四川省绵阳市2020届高三4月线上学习评估数学（文）试题 Word版含解析

四川省绵阳市2020届高三4月线上学习评估数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 绵阳市2017级线上学习质量评估 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合B,再求得解.‎ ‎【详解】由题得或，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.若则是的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ - 23 -‎ ‎【详解】因为等价于，‎ ‎∴“a>2”是“a<2或a>2”的充分不必要条件．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解不等式是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎3.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的除法求出得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查复数除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ）‎ A. B. C. 90° D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离，解三角形即得解.‎ ‎【详解】设直线和圆相交于A,B两点，圆心为O, 作,垂足为C.‎ 由题得圆心到直线的距离为，‎ 因为R=2,所以，.‎ 故选：C - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ）‎ A. 72 B. 74 C. 76 D. 78‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．‎ ‎【详解】样本间隔为，设第一个号码为，‎ 编号为58的产品在样本中，则，‎ 则第一个号码为2，‎ 则最大的编号，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，求解样本间隔是解决本题的关键．‎ ‎6.已知双曲线的离心率为2,则双曲线的渐近线为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 由离心率求出即可．‎ ‎【详解】由题意，所以，．渐近线方程为．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程与离心率，掌握关系式是解题关键．‎ ‎7.已知为第三象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求出的值，再求出的值得解.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 所以，为第三象限角，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查和角的正切的计算，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.中，，，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求出的余弦，再求出,最后利用三角形的面积公式求解.‎ ‎【详解】由余弦定理得,‎ - 23 -‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.某木材加工厂需要加工一批球形滚珠.已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径．‎ ‎【详解】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径，‎ 则，‎ ‎．‎ 故选：．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎10.曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作一条和平行的切线，斜率，则两直线间的距离就是最小距离．‎ ‎【详解】作一条和平行的切线，斜率，‎ 则两直线间的距离就是最小距离.‎ 曲线，，解得，，‎ 切点坐标为，，‎ 切点，到的距离．‎ 曲线上的点到直线的距离的最小值为．故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，是中档题，解题时要注意导数的应用和点到直线的距离公式的合理运用．‎ ‎11.2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：‎ 购票人数 ‎1~50‎ ‎51~100‎ ‎100以上 - 23 -‎ 门票价格 ‎13元/人 ‎11元/人 ‎9元/人 两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）‎ A. 20 B. 25 C. 30 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据990不能被13整除，得两个部门人数之和：，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可．‎ ‎【详解】不能被13整除，两个部门人数之和：，‎ ‎（1）若，则11 得：，①‎ 由共需支付门票费为1290元可知，②‎ 解①②得：，，不符合题意．‎ ‎（2）若，则9 ，得③‎ 由共需支付门票费为1290元可知，，，‎ 得④，‎ 解③④得：人，人 故两个部门的人数之差为人，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力．‎ ‎12.如图，中，，且，是的外接圆直径，则（ ）‎ - 23 -‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作辅助线如图所示，求出，再求出，最后利用数量积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 作辅助线如图所示，.‎ 因为，所以.‎ ‎,所以.‎ 由垂径定理得,‎ 所以.‎ 在Rt△ADE中，由中位线定理得.‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 直接利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】,当且仅当时取等.‎ 所以函数的最小值是4.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知函数则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分段函数的解析式一步一步的求值.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15.在棱长为1的正方体中，点分别为线段、的中点，则点到平面的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再利用求出点A到平面EFC的距离得解.‎ - 23 -‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以,‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为，则,‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈的模型波动（为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元.则根据模型可知在10月份每件售价约为_____.（结果保留整数）‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 根据题意，可得当时，函数有最大值为90；当时，函数有最小值50，再利用正弦函数的最值，联列方程组，解之可得，．根据函数的周期，结合题意得到，最后用函数取最大值时对应的值，可得，从而可以确定的解析式，再求10月份每件售价.‎ ‎【详解】月份达到最高价90元，7月份价格最低为50元，‎ 当时，函数有最大值为90；当时，函数有最小值50，‎ ‎，可得，‎ 又函数的周期，‎ 由，得，‎ 当时，函数有最大值，‎ ‎，即，得，‎ 的解析式为：．‎ 所以 故答案为： 84‎ ‎【点睛】本题根据一个实际问题的研究，着重考查了由的部分图象确定其解析式的知识点，考查了数学应用能力，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列满足，，且是等差数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，求出，即得；（2）利用错位相减法求.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 由题意得，即，‎ 解得，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 两式相减可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项，考查了错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.已知该厂有两条不同生产线和生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：‎ 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到的产品，质量等级为合格.‎ ‎（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求两件均由生产线生产的概率；‎ - 23 -‎ ‎（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关.‎ 生产线的产品 生产线的产品 合计 良好以上 合格 合计 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）（2）见解析，不能 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用古典概型的概率公式求两件均由生产线生产的概率；（2）先完成质量等级与生产线产品列联表，再利用独立性检验计算判断得解.‎ ‎【详解】（1）从茎叶图知，样本中优秀的产品有2件来自生产线，3件来自生产线；‎ 设生产线的产品为，，生产线的产品分别为，‎ 从这5件优秀产品中任意抽取两件的所有情况有：‎ ‎，，，，，，，，，共10种，‎ 其中均来自生产线的有，，共3种，‎ 两件均由生产线生产的概率为.‎ ‎（2）由已知可得，列联表为 - 23 -‎ 生产线的产品 生产线的产品 合计 良好以上 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 合格 ‎14‎ ‎8‎ ‎22‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎，‎ 所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是边的中点.平面平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上求点（说明点的具体位置），使得平面，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）点为线段上靠近点的三等分点.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，即得证；（2）设，在中，过作的平行线交于点，点即为所求的点.再求出，即得解.‎ ‎【详解】（1）证明：如图，连结，则由是菱形可得.‎ - 23 -‎ 平面平面，平面平面，且，‎ 平面，‎ 又平面，‎ ‎，‎ 平面.‎ 平面，‎ ‎.‎ ‎（2）设，在中，过作的平行线交于点，点即为所求的点.‎ 平面，平面，且，‎ 平面.‎ 是菱形，且是的中点，‎ ‎，且，‎ 又，于是，‎ 故点为线段上靠近点的三等分点.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，动直线与椭圆交于点，与轴交于点.为坐标原点.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ - 23 -‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出椭圆的方程为，再求出，，的面积即可求；（2）设，，结合韦达定理求出,即得的最小值.‎ ‎【详解】（1）椭圆的离心率为，‎ ‎，‎ 解得，所以椭圆的方程为.‎ 据题知时，直线的方程为，即.‎ 设，，‎ 联立消去，整理得，解得，，‎ 于是可得，，‎ 的面积为.‎ ‎（2）设，，‎ 联立得，‎ - 23 -‎ 其判别式，所以，，‎ 由可得，‎ 于是，，‎ 从而 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查面积的计算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）试讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在定义域上有两个极值点，试问：是否存在实数，使得？‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再对分三种情况，和讨论，即得 - 23 -‎ 的单调性；（2）先求出，，再计算出，再解方程得解.‎ ‎【详解】（1）函数定义域为，‎ ‎，‎ 当时，，所以此时函数在单调递增.‎ 当时，，‎ 方程的判别式.‎ 当时，，此时，此时函数在单调递增.‎ 当时，方程的两个根为，‎ ‎.‎ 由可得或，‎ 即此时在，上单调递增；‎ 由可得，‎ 即此时在上单调递减；‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，在，上单调递增；，在 - 23 -‎ 上单调递减.‎ ‎（2），‎ 由题知方程在上有两个不相等的实数根，‎ 即方程上有两个不相等实数根，‎ 有解得.‎ 这时，.‎ 于是 所以.‎ 存在实数，使得.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在以直角坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，过点的直线的极坐标方程为，曲线的方程为.‎ ‎（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线分别交于点，且成等比数列，求的值.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）（为参数）. （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出直线l的参数方程.利用极直互化的公式写出曲线的直角坐标方程；（2）将代入，得，再利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义得解.‎ ‎【详解】（1）直线的极坐标方程可变形为：，‎ 整理得，‎ 的普通方程为.‎ 又点的直角坐标为，‎ 于是直线的参数方程可以是（为参数）.‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎（2）将代入，得，‎ 由，且，‎ 解得 - 23 -‎ 于是，.‎ 成等比数列，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ 解得或.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式.‎ ‎（2）若且恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）不等式．‎ 当，，解之得；‎ 当时，，解之得；‎ 当时，，无解．‎ - 23 -‎ 综上，不等式的解集为 ‎ ‎（2）令，则 当时，．‎ 欲使不等式恒成立，只需，即．‎ 又因为，所以，即． ‎ ‎．‎ - 23 -‎ - 23 -‎