣ECDF的体积．…‎ ‎　‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．‎ ‎【考点】圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，‎ 即．‎ 得圆O的方程为x2+y2=4．‎ ‎（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．‎ 设P（x，y），‎ 由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，‎ 两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，‎ 化简整理可得，x2﹣y2=2．‎ ‎=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．‎ 由于点P在圆O内，故 由此得y2＜1．‎ 所以的取值范围为[﹣2，0）．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣1，且f'（1）=﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣1，求出a的值，从而求出函数的解析式即可；‎ ‎（2）问题转化为对于任意x∈（0，+∞），都有lnx﹣x≤m．设g（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）对f（x）求导，得f'（x）=1+lnx+2ax，‎ 所以f'（1）=1+2a=﹣1，解得a=﹣1，‎ 所以f（x）=xlnx﹣x2﹣1．‎ ‎（2）由f（x）﹣mx≤﹣1，得xlnx﹣x2﹣mx≤0，‎ 所以对于任意x∈（0，+∞），都有lnx﹣x≤m．‎ 设g（x）=lnx﹣x，则．‎ 令g'（x）=0，解得x=1．‎ 当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ g'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ g（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以当x=1时，g（x）max=g（1）=﹣1．‎ 因为对于任意x∈（0，+∞），都有g（x）≤m成立，‎ 所以m≥﹣1．所以m的最小值为﹣1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求点T的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线W，过点T作直线m，若直线m被曲线W截得的线段长为，求直线m的极坐标方程．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；点的极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎【分析】（Ⅰ）曲线C的普通方程为，将直线l的参数方程代入上式，解得t的值，可得点T的坐标，再化为极坐标．‎ ‎（Ⅱ）依题知，坐标变换式为，可得W的方程为x2+y2=6．分直线m的斜率不存在和直线m的斜率存在两种情况，分别依据条件求得直线m的方程，再化为极坐标方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为，将代入上式，‎ 整理得t2﹣4t+4=0，解得t=2，故点T的坐标为，‎ 故极径ρ==2，极角θ满足tanθ==，结合点所在的象限可得θ=，‎ 故点T的极坐标为．…‎ ‎（Ⅱ）依题知，坐标变换式为，故W的方程为：，即x2+y2=6．‎ 当直线m的斜率不存在时，其方程为，显然成立．‎ 当直线m的斜率存在时，设其方程为，即，‎ 则由已知，圆心（0，0）到直线m的距离为，故，‎ 解得．此时，直线m的方程为．‎ 综上，直线m的极坐标方程为：，或．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数的最小值为a．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求的最小值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围，求出a的值即可；（2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数，‎ 当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减；‎ 当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，‎ 所以当x=1时，f（x）的最小值a=．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知m2+n2=，由m2+n2≥2mn，得mn≤，‎ ‎∴≥，‎ 故有 +≥2≥，当且仅当m=n=时取等号，‎ 所以的最小值为．‎ ‎　‎ ‎2016年11月28日