2020届二轮复习小题考法——圆锥曲线的方程与性质课时作业（全国通用）
课时跟踪检测（十四） 小题考法——圆锥曲线的方程与性质
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析：选B ∵双曲线方程为－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝＝＝2，
即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
2．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A 由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得＝，∴＋1＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
4．(2018·温州适应性测试)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈(1,2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈(1,2]，所以1<≤2，所以1<≤4，又c2＝a2＋b2，所以0<≤3，所以≥，所以≥.
因为－＝1(a>0，b>0)经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝x，设其倾斜角为α，则tan α＝≥，又α∈，所以α∈，故选C.
5．(2018·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
解析：选C 由题意，得F(1,0)，
则直线FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
6．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|
x＋y，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，0≤xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0，又00，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A 如图，设MN的中点为P.
∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3.故选A.
9．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为(－1,1)，∵点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，
∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c＝.
10．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 将x＝c代入－＝1得y＝±，不妨取A，B，所以|AB|＝.
将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，不妨取C，D，所以|CD|＝.
因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥，故选B.
二、填空题
11．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，Δ＝(－10)2－4×3×3>0，y1＋y2＝，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
答案：
12．(2018·浙江高考猜题卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，若直线l：y＝k(x－2 018)与双曲线C的右支有且仅有一个交点，则a－b＝_______；k的取值范围是________．
解析：因为双曲线的离心率e＝，所以＝，从而可得a＝b，即a－b＝0，故双曲线的渐近线方程为x±y＝0，其斜率为±1，易知直线l必过定点(2 018,0)，且直线l：y＝k(x－2 018)与双曲线C的右支有且仅有一个交点，所以由数形结合可知－1≤k≤1，即k的取值范围是[－1,1]．
答案：0 [－1,1]
13．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．
答案：[2,2)
14．已知点A(4,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，F为抛物线的焦点，过A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则p＝________，∠EAF的角平分线所在的直线方程为________．
解析：把A(4,4)代入抛物线方程，得p＝2.由抛物线的性质得|AE|＝|AF|，连接EF，则△EAF为等腰三角形．设EF的中点为B，则直线AB为∠EAF的角平分线所在的直线．由F(1,0)，E(－1,4)，得B(0,2)，则kAB＝＝，则直线AB的方程为y＝x＋2，故∠EAF的角平分线所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
答案：2 x－2y＋4＝0
15．已知椭圆的方程为＋＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________．
解析：设F1是椭圆的左焦点．如图，连接AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|＋|BF2|＝2a＝6，所以要使△ABF2的周长最小，必有|AB|＝2b＝4，所以△ABF2的周长的最小值为10.S△ABF2＝S△AF1F2＝×2c×|yA|＝|yA|≤2，所以△ABF2面积的最大值为2.
答案：10 2
16．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＝－，得＋＝－，y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，kAC＝＝，kBC＝＝，所以＋＋＝＋＋＝＝0.
答案：0
17．如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．
解析：法一：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，所以A，将点A的坐标代入双曲线得－＝1，化简得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2＞0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋.
法二：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4.连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝.在△AF1F2中，由余弦定理得，cos∠F2F1A＝＝，所以c2－3＝2b，又在双曲线中，c2＝1＋b2，所以b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋.
答案：1＋
B组——能力小题保分练
1．双曲线－＝1(a，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
解析：选B ∵∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，∴|PF1|＝|PQ|，P，F2，Q三点共线，而|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PQ|－|PF2|＝2a，即|F2Q|＝2＝2a，解得a＝1.又e＝＝，∴c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选B.
2．(2018·浙江高考原创卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1关于直线y＝－c的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A.－1 B.
C．2－ D.
解析：选C ∵左焦点F1关于直线y＝－c的对称点为Q，∴|F1Q|＝2c.
设椭圆的右焦点为F2，则|F1F2|＝2c.
由椭圆定义知，|F2Q|＝2a－|F1Q|＝2a－2c.
在Rt△F1QF2中，|F1F2|2＋|F1Q|2＝|F2Q|2，
即(2c)2＋(2c)2＝(2a－2c)2，
∴c2＋2ac－a2＝0，故e2＋2e－1＝0，
∴e＝2－(负值舍去)．故选C.
3.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若
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