闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学（理）试题

闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学（理）试题

第 1 页 共 5 页 2020 届“三省十二校”联考 数学（理科）试题 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 2 0A x R x x     ，  1,0,1B ，则 A B  （ ） A．  1,0,1 B． 1,0 C． 0,1 D． 0 2.已知  izi 43   为虚数单位i ,则复数 z 在复平面上所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 4log 0.4m  , 0.44n  , 0.50.4p  ，则( ) .A m n p  .B m p n  .C p m n  .D n p m  4．如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高， 为线段 的中 点，则 （ ） A． B． C． D． 5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网 行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形 图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980—1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前 出生． A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20％ C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 2020.2.19 （（考试时间：150 分钟总分：150 分） 第 2 页 共 5 页 6.已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    上的三个点， AB 经过原点O ， AC 经过右 焦点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（ ） A. 3 5 B. 3 17 C. 2 17 D. 4 9 7.函数 2 2( ) logf x x x  ，则不等式 0)3()1(  fxf 的解集为（ ） ),4()1,.( A ),1()4,.( B )2,1()1,4.( C )4,1()1,1.( D 8.已知函数    2sin 0, 2f x x           的两条相邻对称轴的距离为 2  ，把  f x 的图象向右平移 6  个单位得函数  g x 的图象，且  g x 为偶函数，则  f x 的单调增 区间为（ ） A. 42 ,2 ,3 3k k k Z        B. 4, ,3 3k k k Z        C. 2 ,2 ,6 3k k k Z        D. , ,6 3k k k Z        9．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C ，的各顶点都在球 O 的球面上，且 32,2  BCACAB ， 若球 O 的体积为 3 5160 ，则这个直三棱柱的体积等于（ ） A． 24 B． 38 C． 8 D． 54 10．在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , ,a b c S 为 ABC 的面积，  sin A C  2 2 2S b c ，且 , ,A B C 成等差数列，则C 的大小为（ ） A． 3  B． 3 2 C． 6  D． 6 5 11．已知函数 2 , 0( ) e , 0x x xf x x    ， ( ) exg x  （e 是自然对数的底数），若关于 x 的方程 ( ( )) 0g f x m  恰有两个不等实根 1x 、 2x ，且 1 2x x ，则 2 1x x 的最小值为（ ） 第 3 页 共 5 页 A． 1 (1 ln 2)2  B． 1 ln22  C．1 ln 2 D． 1 (1 ln 2)2  12．.设 M ， N 是抛物线 2y x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的 斜率之积为 1 2 ，则（ ） A．| | | | 4 2OM ON  B．以 MN 为直径的圆的面积大于 4 C.直线 MN 过抛物线 2y x 的焦点 D．O 到直线 MN 的距离不大于 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横 线上。 13．已知 1 12 1 1 2 32 2        ， ， ， ，，， ，若幂函数   af x x 为奇函数，且在 0  ， 上递 减，则 a ____． 14. 函数 ( ) cosxf x e x 的图象在点(0, (0))f 处的切线的倾斜角为____． 15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设 每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 _______ 16．如图，三棱锥 A－BCD 中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB ＝8，CD＝12，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为 21 ， 则 PB 的最大值是________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。 17．已知公差不为 0 的等差数列 }{ na 满足 93 a ， 2a 是 71,aa 的等比中项. (1)求数列 }{ na 的通项公式； (2)数列 }{ nb 满足 )7( 1  n n anb ,求数列 }{ nb 的前 n 项的 nS . 18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 1 PA AB ， 2PB PD  . 第 4 页 共 5 页 （1）证明： BD  平面 PAC ； （2）若 E 是 PC 的中点，F 是棱 PD 上一点，且 / /BE 平面 ACF ，求二面角 F AC D  的余弦值. 19. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)5 x yC bb b   的一个焦点坐标为(2,0) ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知点 (3,0)E ，过点(1,0) 的直线l （与 x 轴不重合）与椭圆C 交于 ,M N 两点，直 线 ME 与直线 5x  相交于点 F ，试证明：直线 FN 与 x 轴平行． 20．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一 块地的 *( )n n N 个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 1 2 ，且每粒 种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种， 否则要补播种． （1）当 n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当 4n  时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望． 21.（本小题 12 分） 已知函数 1( ) sin ln 12 2 mf x x x x    ， ( )f x 是 ( )f x 的导函数. （1）证明：当 2m  时， ( )f x 在(0, ) 上有唯一零点； （2）若存在 1 2, (0, )x x   ，且 1 2x x 时，    1 2f x f x ，证明： 2 1 2x x m . 第 5 页 共 5 页 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题 号。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 6cos  .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 2 cos 1 sin x t y t         (t 为参数). （Ⅰ）若 2   ，求曲线C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; （Ⅱ）设点  1,2 P ，曲线C 与直线 l 交于 BA、 两点，求 2 2PA PB 的最小值. 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数    1 3f x x a a  R ． （1）当 2a  时，解不等式  1 13x f x   ； （2）设不等式  1 3x f x x   的解集为 M ，若 1 1,3 2 M     ，求实数a 的取值范围． 第 1 页 共 6 页 2020 届“三省十二校”联考 数学（理科）答案 一、选择题： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B D B C D B C A D 二、填空题 13． 1 14. 4  15． 9 16 16． 57 三、解答题： 17．（1）设等差数列 的公差为 ，则 解得 或 （舍去）， . （2） , . 18．（1）证明：∵ 1PA AB AD   ， 2PB PD  . ∴ 2 2 2PA AB PB  ， 2 2 2PA AD PD  ， ∴ PA AB ， PA AD ， AB AD A  ， ,AB AD  平面 ABCD ∴ PA  平面 ABCD ，而 BD  平面 ABCD 第 2 页 共 6 页 ∴ PA BD ． 又∵ ABCD 为正方形， ∴ AC BD ， PA AC A  ， ,PA AC  平面 .PAC ∴ BD  平面 PAC ． （2）解：如图，连接 ED ，取 ED 的中点 M ， 设 AC BD O  ，连接OM ，则 BE OM ， 从而 BE 平面 ACM ，平面 ACM 与 PD 的交点即为 F ． 以OB  、OC  、OE  为 , ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 20, ,02OC        ， 10,0, 2OE       ， 2 ,0,02OD        ， 2 1,0,2 4 4 OE ODOM          ， 平面 ACF 即平面 ACM ，设其法向量为  , ,n x y z  ， 则 0, 0, n OC n OM         即 0, 2 0, y x z    令 1x  ，得  1,0, 2n  ， 易知平面 ACD 的一个法向量为  0,0,1m  ， ∴ 2 6cos , 33 m nm n m n         . 因为二面角 F AC D  为锐二面角，故所求余弦值为 6 3 ． 19． （Ⅰ）由题意可知 2 2 2, 5 . c a b    所以 2 25, 1a b  .所以椭圆C 的方程为 2 2 15 x y  . （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时 MN x 轴.设  1,0D ，直线 5x  与 x 轴相交于 第 3 页 共 6 页 点G ，易得点  3,0E 是点  1,0D 和点  5,0G 的中点，又因为 MD DN ， 所以 FG DN ，所以直线 //FN x 轴. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为   1 0y k x k      1 1 2 2, , ,M x y N x y . 因为点  3,0E ，所以直线 ME 的方程为  1 1 33 yy xx  . 令 5x  ，所以  1 1 1 1 25 33 3F y yy x x    . 由   2 2 1 , 5 5 y k x x y       消去 y 得   2 2 2 21 5 10 5 1 0k x k x k     .显然 0  恒成立. 所以  22 1 2 1 22 2 5 110 , .5 1 5 1 kkx x x xk k      因为       2 1 1 2 1 11 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 12 3 3 3F y x y k x x k xyy y y x x x                2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 5 1 103 55 1 5 13 5 3 3 k kk k kk x x x x x x                 2 2 2 2 1 5 1 6 5 1 05 1 3 k k k k k x        ， 所以 2 Fy y .所以直线 //FN x 轴.综上所述，所以直线 //FN x 轴. 20．（1）当 5n  或 6n  时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 5 16 ； （2）见解 （1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值 时有 3 个坑要补播种的概率最大．（2）n＝4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4．分 别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． （1）对一个坑而言，要补播种的概率 3 3 0 1 3 3 1 1 1 2 2 2P C C            ， 有 3 个坑要补播种的概率为 3 1 2 n nC      . 第 4 页 共 6 页 欲使 3 1 2 n nC      最大，只需 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n C C C C                              ， 解得5 6n  ，因为 *n N ，所以 5,6,n  当 5n  时， 5 3 5 1 5 2 16C      ；当 6n  时， 6 3 6 1 5 2 16C      ； 所以当 5n  或 6n  时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 5 16 . （2）由已知， X 的可能取值为 0，1，2，3，4. 14, 2X B    ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X 的数学期望 14 22EX    . 21（1）证明：当 2m  时， 1( ) sin ln 12f x x x x    ， 1 1( ) 1 cos2f x x x     . 当 (0, )x  时， ( )f x 为增函数，且 1 3 3 31 03 4 4f              ， 3 1( ) 02f       ，∴ ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点； 当 [ , )x   时， 1 1( ) 1 cos2f x x x     1 1 1 11 02 2x    厖 ， ∴ ( )f x 在[ , )  上没有零点. 综上知， ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点. （2）证明：不妨设 1 20 x x  ，由    1 2f x f x 得 1 1 1 1 sin ln 12 2 mx x x   2 2 2 1 sin ln 12 2 mx x x    ， ∴    2 1 2 1 2 1 1ln ln sin sin2 2 m x x x x x x     . 设 ( ) sing x x x  ，则 ( ) 1 cos 0g x x   … ，故 ( )g x 在(0, ) 为增函数， 第 5 页 共 6 页 ∴ 2 2 1 1sin sinx x x x   ，从而 2 1 2 1sin sinx x x x   ， ∴  2 1ln ln2 m x x    2 1 2 1 2 1 1 1sin sin2 2x x x x x x      ，∴ 2 1 2 1ln ln x xm x x   ， 下面证明： 2 1 1 2 2 1ln ln x x x xx x   . 令 2 1 xt x ，则 1t  ，即证明 1 ln t tt   ，只要证明 1ln 0tt t   .（*） 设 1( ) ln th t t t   ，则  2 1 ( ) 0 2 t h t t t      ，∴ ( )h t 在(1, ) 单调递减. 当 1t  时， ( ) (1) 0h t h  ，从而（*）得证，即 2 1 1 2 2 1ln ln x x x xx x   . ∴ 1 2m x x ，即 2 1 2x x m . 22.（1）曲线 C: 2 6 cos   ，将 cos , sinx y     .代入得 x2+y2-6x＝0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9. 直线 l: 2 1 x y t      ，(t 为参数)，所以 x＝2，故直线 l 的极坐标方程为 cos 2   ……5 分 （2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得 2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t t      即 2 2 (cos sin ) 7 0t t      设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t t      因为 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t               当sin 2 1   时取等号，所以 2 2PA PB 的最小值为 14.-----------------10 分 22．解：（1） 依题意，直线 1l 的直角坐标方程为 3 3y x ， 2l 的直角坐标方程为 3y x ． ……………………………………………………………2 分 由 =2 3 cos 2sin   得 2 =2 3 cos 2 sin     ， 因为 2 2 2 , cos , sinx y x y        ，……………………………………………3 分 第 6 页 共 6 页 所以 2 2( 3) ( 1) 4x y    ， ……………………………………………………………4 分 所以曲线C 的参数方程为 3 2cos 1 2sin x y        （ 为参数）…………………………5 分 （2）联立 6 =2 3 cos 2sin         得 1 4OA   ，…………………………6 分 同理， 2 2 3OB   ．……………………………………7 分 又 6AOB   ，………………………………………………………………8 分 所以 1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2AOBS OA OB AOB        ，………………9 分 即 AOB 的面积为 2 3 ． ………………………………………………………10 分