新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十一圆锥曲线的方程与性质文

新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十一圆锥曲线的方程与性质文

专题过关检测（二十一） 圆锥曲线的方程与性质 A级——“12＋‎4”‎提速练 ‎1．(2019·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．4‎ C．2 D. 解析：选D　由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.‎ ‎∴5＝e2＝＝＝1＋.‎ 结合a>0，解得a＝.‎ ‎2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ 解析：选A　由|AB|＝4及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y2＝4x，得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1，故选A.‎ ‎3．(2019·广东七校联考)已知抛物线y2＝24ax(a>0)上的点M(3，y0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x 解析：选A　抛物线y2＝24ax(a>0)的准线方程为x＝－‎6a，点M(3，y0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y0)到准线的距离也为5，即3＋‎6a＝5，∴a＝，∴y2＝8x，故选A.‎ ‎4．焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 8‎ 解析：选C　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×‎2c×b＝(‎2a＋‎2c)×，得a＝‎2c，即e＝＝，故选C.‎ ‎5．(2019·广州调研)已知双曲线C的中心为坐标原点，离心率为，点P(2，－)在C上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选B　由e＝＝，得e2＝＝＝()2＝3，即1＋＝3，＝2.设双曲线C的方程为－＝k，因为P(2，－)在双曲线C上，所以－＝k，解得k＝，故－＝，即－＝1，选B.‎ ‎6．(2020届高三·唐山摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 解析：选B　由题意可知，×＝1⇒c＝a，因为c＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，不妨设P与F2在y轴右侧，则得|PF1|2＝|F‎1F2|2＋|PF2|2，所以△F1PF2为直角三角形，故选B.‎ ‎7．(2019·福建五校第二次联考)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A. B．6‎ C. D．4 解析：选A　因为F(1,0)，kAB＝tan 60°＝，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，代入y2＝4x，整理得3x2－10x＋3＝0，解得x＝或x＝3，所以不妨取A，B(3,2)，‎ 故|AB|＝ ＝.故选A.‎ ‎8．设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x 8‎ 轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D　设F1(－c,0)，A(－c，y0)，‎ 则－＝1，‎ 则y＝，‎ 又S△ABF2＝2，‎ 所以×‎2c×＝2，‎ 所以＝，所以＝＝，‎ 故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎9．(2019·郑州第二次质量预测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＝0截得的线段长为(　　)‎ A. B．3‎ C. D．3 解析：选D　由题意可得圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，故圆心为(3,0)，半径r＝3，圆心(3,0)到双曲线的渐近线y＝x的距离d＝，因为离心率e＝＝，所以＝2，所以c2＝a2＋b2＝‎2a2，所以a＝b，故d＝＝，则截得的线段长为2＝2 ＝3，故选D.‎ ‎10．(2019·昆明诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(　　)‎ A. B. 8‎ C. D．3‎ 解析：选A　如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝‎2a，|AF1|＋|AF2|＝‎2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.‎ ‎11．(2019·济南模拟)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1―→·AF2―→＝0，AF2―→＝‎2F2B―→，则椭圆E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设|BF2|＝m，则|AF2|＝‎2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|AF1|＝‎2a－‎2m，|BF1|＝‎2a－m.由AF1―→·AF2―→＝0知AF1⊥AF2，故在Rt△ABF1中，(‎2a－‎2m)2＋(‎3m)2＝(‎2a－m)2，整理可得m＝.故在Rt△AF‎1F2中，|AF1|＝，|AF2|＝，故2＋2＝‎4c2，解得e＝.‎ ‎12．(2019·武汉部分学校调研)如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是(　　)‎ A．(6,12) B．(8,10)‎ C．(6,10) D．(8,12)‎ 解析：选B　由题意可得抛物线E的焦点为(0,1)，圆M的圆心为(0,1)，半径为4，所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离．由得y＝3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4,6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8,10)，选B.‎ ‎13．点M(2,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为________．‎ 解析：易知a≠0，抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为点M(2,1)到抛物线的准线的距离为2，所以当a>0时，＝＝1，得a＝；当a<0时，＝－＝3，得a＝－.‎ 答案：或－ ‎14．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C 8‎ 于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．‎ 解析：由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>1)，由|AB|＝3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得‎4a4－‎17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎15．已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线l的方程为________．‎ 解析：依题意易得抛物线的方程为y2＝4x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为线段MN的中点为(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x1≠x2，由两式相减得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ 答案：2x－y－1＝0‎ ‎16．已知F1，F2分别为椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，点F2关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则长轴长为________；若P是椭圆上的一点，且|PF1|·|PF2|＝，则S△F1PF2＝________.‎ 解析：由椭圆C：＋y2＝1(a>1)，知c＝，‎ 所以F2(，0)，‎ 点F2关于直线y＝x的对称点Q(0, )．‎ 由题意可得 ＝1，即a＝，‎ 则长轴长为2.‎ 所以椭圆方程为＋y2＝1.‎ 所以|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝2.‎ 又|PF1|·|PF2|＝，‎ 所以cos∠F1PF2＝ ‎＝ 8‎ ‎＝＝，‎ 所以sin∠F1PF2＝，‎ 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝××＝.‎ 答案：2　 B级——拔高小题提能练 ‎1．(2019·长沙统考)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F‎1F2为直径的圆经过点P，则△PF‎1F2的面积为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：选C　设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，)，F2(0，－)，所以|F‎1F2|＝2，以F‎1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F‎1F2为直径的圆经过点P，所以x＋y＝2.由得|x0|＝1，于是S＝|F‎1F2|·|x0|＝×2×1＝，故选C.‎ ‎2．(2019·重庆七校联合考试)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且在第二象限与C的交点为P，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A．5 B. C. D. 解析：选A　由题意知，双曲线的左焦点为F(－c,0)，则由直线4x－3y＋20＝0过左焦点得c＝5.由点P在直线4x－3y＋20＝0上，且在第二象限，设点P的坐标为(m<0)．由|OP|＝|OF|＝5得m2＋2＝25，整理得‎5m2‎＋‎32m＋35＝0，解得m＝－5(不符合题意，舍去)或m＝－，所以点P的坐标为.由点P在双曲线上，且b2＝25－a2，得a4－‎50a2＋49＝0，解得a2＝49(舍去)或a2＝1，所以a＝1，离心率e＝＝5.故选A.‎ ‎3．直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，则 8‎ ‎＝(　　)‎ A. B. C．‎2a D．‎‎4a 解析：选B　由题意，知p＝，F.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，|AF|＝|BF|＝，∴＝.当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k，由得k2x2－x＋＝0，所以x1＋x2＝＋，x1x2＝.由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以＝＝＝＝，故选B.‎ ‎4．(2019·洛阳统考)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP(O是坐标原点)是等腰三角形，且PQ―→＝2QA―→，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：不妨设点P在x轴的上方，∵△AOP是等腰直角三角形，A(－a,0)为椭圆的左顶点，∴P(0，a)，又PQ―→＝2QA―→，∴Q的坐标为，∴＋＝1，∴＝5，∴＝，∴椭圆的离心率e＝＝.‎ 答案： ‎5．抛物线y2＝8x的焦点为F，弦AB过点F，原点为O，抛物线准线与x轴交于点C，∠OFA＝，则tan∠ACB＝________.‎ 解析：不妨设点A在第一象限，由题意知F(2,0)，C(－2,0)，∵∠OFA＝，∴由抛物线的性质可得|AF|＝＝yA＝xA＋2，|BF|＝＝|yB|＝xB＋2，∴tan∠ACF＝＝，tan∠BCF＝＝，∴tan∠ACB＝tan(∠ACF＋∠BCF)＝＝4.‎ 8‎ 答案：4 8‎