江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年高二下学期线上期中能力测试数学（理）试题

江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年高二下学期线上期中能力测试数学（理）试题

‎2019~2020学年度下学期高二期中能力测试【线上】‎ 数学（理科）学科试题 ‎▲请悉知：‎ ‎1.出题人： 2.使用年级：高二下学期 ‎3.考试形式：闭卷【120分钟 满分150分】 4.考试范围：四月十五日前网课所学内容 ‎◎请在答题卷上作答，拍照上传，自觉遵守考试纪律，诚信应考，本次考试不记录排名，最终成绩只做参考。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，是虚数单位，则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若函数，则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若复数（为虚数单位），则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．三角形的面积为，其中，，为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ▲ ）‎ A．‎ B．‎ C．，（为四面体的高）‎ D．，（，，，分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）‎ ‎5．函数的极值点为（ ▲ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎6．定积分（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（ ▲ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ▲ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎9．函数的单调递增区间为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，阴影部分的面积是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数在区间内是减函数，，则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数 的取值范围为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． ▲ ．‎ ‎14．将正整数有规律地排列如下：‎ ‎……………‎ 则在此表中第行第列出现的数字是 ▲ ．‎ ‎15．函数在上的最大值是 ▲ ．‎ ‎16．已知函数在无极值，则在上的最小值是 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数．‎ ‎（1）若，为纯虚数，求的值；‎ ‎（2）若，求，的值．‎ ‎18．（12分）已知函数在处的切线方程为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间与极值．‎ ‎19．（12分）设函数在点处有极值．‎ ‎（1）求常数，的值；‎ ‎（2）求曲线与轴所围成的图形的面积．‎ ‎20．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④；‎ ‎⑤．‎ ‎（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）判断在定义域上的单调性；‎ ‎（2）若在上的最小值为，求的值．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎2019—2020学年度下学期高二期中能力考试 数学（理科）参考答案与解析 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】由，∴，故选D．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】由于，∴，故选C．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】复数，根据模长的公式得到，故选C．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，‎ 根据三角形的面积的求解方法：‎ 分割法，将与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以为顶点，‎ 分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和，∴，‎ 故选D．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】，‎ 函数在上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴是函数的极小值点，故选B．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】由的图象可得：‎ 当时，，∴，即函数单调递增；‎ 当时，，∴，即函数单调递减；‎ 当时，，∴，即函数单调递减；‎ 当时，，∴，即函数单调递增，‎ 观察选项，可得C选项图像符合题意，故选C．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；‎ 当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；‎ 当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；‎ 当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件，‎ 故选A．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】，令，解得，‎ ‎∴函数的单调增区间是，故选A．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎∵函数在区间内是减函数，‎ ‎∴导函数在区间内小于等于，即，故选C．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】令，则，‎ ‎∴，∴函数为上的偶函数．‎ ‎∵当时，都有成立，∴，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎，即，‎ ‎∴，因此，‎ ‎∴，化为，解得，故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】依题意可知第行有个数字，‎ 前行的数字个数为个，可得前行共个，‎ ‎∵，即第行最后一个数为，‎ ‎∴第行第列出现的数字是，故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】函数，，令，解得．‎ ‎∵，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 时，取得最大值，，故答案为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎∵时一定有根，，即，‎ ‎∴要使无极值，则，此时恒成立，‎ 即单调递减，故在区间上，的最小值为．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】（1）∵为纯虚数，∴，‎ 又，∴，，从而，‎ 因此．‎ ‎（2）∵，∴，即，‎ 又，为实数，∴，解得．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）的单增区间为，的单减区间为，，无极大值．‎ ‎【解析】（1），根据题设得方程组，解得．‎ ‎（2）由（1）可知，令，（舍去），‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴的单增区间为，的单减区间为，‎ ‎，无极大值．‎ ‎19．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意知，且，‎ 即，解得，．‎ ‎（2）如图，由（1）问知．‎ 作出曲线的草图，所求面积为阴影部分的面积．‎ 由，得曲线与轴的交点坐标是，和，‎ 而是上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，‎ ‎∴轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等．‎ ‎∴所求图形的面积为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2），证明见解析．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎（2）三角恒等式为：，‎ ‎．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意得的定义域为，．‎ ‎①当时，，故在上为增函数；‎ ‎②当时，由，得；由，得；‎ 由，得，‎ ‎∴在上为减函数，在上为增函数；‎ ‎∴当时，在上是增函数；‎ 当时，在上是减函数，在上是增函数．‎ ‎（2）∵，．‎ 由（1）可知：‎ ‎①当时，在上为增函数，，得，矛盾；‎ ‎②当时，即时，在上也是增函数，，‎ ‎∴（舍去）；‎ ‎③当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴，得（舍去）；‎ ‎④当时，即时，在上是减函数，有，‎ ‎∴，‎ 综上可知：．‎ ‎22．【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）．‎ ‎【解析】（1），令，解得，‎ 当，，则函数在上单调递减；‎ 当，，则函数在上单调递增．‎ ‎（2）令，‎ 根据题意，当时，恒成立，‎ ‎．‎ ‎①当，时，恒成立，‎ ‎∴在上是增函数，且，∴不符合题意；‎ ‎②当，时，恒成立，‎ ‎∴在上是增函数，且，∴不符合题意；‎ ‎③当时，∵，∴恒有，故在上是减函数，‎ 于是“对任意都成立”的充要条件是，‎ 即，解得，故．‎ 综上，的取值范围是．‎