高二数学教案:第5讲 椭圆(一)

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高二数学教案:第5讲 椭圆(一)

辅导教案 学员姓名: 学科教师:‎ 年 级: 辅导科目: ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 椭圆(一)‎ 教学内容 ‎1. 理解椭圆的定义,掌握椭圆的几何性质;‎ ‎2. 能应用椭圆性质解题。‎ ‎(以提问的形式回顾)‎ ‎1. 椭圆的定义:平面上到两定点的、的距离之和等于常数()的点的轨迹,叫做椭圆。定点、是焦点,是椭圆的焦距,是椭圆的长轴长。‎ ‎(若,则动点的轨迹是线段;若,则轨迹不存在)‎ ‎2. 椭圆的图像与性质:‎ 图像 y O x 标准方程 范围 顶点 ‎,‎ 对称性 关于、轴和原点对称 焦点 ‎、‎ ‎,,的意义 长轴长,短轴长,焦距,‎ ‎(采用教师引导,学生轮流回答的形式)‎ 例1.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过和两点的椭圆方程.‎ 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,可设其方程为(,),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.‎ 解:设所求椭圆方程为(,).‎ 由和两点在椭圆上可得 即 所以,.‎ 故所求的椭圆方程为.‎ 试一试:经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是 .‎ ‎【参考答案】:.‎ 例2. 已知椭圆的标准方程是+=1(a>5),它的两焦点分别是F1,F2,且F1F2=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为________.‎ 答案:4 试一试:已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上的一点,Q是PF1的中点,若OQ=1,则PF1=________.‎ 答案:6‎ 例3. 设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△PF1F2的面积等于________.‎ 解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴PF1+PF2=2a=6.又PF1∶PF2=2∶1,∴PF1=4,PF2=2,由22+42=(2)2可知△PF1F2是直角三角形,故△PF1F2的面积为PF1·PF2=×2×4=4.答案:4‎ 试一试:已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为 ‎ 解析:由余弦定理判断∠P<90°,只能∠PF‎1F2或∠PF‎2F1为直角.由a=4,b=3得c=‎ 由椭圆定义及勾股定理得:|yP|=.‎ 例4. 椭圆的焦点、,点为其上的动点,当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是 .‎ ‎【答案】:‎ 此题可以用余弦定理,也可以用向量夹角公式,还可以用特殊情况直角求出坐标,通常此题可以向学生引出何时这个角最大,以及如何证明。‎ 试一试:若点是椭圆上的动点,定点的坐标为,求的取值范围;‎ ‎【答案】:‎ 例5. 求椭圆的内接矩形面积的最大值,并求出此时矩形的四个顶点的坐标。‎ ‎【答案】:设椭圆的内接矩形,由于椭圆与矩形的对称性,可设 ‎,‎ ‎ 因为点在椭圆上,‎ ‎ ‎ 所以,当且仅当时,取等号 ‎ 此时四个顶点的坐标为 ‎(学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解)‎ ‎1. 已知方程表示椭圆,求实数的取值范围 ;‎ ‎【答案】:‎ ‎2. 已知点、两点,是坐标平面上的动点,且,是坐标原点,则的取值范围是 ;‎ ‎【答案】:‎ ‎3. 设、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积等于__.‎ ‎【答案】:1‎ ‎4. 已知椭圆内有两点为椭圆上一点,则的最大值为 .‎ ‎【答案】:15‎ ‎5. 已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上任意一点.‎ ‎(1)若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积;‎ ‎(2)求PF1·PF2的最大值.‎ 解:(1)设PF1=m,PF2=n(m>0,n>0).根据椭圆的定义得m+n=20.在△F1PF2中,由余弦定理得PF+PF-2PF1·PF2·cos∠F1PF2=F1F,即m2+n2-2mn·cos=122.∴m2+n2-mn=144,即(m+n)2-3mn=144.∴202-3mn=144,即mn=.又∵S△F1PF2=PF1·PF2·sin∠F1PF2=mn·sin,∴S△F1PF2=××=.‎ ‎(2)∵a=10,∴根据椭圆的定义得PF1+PF2=20.∵PF1+PF2≥2,∴PF1·PF2≤2=2=100,当且仅当PF1=PF2=10时,等号成立.∴PF1·PF2的最大值是100.‎ ‎6. 设椭圆(常数)的左右焦点分别为,是直线上的两个动点,‎ ‎.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)求的最小值.‎ 解:设, ‎ 则,‎ 由得 ① ‎ ‎(1)由,得 ‎ ② ‎ ‎ ③ ‎ 由①、②、③三式,消去,并求得. ‎ ‎(2)【解法一】易求椭圆的标准方程为:. ‎ ‎ ‎ 所以,当且仅当或时,‎ 取最小值. ‎ ‎【解法二】, ‎ 所以,当且仅当或时,取最小值.‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点:椭圆的定义,椭圆的几何性质及其应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是________.‎ 答案:
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