- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
高二数学教案:第11讲 抛物线(一)
辅导教案 学员姓名: 学科教师: 年 级: 辅导科目: 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 抛物线(一) 教学内容 1. 理解抛物线的定义及几何性质 2. 会应用抛物线的性质解答综合题目。 (以提问的形式回顾) 1. 抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。 2. 抛物线标准方程: y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p>0) 3.练习 1. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) B A. B. C. D.0 2. 过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(B) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 此题的方法是求通径,坐标和等于通径只有一条,小于有两条,大于没有。 (采用教师引导,学生轮流回答的形式) 例1. 设为抛物线的焦点. (1)过焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 . 解:由题意,焦点,准线为,设,过向轴作垂线交于, 则P到y轴的距离可转化为: .(往定义方向化归) (2)点,若点在抛物线上移动,则的最小值是__________. 解:过向准线作垂线交于,则,所以 显然,当三点共线时,距离之和最小,此时距离为.最小值为3. (三点共线的时候取到最值,可联想到直线一节中,两个定点到定直线上动点的距离之和、之差的最值求法,那里能掌握了,这里应该转化起来很轻松) 试一试:设为抛物线的焦点. (1)点,若点在抛物线上移动,则的最小值是__________. 解:过向准线作垂线交于, 则, 显然当三点共线时,距离之和最小,此时. (还是转化,就看学生有没有这个转化化归的意识) (2)直线、直线,若点在抛物线上移动,则到和的距离之和的 最小值是__________. 解:由抛物线定义,到的距离即为,过向作垂线交抛物线于点, 此时的点即为最小值点, 所以到直线的距离为2,所以到两直线距离之和最小值为2. (类型同上,这里可以让学生自己表达对题意的理解,即可跳过,下同) (3)若动弦在抛物线上移动,但其中点横坐标始终是4,则的最大值为_________. 解:设中点坐标为,, 显然,有,所以最大值为10. (这里用到两个思想:1,不共线时,两边之和大于第三边;2,共线时,两边的和等于刚才的“第三边”) (4)若点在抛物线上移动,点在上移动,则的最小值为_____. 解:圆心即为焦点,所以取到最小值时,一定共线,且一定在和之间, 过向准线作垂线交于,所以,显然在顶点时最小, 所以.(可以类比到圆中的最值问题,另外,两个点都在动时,不妨先固定一个) 例2. 已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解:由题意得:, 即动点到直线的距离等于它到原点(0,0)的距离, 由抛物线定义可知:动点的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线为准线的抛物线. ∴选C. (要注意先让学生做,看不出几何意义的让他再看下本节的知识梳理,如果选对了,让他准确的表述出抛物线的定义,然后让他做巩固练习,体会抛物线定义的准确性) 试一试: 1.动点满足,问点P的轨迹形状? 解:代数式的几何意义可看作:动点到(2,-1)的距离等于到定直线的距离, 且(2,-1)不在定直线上,所以P点的轨迹为抛物线. 2.动点满足,问点P的轨迹形状? 解:代数式的几何意义可看作:动点到(2,-1)的距离等于到定直线的距离, 且(2,-1)在定直线上,所以P点的轨迹为一条过(2,-1)且与直线垂直的直线. (让学生体会这两个小题的区别,并再次总结抛物线的定义,必须强调点不在直线上,让学生回答如果点在直线上会怎样?那么椭圆、双曲线的定义又是如何准确表述的?) 例3. 是抛物线上的两点,且, (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积; 解:设直线AB的方程为,(避免讨论斜率不存在的情况时,建议这样设直线) 设, 联立,所以, 则, 由,所以. 所以横坐标之积为,纵坐标之积为. (2)求证:直线过定点; 解:直线方程即为,所以直线恒过定点 (3)求弦中点的轨迹方程; 解:由中点坐标公式得,令,消去,得, 即点的轨迹方程为.(参数消去法,也是求轨迹的一个重要方法) (4)求面积的最小值; 解:由于AB直线恒过定点,所以, 所以,当时取到最小值, 所以面积的最小值为.(注意往韦达的式子上去转化) (5)在上的射影轨迹方程. 解:设直线AB过的顶点为,设,则直线直线,即, 所以, 即射影M的轨迹方程为.(定点坐标的使用,在这里提供了很大的便利) 这道题的5个结论让学生理解记忆,特别是前面3个结论。 例4. 已知抛物线的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程; (2)过M作,垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M,当是轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系. 解:(1)抛物线的准线为,于是=5,∴. ∴抛物线方程为.(简单问题,一带而过) (2)∵点,由题意得, 又∵,∴;,∴, 则的方程为,的方程为,解方程组得, ∴N的坐标. (3)由题意得圆M的圆心是点,半径为2, 当时,直线AK的方程为,此时,直线AK与圆M相离. 当时,直线AK的方程为,即为, 圆心到直线AK的距离,令,解得. ∴当时, AK与圆M相离;当时, AK与圆M相切;当时, AK与圆M相交. (学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解) 1. 抛物线的焦点为,为一定点,在抛物线上找一点,当为最小时,则点的坐标 ___ ,当为最大时,则点的坐标 . 解:过向准线作垂线交于,则,所以当三点共线时,距离之和最小,此时的纵坐标为-2,代入抛物线得横坐标为,所以此时. 当三点共线时,取到最大值,此时直线:, 联立,得或. 2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于( ) A.2 B. C.4 D. 解答:设直线斜率为k,直线方程为,联立抛物线方程得 ,设交点P(x1,y1),Q(x2,y2) 则,交点为,准线为,所以: ∴选C.也可以采用特值法,用平行于x轴的直线。 (这道题前面的知识梳理推导过,不妨让学生自己独立再演算一次,体会这三点:①到点的距离转化为到准线的距离;②距离问题转化为韦达的式子代入化简;③计算的快速、准确性.) 3.抛物线截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 . 解:设弦为AB,,, AB中点为, 则,,. ∴,∴. 将代入得,轨迹方程是. 答案:(这里的范围不要忘记了加上去) 4. 已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点,且。 (1)求的取值范围 (2)若线段的垂直平分线交轴于点,求面积的最大值 【解析】:(1)设直线的方程为:, 代入抛物线方程得,即 ,即 又,。 (2)设,的中点, 由(1)知,,, 则有 ∴线段AB的垂直平分线的方程为, 从而N点坐标为 点N到AB的距离为 从而 当有最大值时,有最大值为。 5. 已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标; (2)求线段BC中点M的坐标; (3)求BC所在直线的方程. [解析]:(1)由点A(2,8)在抛物线上,有, 解得p=16. 所以抛物线方程为,焦点F的坐标为(8,0). (2)如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的 定比分点,且,设点M的坐标为,则 ,解得, 所以点M的坐标为(11,-4). (3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在 的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为: 由消x得, 所以,由(2)的结论得,解得 因此BC所在直线的方程为: 本节课主要知识点:抛物线的标准的方程及性质。 【巩固练习】 1. 在抛物线上求一点,使该点到直线的距离最短,该点的坐标是____________. 答案: 2. 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:的右焦点重合,则抛物线的方程是 . 答案: 3. 已知抛物线上的点到它的准线的距离的最小值为, ⑴求抛物线焦点的坐标; ⑵若过的直线与抛物线交两点,为坐标原点,且斜率之和为,求直线的方程. 【答案】:⑴,⑵ 【预习思考】 1. 直线与抛物线只有一个交点,能判断直线与抛物线相切吗? 2. 练习:若是过抛物线的焦点的弦。设, 证明:(1)(2)设直线的倾斜角为,则。 查看更多