2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

‎2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因,故应选C.‎ ‎【考点】诱导公式及运用.‎ ‎2．设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5＝12，则a1+a2+…+a7＝（ ）‎ A．14 B．21 C．28 D．35‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 数列{an}是等差数列，则；‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.‎ ‎3．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】 ，得 成立；若 ，得 ‎【详解】‎ 若 ，得 成立；反之，若 ‎ ，得 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.‎ ‎4．定义：，若复数z满足，则z等于（ ）‎ A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i ‎【答案】B ‎【解析】根据定义得到，代入数据化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意知：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5．已知集合，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得。‎ ‎【详解】‎ 集合 解绝对值不等式,可得 ‎ 集合 解分式不等式,可得 则 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题。‎ ‎6．在同一坐标系内，函数的图象关于（ ）‎ A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y=x对称 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以两个函数的图象关于y轴对称，故选C。‎ ‎7．函数在点P（2，k）处的切线是（ ）‎ A．x﹣2y＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．2x﹣2y﹣3＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】求导得到，当时，，计算得到切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎，当时， ‎ 故切线方程为： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0，‎ 所以（-∞，1）上f（x）是增函数．‎ ‎∵f（x）=f（2-x），‎ ‎∴f（3）=f（2-3）=f（-1）‎ 所以f（-1）＜（0）＜，‎ 因此c＜a＜b．‎ 故选B．‎ ‎9．已知是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的周期性和奇函数的性质可得出，代入解析式可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数定义在上的周期为的奇函数，且当时，，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10．设函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】求导得到，计算得到，代入式子化简得到 ‎，取或时计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则 故 当或时得：或 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力.‎ 二、填空题 ‎11．函数f（x）的定义域是_____．‎ ‎【答案】（，0）∪（0，+∞）．‎ ‎【解析】根据定义域定义得到计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域满足： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：‎ ‎13．已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，‎ 得＋1＋q＋q2=.‎ ‎14．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A，B两点的距离 为 m ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得 ‎ ‎15．已知函数，且是函数的极值点。给出以下几个命题：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④‎ 其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①③．‎ ‎【解析】试题分析：的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有。‎ ‎【考点】导数在求函数极值中的应用 ‎16．设函数f（x），‎ ‎①若a＝1，则f（x）的最小值为_____；‎ ‎②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】﹣1 a＜1，或a≥2． ‎ ‎【解析】①分别计算和的最小值，比较得到答案.‎ ‎②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），讨论有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①当a＝1时，f（x），‎ 当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，‎ 当x1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x）2﹣1，‎ 当1＜x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，‎ 故当x时，f（x）min＝f（）＝﹣1，故最小值为 ‎②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）‎ 若在x＜1时，h（x）与x轴有一个交点，‎ 所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，‎ 而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以a＜1，‎ 若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，‎ 则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，‎ 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），‎ 当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，满足题意的 综上所述：a的取值范围是a＜1，或a≥2．‎ 故答案为：-1；a＜1，或a≥2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ 三、解答题 ‎17．已知：{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn＝log2a3n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N（2）Tn＝（n2+n）‎ ‎【解析】（1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.‎ ‎（2）计算得到，直接利用等差数列求和公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）{an}是公比q大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3＝7，可得a1（1+q+q2）＝7，①‎ a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，②‎ 由①②可得a1＝1，q＝2，则an＝2n﹣1，n∈N；‎ ‎（2），‎ 数列{bn}的前n项和Tn＝3（1+2+…+n）＝3n（n+1）（n2+n）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.‎ ‎18．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.‎ ‎(1)求φ；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；‎ ‎(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）图象见解析.‎ ‎【解析】解：（I）∵，∴．‎ ‎∵，∴．…………4分 ‎（II）．由 得函数的单调增区间为．…………8分 ‎（Ⅲ）由知 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故函数在区间上的图象如图所示．‎ ‎…………12分 ‎19．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大 ‎【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，‎ f′(x)＝1－(x>0)，‎ 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；‎ ‎②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，‎ 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在中，内角对边分别是，若 ‎ （1）当求角的度数；（2）求面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）（2）3.‎ ‎【解析】第一问利用正弦定理得到 第二问中 ‎ 得 解：（1）‎ ‎。。。。。。。。。。。5分 ‎（2） ‎ 得 所以面积的最大值为。。。。。。。。。。。。。12分 ‎21．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）．‎ ‎（1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？‎ ‎（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？‎ ‎【答案】（1）w,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大 ‎【解析】（1）先计算售价为，再计算利润为，化简得到答案.‎ ‎（2）化简得到，利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，每件售价为150%50%，‎ 则 ，‎ 则当x＝100时，w0，故企业亏损．‎ ‎（2） ‎ ‎（当且仅当x＝7时等号成立）．‎ 故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎22．已知：函数f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．‎ ‎（1）若f（1）＝2，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）若a＝﹣1，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝0，证明：．‎ ‎【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）证明见解析 ‎【解析】（1）计算得到，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.‎ ‎（2）代入数据得到，得到，设得到函数的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x，‎ ‎∴f'（x）2x+3，‎ 由f'（x）＞0得，0＜x＜2，有f'（x）＜0得，x＞2，‎ ‎∴f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数，‎ ‎∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2；‎ ‎（2）证明：当a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x，‎ ‎∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0，‎ ‎∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2），‎ 令h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1，‎ 由h'（x）＞0得，t＞1，由h'（x）＜0得，0＜t＜1，‎ ‎∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，‎ ‎∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数是解题的关键.‎