【数学】2020届一轮复习人教A版第51课简单的轨迹方程作业（江苏专用）
随堂巩固训练(51)
1. “点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的 必要不充分 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
解析：若点M在曲线y2＝4x上，则y＝±2，即充分性不成立；若y＝－2，则y2＝4x成立，即必要性成立，故“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的必要不充分条件.
2. 在△ABC中，点B，C的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是 ＋＝1(x≠±5) .
解析：由题意可知BC＝6，所以AB＋AC＝10，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，所以c＝3，2a＝10，即a＝5，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.又因为点A不能与点B，C在同一直线上，所以x≠±5，故点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±5).
3. 动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为 y2＝8x .
解析：由抛物线的定义知，点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且＝2，解得p＝4，故其方程为y2＝8x.
4. 已知一条曲线C在y轴的右边，曲线C上一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1，则曲线C的方程为 y2＝4x .
解析：设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)，故曲线C是抛物线，其方程是y2＝4x.
5. 已知△ABC的两个顶点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，三个内角A，B，C满足sinA－sinB＝sinC，则顶点C的轨迹方程是 －＝1(x<－2) .
解析：因为A，B是椭圆＋＝1的左、右焦点，所以点A(－4，0)，B(4，0).由正弦定理得－＝·，即BC－AC＝AB＝4
0，即抛物线x2＝16y，与双曲线－＝1有交点，满足题意.
7. 已知曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是 .
解析：由题意可知，直线y＝k(x－2)＋4过定点A(2，4)，曲线y＝1＋的图象为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆.当直线与圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r，即＝2，
解得k＝；当直线过B点时，斜率为＝.则当直线与半圆有两个不同的交点时，由图可知实数k的取值范围是.
8. 已知点A(－3，2)，B(1，－4)，过A，B作两条互相垂直的直线l1和l2，则l1和l2的交点M的轨迹方程为 (x＋1)2＋(y＋1)2＝13 .
解析：设点M(x，y)，由题意可知·＝0，即(－3－x，2－y)·(1－x，－4－y)＝0，化简整理可得(x＋1)2＋(y＋1)2＝13.
9. 设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴的两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 －＝1 .
解析：设交点为点P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0).因为点A1，P1，P共线，所以＝.因为点A2，P2，P共线，所以＝，解得x0＝，y0＝，代入＋＝1，化简得－＝1.
10. 设O为坐标原点，P为直线y＝1上的动点，∥，·＝1，则点Q的轨迹方程是 x2＋y2－y＝0(y>0) .
解析：设点P(a，1)，Q(x，y)，则由∥得ay＝x，即a＝.由·＝1得ax＋y＝1，将a＝代入得x2＋y2－y＝0(y>0).
11. 过圆C：x2＋y2＝4上一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程.
解析：设点M(x0，y0)(y0≠0)，Q(x，y)，则N(0，y0)，
由＝＋，得x0＝x，y0＝.
因为x＋y＝4，所以x2＋＝4(y≠0)，
所以点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
12. 如图所示，点P在圆O：x2＋y2＝4上，PD⊥x轴，垂足为D，点M在射线DP上，且满足＝λ(λ≠0).
(1) 当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程，并根据λ取值说明轨迹C的形状；
(2) 设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线2x－3y＝0与轨迹C 交于点E，F，点G在直线AB上且满足6＝，求实数λ的值.
解析：(1) 设点M(x，y)，P(x0，y0)，
由于＝λ且PD⊥x轴，
所以即
又点P在圆O上，所以＋＝1.
当0<λ<1时，轨迹C表示焦点在x轴上的椭圆；
当λ＝1时，轨迹C就是圆O；
当λ>1时，轨迹C表示焦点在y轴上的椭圆.
(2) 由题设知点A(2，0)，B(0，2λ)，
点E，F关于原点对称，所以设点E，F，G，不妨设x1>0.
直线AB的方程为＋＝1，
把点G的坐标代入得x2＝.
又点E在轨迹C上，则有＋＝1，解得x1＝.
因为6＝，即6(x2－x1)＝－x1－x2，化简得x2＝x1，
所以＝·(λ>0)，解得λ＝或λ＝，
故实数λ的值为或.
13. 如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，P为其上一点，F1，F2
为椭圆的焦点， ∠F1PF2的外角平分线为l，F2关于直线l的对称点为Q，F2Q交直线l于点R.
(1) 当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程；
(2) 设点R形成的曲线为C，直线l：y＝k(x＋a)与曲线C相交于A，B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.
解析：(1) 因为F2关于l的对称点为Q，连结PQ，
所以∠F2PR＝∠QPR，F2R＝QR，PQ＝PF2.
又因为l为∠F1PF2的外角平分线，故点F1，P，Q在同一条直线上，设点R(x0，y0)，Q(x1，y1)，F1(－c，0)，F2(c，0).
因为F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，
则(x1＋c)2＋y＝(2a)2.
又由得
所以(2x0)2＋(2y0)2＝(2a)2，所以x＋y＝a2，
故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0).
(2) 因为S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝·sin∠AOB，
所以当∠AOB＝90°时，S△AOB取最大值a2.
此时弦AB的弦心距d＝＝a，
所以k＝±.
