【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案

‎2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练：坐标系与参数方程 一、考点突破 ‎ ‎1. 坐标系 ‎（1）理解坐标系的作用。‎ ‎（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。‎ ‎（3）能在极坐标系中写出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。‎ ‎2. 参数方程 ‎（1）了解参数方程,了解参数的意义。‎ ‎（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。‎ 二、重难点提示 ‎1. 参数方程的概念，常用参数方程中参数的意义，参数方程与普通方程的互化。‎ ‎2. 极坐标的概念，极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。‎ 一、知识脉络图 二、知识点拨 ‎（一）极坐标 ‎1. 极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位 和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。‎ ‎2. 极坐标系内一点的极坐标 ‎　 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。‎ ‎（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；‎ 当时表示极点；‎ ‎　　当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点P’，使得，点即为所求的点。‎ ‎（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。‎ 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，，均表示同一个点。‎ ‎3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：‎ 直角坐标化极坐标：；‎ 极坐标化直角坐标：‎ ‎　　此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系。‎ ‎4. 直线的极坐标方程：‎ ‎（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及 ‎（2）过垂直于极轴的直线：‎ ‎5. 圆的极坐标方程：‎ ‎（1）以极点为圆心，为半径的圆：‎ ‎　 （2）若，，以为直径的圆： ‎ ‎（二）柱坐标系与球坐标系： ‎ ‎1. 柱坐标系的定义： ‎ 空间点P（x，y，z）与柱坐标（）之间的变换公式：‎ ‎2. 球坐标系的定义：‎ 空间点与球坐标之间的变换公式：‎ ‎（三）参数方程 ‎　　概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）‎ ‎　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。‎ ‎（四）常见曲线的参数方程 ‎1．直线的参数方程 ‎　　（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：‎ ‎　　（为参数）；‎ ‎　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，）。‎ ‎（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：‎ ‎（为参数，为常数，）；‎ ‎　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。‎ ‎2. 圆的参数方程 ‎　　（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：‎ ‎（是参数，）；‎ 特别地，当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。　‎ ‎　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。‎ ‎ 　　　‎ ‎　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。‎ ‎3. 椭圆的参数方程 ‎（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。‎ ‎（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。‎ ‎　　如图中，点对应的角为（过作轴，‎ ‎　　交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。‎ ‎（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。‎ ‎　　椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。‎ ‎4. 双曲线的参数方程 ‎　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。　‎ ‎5. 抛物线的参数方程 ‎　　抛物线（）的参数方程为（是参数）。‎ ‎　　参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。‎ ‎6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：‎ ‎（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；‎ ‎　　（2）摆线的参数方程　 （是参数）。‎ 能力提升类 例1 已知曲线： （t为参数），：（为参数）。‎ ‎（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若上的点P对应的参数为，Q为上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。‎ 一点通：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线表示一个圆；曲线表示一个椭圆；‎ ‎（2）把t的值代入曲线的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线的参数方程设出点Q的坐标，利用中点坐标公式表示出点M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出点M到已知直线的距离，据两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．‎ 答案：（1）‎ 为圆心是，半径是1的圆。‎ 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。 ‎ ‎（2）当时，，故，为直线，‎ 中点M到的距离 从而当时，取得最小值。‎ 点评：此题考查运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．‎ 例2 若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________． ‎ 一点通：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。‎ 答案：曲线为参数，且表示的以原点为圆心，以1为半径的右半圆，（如图），直线与曲线有两个不同的交点,直线应介于两直线之间则 点评：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答。‎ 例3 已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线的参数方程为（t为参数，t∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程； （Ⅱ）求点F1、F2到直线的距离之和。‎ 一点通：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求距离。‎ 答案：（Ⅰ）直线普通方程为；曲线的普通方程为 ‎ （Ⅱ）∵,，∴点到直线的距离 ‎ 点到直线的距离 ∴‎ 点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程。极坐标方程化为普通方程时可由公式进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程。而对于参数方程则两式相减消掉参数即可。‎ 综合运用类 例4 已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．‎ 一点通：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答。‎ 答案：曲线C的极坐标方程是，化为直角坐标方程为，‎ 即，直线l的参数方程为，化为普通方程为x－y－1=0，‎ 曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为=．‎ 点评：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长，一般由圆心距和半径求出。‎ 例5 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，‎ 求|PA|+|PB|。‎ 一点通：（Ⅰ）利用极坐标公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出圆C的普通方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得到关于参数t的一元二次方程，结合参数t的几何意义利用根与系数的关系即可求得|PA|+|PB|的值．‎ 答案：（Ⅰ）由得即 ‎（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，‎ 即由于，故可设是上述方程的两实根，‎ 所以故由上式及t的几何意义得：‎ ‎|PA|+|PB|==。‎ 点评：本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。‎ 思维拓展类 例6 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．‎ 一点通：由于已知条件中的椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求的最大值需要把椭圆的方程，改写为参数方程，变为一次运用代入求之。‎ 答案：因椭圆的参数方程为，‎ 故可设动点的坐标为，其中。‎ 因此 所以，当时，取得最大值2。‎ 点评：在所求函数为一次，而已知为二次时，常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或三角代换，目的就是降次。‎ 例7 实数、满足，求（1），（2）的取值范围。‎ 一点通：利用圆的参数方程进行换元，转化为三角函数求范围的问题 答案：（1）由已知，‎ ‎　　设圆的参数方程为（为参数）‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴。 ‎ 点评：本题的解法众多，此处利用参数方程进行换元，将问题转化为三角的问题。‎ 例8 如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴已与轴重合）所在的平面为，。‎ ‎（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的 坐标为 ；‎ ‎（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。‎ 一点通：（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变，是2，距离y轴的距离变成cos45°，写出坐标．（II）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．‎ 答案：（Ⅰ）设P为（a, b）,因为y轴与y＇轴重合，故P＇到y轴的距离为，到 x轴的距离为2，又因为，则b=2，a=故P（2，2）。‎ ‎（Ⅱ）设平面β内任意一点P（x,y），其在内的射影为，由平面图形可知，，，即，，故射影C的方程为即。‎ 点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系。‎ ‎1. 平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则有和这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系。‎ ‎2. 参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。参数方程的求法：（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P的坐标为；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程。求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显、关系相对简单，与运动有关的问题选取时间做参数，与旋转有关的问题选取角做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等。‎ 常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义。在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答。‎ ‎1. 注意在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以取任意的正角或负角。当r＜0时，点M（r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M（r，q）也可以表示为 ‎ ‎2. 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：‎ 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数。‎ 三角法：利用三角恒等式消去参数。‎ 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。‎ 化参数方程为普通方程：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和的值域，从而得到、的取值范围。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 与普通方程+y-1=0等价的参数方程为（t为参数）（ ）‎ ‎2. 直线的参数方程为（是参数），则直线的倾斜角为（ ）‎ A. 40° B. 50° C. 140° D. 130°‎ ‎3. 设，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎5. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：‎ ‎1. 在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ‎ ‎2. 直线（t为参数）被双曲线=1截得的弦长为 ‎ ‎3. 直线（是参数）上与点距离等于4的点的坐标为__________‎ ‎4. 直线（是参数）上两点对应的参数值分别为，则__________‎ 三、解答题：‎ ‎1. 在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值。‎ ‎2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的 参数方程为。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合．‎ ‎（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎（II）设当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ 一、选择题 ‎1. B A项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1]，‎ B项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈（-∞,1]，‎ C项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[0,+∞）,y∈（-∞,1]， ‎ D项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1]，‎ 而已知方程x2+y-1=0，x∈R，y∈（-∞,1],显然与之等价的方程是B项。‎ ‎2. D ‎ ‎，所以倾斜角为130°。‎ ‎3. B 法一：（柯西不等式）；‎ 法二：设，，则 ‎（时取等号）。‎ ‎4. D 极坐标系中的点（2，）化为直角坐标系中的点为（1，）；极坐标方程化为直角坐标方程为，即，其圆心为（1,0），∴所求两点间的距离为=，故选D。‎ ‎5. B ‎，圆心的直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。‎ 二、填空题：‎ ‎1. cos＝3 由题意可知圆的标准方程为，圆心是（3，0），所求直线的标准方程为x＝3，则极坐标方程为cos＝3．‎ ‎2. （t′=2t为参数）， ‎ 代入=1,得：=1，‎ 整理得：-4t′-6=0，设其两根为,，则 ‎+=4,·=-6，从而弦长为 ‎|AB|=|-|=‎ ‎3. 或 从而 或 ‎4. ‎ 法一：变为（其中），故；‎ 法二：所以 ‎，故。‎ 三、解答题：‎ ‎1. 解法一：将极坐标方程转化为普通方程：，可化为，在上任取一点A,则点A到直线的距离为 ‎,它的最大值为4。‎ 解法二：将极坐标方程转化为普通方程：， 可化为，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4。‎ ‎2. 解：（Ⅰ）是圆，是椭圆。‎ 当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，且,所以。‎ 当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点重合，所以。‎ ‎（Ⅱ），的普通方程分别为和。‎ ‎ 当时，射线与交点的横坐标为，与交点的横坐标为 ‎ 当时，射线与，的两个交点分别与，关于轴对称，因此四边形为等腰梯形。故四边形的面积为。‎