高考数学专题复习：课时达标检测（九） 指数与指数函数
课时达标检测（九） 指数与指数函数
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
解析：选B 根据各选项知，选项B、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以B正确．
2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )
解析：选B f(x)＝易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故选B.
3．(2017·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)
1，f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝at(a>1)的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B 由f(1)＝得a2＝，又a>0，所以a＝，因此f(x)＝|2x－4|.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
解析：原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A 由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
2.已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝( )
A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
解析：选D 由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝x，由题意得g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x，故选D.
3．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系中一定成立的是( )
A．3c>3a B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
解析：选D 画出f(x)＝|3x－1|的图象，如图所示，要使cf(a)>f(b)成立，则有c<0，且a>0.由y＝3x的图象可得0<3c<1<3a.∵f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)，∴1－3c>3a－1，即3a＋3c<2.
4．已知函数f(x)＝ex，如果x1，x2∈R，且x1≠x2，则下列关于f(x)的性质：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，②y＝f(x)不存在反函数，③f(x1)＋f(x2)<2f，④方程f(x)＝x2在(0，＋∞)上没有实数根，其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
解析：选B 因为e>1，所以f(x)＝ex为定义域内的增函数，故①正确；函数f(x)＝ex的反函数为y＝ln x(x>0)，故②错误；f(x1)＋f(x2)＝ex1＋ex2>2＝2＝2f，故③错误；作出函数f(x)＝ex和y＝x2的图象(图略)可知，两函数图象在(0，＋∞)内无交点，故④正确．结合选项可知，选B.
5．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C 当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以函数y＝x是减函数，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．
6．(2016·河南许昌四校第三次联考)已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[4，＋∞) D.∪(1,4]
解析：选B 当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，即ax>x2－在(－1,1)上恒成立，令g(x)＝ax，m(x)＝x2－，由图象知：当01时，g(－1)≥m(1)，即a－1≥1－＝，此时10，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，
则a2－1＝2，∴a＝±.
又∵a>1，∴a＝.
当0e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.
答案：e
10．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
解析：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a－1.
答案：(－1，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得
要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.
所以只需m≤即可．即m的取值范围为.
12．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
∵2x＞0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
