2017-2018学年湖南省冷水江市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年湖南省冷水江市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省冷水江市第一中学高二上学期期中考试 理 科 数 学 时量：120分钟 分值120分 命题：王在轩 审题：周国新 一、 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）‎ ‎1.在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　 ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )‎ A. B.2 C.6 D.4‎ ‎3.命题“∃x0∈R，”的否定是（　 ）‎ A．∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0‎ C．∃x0∈R， D．∃x0∈R，‎ ‎4.在△ABC中，三个内角所对的边为，若， ，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3‎ B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0‎ C．命题p的逆否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0‎ D．命题p的逆否命题是真命题 ‎6.设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，] B．[﹣5，0）∪[，+∞） ‎ C．（﹣∞，﹣5]∪[，+∞） D．[﹣5，0）∪（0，]‎ ‎7.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（　　）‎ A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件 C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件 ‎8.如图，，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是,在第一象限的公共点.若，则的离心率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若，则的最小值为（  ）‎ A．6 B．12 C．16 D．24‎ ‎10.抛物线的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是(　　)‎ A．[2，2] B．[2，3] ‎ C．[3，2] D．(0，2)∪(2，＋∞)‎ ‎12.如图，为椭圆的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T 为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则=（　　）‎ A．5 B．3+ C．9 D．14‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前n项和 ‎ ‎14.双曲线（a>0，b>0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于 ‎ ‎15.已知分别为的三个内角的对边，且 ，则面积的最大值为 ‎ ‎16.已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是　 　．‎ 三、 解答题(本大题6小题，共56分)‎ ‎17.（本题8分）△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,‎ （1） 求得值；‎ （2） 求△的面积.‎ ‎18.（本题8分）设数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．‎ ‎19.（本题8分）命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．‎ ‎（1）若p∨q是真命题且p∧q是假命题．求实数a的取值范围．‎ ‎（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．‎ ‎20.（本题10分）已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎21.（本题10分）已知点F是拋物线C：的焦点，若点M在C上，且|MF|=．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．‎ ‎22.（本题12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．‎ ‎2017年下学期冷水江市第一中学高二期中考试试卷 数 学 答 案 时量：120分钟 分值120分 命题：王在轩 审题：周国新 一、 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D A B D C B B C D D D ‎ ‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13. ； 14. 4 ； 15. ； 16. [﹣9，+∞） ．‎ 三、 解答题(本大题6小题，共56分)‎ ‎17.（本题8分）△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,‎ （1） 求得值；‎ （2） 求△的面积.‎ ‎【答案】(1）.（2）的面积.‎ ‎18.（本题8分）设数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．‎ 解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴（2n﹣1）an=2．∴an=．‎ 当n=1时，a1=2，上式也成立．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．‎ ‎19.（本题8分）命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．‎ ‎（1）若p∨q是真命题且p∧q是假命题．求实数a的取值范围．‎ ‎（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．‎ 解：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，‎ ‎∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，‎ 即3a2+2a﹣1＞0，‎ 解得a＜﹣1或a＞，‎ ‎∴p为真时a＜﹣1或a＞；‎ 又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，‎ ‎∴2a2﹣a＞1，‎ 即2a2﹣a﹣1＞0，‎ 解得a＜﹣或a＞1，‎ ‎∴q为真时a＜﹣或a＞1；‎ ‎（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，‎ ‎∴当P假q真时，，即﹣1≤a＜﹣；‎ 当p真q假时，，即＜a≤1；‎ ‎∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴﹣1≤0，‎ 即，‎ 解得﹣1≤a＜2，‎ ‎∴a∈[﹣1，2），‎ ‎∵¬p为真时﹣1≤a≤，‎ 由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，‎ ‎∴¬p⇒r，且r≠＞¬p，‎ ‎∴命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．‎ ‎ ‎ ‎20.（本题10分）已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎21.（本题10分）已知点F是拋物线C：的焦点，若点M在C上，且|MF|=．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．‎ 解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，‎ 又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，‎ ‎∴p的值；‎ ‎（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，‎ 当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），‎ 则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，‎ ‎∴kAM•kBM=×=﹣．‎ 当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，‎ kAM•kBM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），‎ 联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣，‎ 故kAM•kBM===﹣，‎ ‎ ‎ ‎22.（本题12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（ 2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．‎ 解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，‎ 点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，‎ 解得a=，b=1，‎ 即有椭圆的方程为+y2=1；‎ ‎（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，‎ S△OAB=××=；‎ ‎②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，‎ 即有4m2=3（1+k2），‎ ‎|AB|=•=•‎ ‎=•=•‎ ‎=•≤•=2，‎ 当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，‎ 可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，‎ 即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎