高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用章末检测卷 word版含解析
章末检测卷（一）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．已知曲线 y＝x2＋2x－2 在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是( )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.
f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.
∴M(－1，－3)．
2．函数 y＝x4－2x2＋5 的单调递减区间是( )
A．(－∞，－1)和(0,1) B．(－1,0)和(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
答案 A
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令 y′<0 得 x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选 A.
3．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在 x＝－3 时取得极值，则 a 等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在 x＝－3 时取得极值，
即 f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.
4．函数 y＝ln 1
|x＋1|
的大致图象为( )
答案 D
解析 函数的图象关于 x＝－1 对称，排除 A、C，当 x>－1 时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故
选 D.
5．一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直
线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时 F(x)作的功为( )
A. 3J B.2 3
3
J
C.4 3
3
J D．2 3J
答案 C
解析 由于 F(x)与位移方向成 30°角．如图：F 在位移方向上的分力 F′＝F·cos 30°，
W＝ʃ2
1(5－x2)·cos 30°dx
＝ 3
2 ʃ2
1(5－x2)dx
＝ 3
2
(5x－1
3
x3)|2
1＝ 3
2
×8
3
＝4 3
3
(J)．
6．二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数 y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限
的一条直线，则函数 y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( )
A．一 B．二 C．三 D．四
答案 C
解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数 y＝f(x)的图象必然先下降再上
升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．
7．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是
( )
A．(－∞，－ 3]∪ 3，＋∞)
B．－ 3， 3]
C．(－∞，－ 3]∪ 3，＋∞)
D．－ 3，3]
答案 B
解析 在 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0 在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－ 3≤a≤ 3.
8．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝1
2
x＋2，f(1)＋f′(1)的值等
于( )
A．1 B.5
2
C．3 D．0
答案 C
解析 由已知切点在切线上，所以 f(1)＝1
2
＋2＝5
2
，切点处的导数为切线斜率，所以 f′(1)
＝1
2
，
所以 f(1)＋f′(1)＝3.
9．曲线 y＝sin x，y＝cos x 与直线 x＝0，x＝π
2
所围成的平面区域的面积为( )
A．
π
2
0 (sin x－cos x)dx B．2
π
4
0 (sin x－cos x)dx
C．
π
2
0 (cos x－sin x)dx D．2
π
4
0 (cos x－sin x)dx
答案 D
解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于 0
0)，则 y＝f(x)( )
A．在区间(1
e
，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(1
e
，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(1
e
，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间(1
e
，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
答案 C
解析 由题意得 f′(x)＝x－3
3x
，令 f′(x)>0 得 x>3；令 f′(x)<0 得 00，f(e)＝e
3
－1<0，f(1
e
)＝ 1
3e
＋1>0.
11．方程 2x3－6x2＋7＝0 在(0,2)内根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 令 f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x，
由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<0；由 f′(x)<0 得 00，f(2)＝－1<0，
∴方程在(0,2)内只有一实根．
12．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 log2 014x1＋log2 014x2
＋…＋log2 014x2 015 的值为( )
A．－log2 0142 013 B．－1
C．(log2 0142 013)－1 D．1
答案 B
解析 ∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，
令 y＝0，得 x＝1－ 1
n＋1
＝ n
n＋1
，即 xn＝ n
n＋1
.
所以 log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013
＝log2 014(x1·x2·…·x2 013)
＝log2 014
1
2
·2
3
·…·2 013
2 014 ＝log2 014
1
2 014
＝－1.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．若曲线 y＝kx＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于 x 轴，则 k＝________.
答案 －1
解析 ∵y′＝k＋1
x
，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.
14．已知函数 f(x)＝－x3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是________．
答案 a≥3
解析 由题意应有 f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则 a≥3x2，x∈(－1,1)
恒成立，故 a≥3.
15．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在第二象限内，已知曲
线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________
答案 (－2,15)
解析 y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点 P 在第二象限内，∴x＝－2，得点 P 的坐标为(－2,15)
16．函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在 x＝1 时有极值 10，那么 a，b 的值分别为________．
答案 4，－11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，
2a＋b＝－3
a2＋a＋b＝9
，解得
a＝－3
b＝3
，或
a＝4
b＝－11
，当 a＝－3 时，x＝1 不是极值点，a，b 的
值分别为 4，－11.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)设函数 f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中 a∈R.已知 f(x)在 x＝3 处取得极值．
(1)求 f(x)的解析式；
(2)求 f(x)在点 A(1,16)处的切线方程．
解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在 x＝3 处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得 a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A 点在 f(x)上，
由(1)可知 f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为 y＝16.
18．(12 分)已知 f(x)＝log3
x2＋ax＋b
x
，x∈(0，＋∞)，是否存在实数 a、b，使 f(x)同时满足
下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在 1，＋∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是 1，
若存在，求出 a、b，若不存在，说明理由．
解 设 g(x)＝x2＋ax＋b
x
，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在 1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在 1，＋∞)上是增函数，
∴
g′1＝0
g1＝3
，∴
b－1＝0
a＋b＋1＝3
，解得
a＝1
b＝1
经检验，a＝1，b＝1 时，f(x)满足题设的两个条件．
19．(12 分)设函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为1
2
，求 a 的值．
解 函数 f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝1
x
－ 1
2－x
＋a.
(1)当 a＝1 时，f′(x)＝－x2＋2
x2－x
，
所以 f(x)的单调递增区间为(0， 2)，
单调递减区间为( 2，2)．
(2)当 x∈(0,1]时，f′(x)＝ 2－2x
x2－x
＋a>0，
即 f(x)在(0,1]上单调递增，故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)＝a，因此 a＝1
2
.
20．(12 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品需向总公司
缴纳 a 元(a 为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为 x
元时，产品一年的销售量为k
ex(e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为 40 元时，该
产品的一年销售量为 500 万件，经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不
超过 41 元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L(x)最大？并求出 L(x)的最大值．
解 (1)由于年销售量为 Q(x)＝k
ex，则 k
e40＝500，
所以 k＝500e40，则年售量为 Q(x)＝500e40
ex 万件，
则年利润 L(x)＝(x－a－30)500e40
ex
＝500e40·x－a－30
ex (35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·31＋a－x
ex .
①当 2≤a≤4 时，33≤a＋31≤35，
当 35≤x≤41 时，L′(x)≤0；
所以 x＝35 时，L(x)取最大值为 500(5－a)e5.
②当 40)，
f′(x)＝x－5＋6
x
＝x－2x－3
x
.
令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3.
当 03 时，f′(x)>0，
故 f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；
当 20.
(1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间－1
2
，1
2
]上，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围．
解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝x3－3
2
x2＋1，f(2)＝3.
f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－3＝6(x－2)，即 y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝1
a
.
以下分两种情况讨论：
①若 00 等价于
f－1
2>0，
f1
2>0，
即
5－a
8
>0
5＋a
8
>0.
解不等式组得－52，则 0<1
a
<1
2
.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－1
2
，0) 0 (0，1
a
) 1
a
(1
a
，1
2
)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值
单调递
减
极小值
单调递
增
当 x∈－1
2
，1
2
]时，
f(x)>0 等价于
f－1
2>0，
f1
a>0，
即
5－a
8
>0
1－ 1
2a2>0
解不等式组得 2
2
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