【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-3圆的方程学案
§9.3 圆的方程
最新考纲
考情考向分析
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
概念方法微思考
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
提示
2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？
提示 由题意可知，⊙C与y轴相切于原点时，圆心坐标为，而D可以大于0，所以“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的充分不必要条件．
3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？
提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．
(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．
4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？
提示 点和圆的位置关系有三种．
已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2
0.( √ )
(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )
题组二 教材改编
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案 A
4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．
答案 (x－2)2＋y2＝10
解析 设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
题组三 易错自纠
5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 B
解析 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－11或a<－1 D．a＝±4
答案 A
解析 ∵点(1,1)在圆内，
∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－10)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
∴＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
故选A.
题型一 圆的方程
例1 (1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
答案 C
解析 方法一 (待定系数法)
根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得 解得
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
方法二 (待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，
即2＋y2＝.
方法三 (几何法)
因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，
所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，
所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|＝＝，
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
(2)(2018·鞍山模拟)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线
x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为____________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 方法一 所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a)．
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2，
解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为，半径r＝，
∵圆心在直线x＋y＝0上，
∴－－＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴＝，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，
由已知得d2＋2＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为_____________．
答案 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为，
半径r＝.
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心到直线y＝x的距离为
d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
解 如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为
.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
题型三 与圆有关的最值问题
例3 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
引申探究
1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
2．在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解 ＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
跟踪训练3 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
求：(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，
斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
1．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－20，b>0)对称，则＋的最小值是( )
A．2 B. C. D.
答案 C
解析 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝(a＋3b)
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选C.
16．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C的方程．
解 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题意可知∴或
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
