高二数学教案:第11讲 抛物线(一)

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高二数学教案:第11讲 抛物线(一)

辅导教案 学员姓名: 学科教师:‎ 年 级: 辅导科目: ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 抛物线(一)‎ 教学内容 ‎1. 理解抛物线的定义及几何性质 ‎2. 会应用抛物线的性质解答综合题目。‎ ‎(以提问的形式回顾)‎ ‎1. 抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。‎ ‎2. 抛物线标准方程: y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p>0)‎ ‎3.练习 ‎1. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) B A. B. C. D.0‎ ‎2. 过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(B)‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 此题的方法是求通径,坐标和等于通径只有一条,小于有两条,大于没有。‎ ‎(采用教师引导,学生轮流回答的形式)‎ 例1. 设为抛物线的焦点.‎ ‎(1)过焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 .‎ 解:由题意,焦点,准线为,设,过向轴作垂线交于,‎ 则P到y轴的距离可转化为:‎ ‎ .(往定义方向化归)‎ ‎(2)点,若点在抛物线上移动,则的最小值是__________.‎ 解:过向准线作垂线交于,则,所以 显然,当三点共线时,距离之和最小,此时距离为.最小值为3.‎ ‎(三点共线的时候取到最值,可联想到直线一节中,两个定点到定直线上动点的距离之和、之差的最值求法,那里能掌握了,这里应该转化起来很轻松)‎ 试一试:设为抛物线的焦点.‎ ‎(1)点,若点在抛物线上移动,则的最小值是__________.‎ 解:过向准线作垂线交于,‎ 则,‎ 显然当三点共线时,距离之和最小,此时.‎ ‎(还是转化,就看学生有没有这个转化化归的意识)‎ ‎(2)直线、直线,若点在抛物线上移动,则到和的距离之和的 ‎ 最小值是__________.‎ 解:由抛物线定义,到的距离即为,过向作垂线交抛物线于点,‎ 此时的点即为最小值点,‎ 所以到直线的距离为2,所以到两直线距离之和最小值为2.‎ ‎(类型同上,这里可以让学生自己表达对题意的理解,即可跳过,下同)‎ ‎(3)若动弦在抛物线上移动,但其中点横坐标始终是4,则的最大值为_________.‎ 解:设中点坐标为,,‎ 显然,有,所以最大值为10.‎ ‎(这里用到两个思想:1,不共线时,两边之和大于第三边;2,共线时,两边的和等于刚才的“第三边”)‎ ‎(4)若点在抛物线上移动,点在上移动,则的最小值为_____.‎ 解:圆心即为焦点,所以取到最小值时,一定共线,且一定在和之间,‎ 过向准线作垂线交于,所以,显然在顶点时最小,‎ 所以.(可以类比到圆中的最值问题,另外,两个点都在动时,不妨先固定一个)‎ 例2. 已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹是( )‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解:由题意得:,‎ 即动点到直线的距离等于它到原点(0,0)的距离,‎ 由抛物线定义可知:动点的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线为准线的抛物线.‎ ‎∴选C.‎ ‎(要注意先让学生做,看不出几何意义的让他再看下本节的知识梳理,如果选对了,让他准确的表述出抛物线的定义,然后让他做巩固练习,体会抛物线定义的准确性)‎ 试一试:‎ ‎1.动点满足,问点P的轨迹形状?‎ 解:代数式的几何意义可看作:动点到(2,-1)的距离等于到定直线的距离,‎ 且(2,-1)不在定直线上,所以P点的轨迹为抛物线.‎ ‎2.动点满足,问点P的轨迹形状?‎ 解:代数式的几何意义可看作:动点到(2,-1)的距离等于到定直线的距离,‎ 且(2,-1)在定直线上,所以P点的轨迹为一条过(2,-1)且与直线垂直的直线.‎ ‎(让学生体会这两个小题的区别,并再次总结抛物线的定义,必须强调点不在直线上,让学生回答如果点在直线上会怎样?那么椭圆、双曲线的定义又是如何准确表述的?)‎ 例3. 是抛物线上的两点,且,‎ ‎(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积;‎ 解:设直线AB的方程为,(避免讨论斜率不存在的情况时,建议这样设直线)‎ 设,‎ 联立,所以,‎ 则,‎ 由,所以.‎ 所以横坐标之积为,纵坐标之积为.‎ ‎(2)求证:直线过定点;‎ 解:直线方程即为,所以直线恒过定点 ‎(3)求弦中点的轨迹方程;‎ 解:由中点坐标公式得,令,消去,得,‎ 即点的轨迹方程为.(参数消去法,也是求轨迹的一个重要方法)‎ ‎(4)求面积的最小值;‎ 解:由于AB直线恒过定点,所以,‎ 所以,当时取到最小值,‎ 所以面积的最小值为.(注意往韦达的式子上去转化)‎ ‎(5)在上的射影轨迹方程.‎ 解:设直线AB过的顶点为,设,则直线直线,即,‎ 所以,‎ 即射影M的轨迹方程为.(定点坐标的使用,在这里提供了很大的便利)‎ 这道题的5个结论让学生理解记忆,特别是前面3个结论。‎ 例4. 已知抛物线的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线方程;‎ ‎(2)过M作,垂足为N,求点N的坐标;‎ ‎(3)以M为圆心,MB为半径作圆M,当是轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.‎ 解:(1)抛物线的准线为,于是=5,∴.‎ ‎∴抛物线方程为.(简单问题,一带而过)‎ ‎(2)∵点,由题意得,‎ 又∵,∴;,∴,‎ 则的方程为,的方程为,解方程组得,‎ ‎∴N的坐标.‎ ‎(3)由题意得圆M的圆心是点,半径为2,‎ 当时,直线AK的方程为,此时,直线AK与圆M相离.‎ 当时,直线AK的方程为,即为,‎ 圆心到直线AK的距离,令,解得.‎ ‎∴当时, AK与圆M相离;当时, AK与圆M相切;当时, AK与圆M相交.‎ ‎(学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解)‎ ‎1. 抛物线的焦点为,为一定点,在抛物线上找一点,当为最小时,则点的坐标 ___ ,当为最大时,则点的坐标 .‎ 解:过向准线作垂线交于,则,所以当三点共线时,距离之和最小,此时的纵坐标为-2,代入抛物线得横坐标为,所以此时.‎ 当三点共线时,取到最大值,此时直线:,‎ 联立,得或.‎ ‎2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于( )‎ A.2 B. C.4 D. ‎ 解答:设直线斜率为k,直线方程为,联立抛物线方程得 ‎,设交点P(x1,y1),Q(x2,y2)‎ 则,交点为,准线为,所以:‎ ‎∴选C.也可以采用特值法,用平行于x轴的直线。‎ ‎(这道题前面的知识梳理推导过,不妨让学生自己独立再演算一次,体会这三点:①到点的距离转化为到准线的距离;②距离问题转化为韦达的式子代入化简;③计算的快速、准确性.)‎ ‎3.抛物线截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是        .‎ 解:设弦为AB,,, AB中点为,‎ 则,,.‎ ‎∴,∴.‎ 将代入得,轨迹方程是.‎ 答案:(这里的范围不要忘记了加上去)‎ ‎4. 已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点,且。‎ ‎(1)求的取值范围 ‎ ‎(2)若线段的垂直平分线交轴于点,求面积的最大值 ‎ ‎【解析】:(1)设直线的方程为:,‎ 代入抛物线方程得,即 ‎,即 又,。‎ ‎(2)设,的中点,‎ 由(1)知,,,‎ 则有 ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为,‎ 从而N点坐标为 点N到AB的距离为 从而 当有最大值时,有最大值为。‎ ‎5. 已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)‎ ‎(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;‎ ‎(2)求线段BC中点M的坐标;‎ ‎(3)求BC所在直线的方程. ‎ ‎[解析]:(1)由点A(2,8)在抛物线上,有,‎ 解得p=16. 所以抛物线方程为,焦点F的坐标为(8,0).‎ ‎(2)如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的 定比分点,且,设点M的坐标为,则 ‎,解得,‎ 所以点M的坐标为(11,-4).‎ ‎(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在 的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为:‎ 由消x得,‎ 所以,由(2)的结论得,解得 因此BC所在直线的方程为:‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点:抛物线的标准的方程及性质。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 在抛物线上求一点,使该点到直线的距离最短,该点的坐标是____________.‎ 答案:‎ ‎2. 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:的右焦点重合,则抛物线的方程是   .‎ 答案:‎ ‎3. 已知抛物线上的点到它的准线的距离的最小值为,‎ ‎⑴求抛物线焦点的坐标;‎ ‎⑵若过的直线与抛物线交两点,为坐标原点,且斜率之和为,求直线的方程.‎ ‎【答案】:⑴,⑵‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 直线与抛物线只有一个交点,能判断直线与抛物线相切吗?‎ ‎2. 练习:若是过抛物线的焦点的弦。设,‎ 证明:(1)(2)设直线的倾斜角为,则。‎ ‎ ‎
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