江苏省南京市2021届高三第一学期11月六校联合调研数学试卷

江苏省南京市2021届高三第一学期11月六校联合调研数学试卷

1 江苏省南京市 2020—2021学年第一学期 11月六校联合调研试题 高三数学 2020．11 一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知 i是虚数单位，则复数 4i 1 i 在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合 A＝ 1 1 x y x       ，B＝ 1 1x x       ，则 A B＝ A． 1x x  B． 1 0 1x x x   或 C． 0 1x x  D． 1 1x x   3．已知命题 p： xR，ax2＋ax＋1＞0，命题 q：函数 y＝﹣(a＋1)x是减函数，则命题 p成立是 q 成立的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知非零向量 a  ，b  ，若 3a b   ， a  ⊥( a  ﹣2b  )，则 a  与b  的夹角是 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  5．2020年是“干支纪年法”中的庚子年．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法， 甲、乙、 丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、 未、申、酉、 戌、亥叫做“十天干”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始， 两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、 乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，…．共得到 60个组合，周而复始，循环记 录．今年国庆节是小明 10岁生日，那么他 80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的 A．己亥年 B．戊戌年 C．庚戌年 D．辛丑年 6．已知直三棱柱 ABC—A1B1C1的顶点都在球 O上，且 AB＝4，AA1＝6，∠ACB＝30º，则此直三 棱柱的外接球 O的表面积是 A．25 B．50 C．100 D． 500 3  7．已知 a＞0，b＞0，直线 l1：x＋(a﹣4)y＋1＝0，l2：2bx＋y﹣2＝0，且 l1⊥l2，则 1 1a ＋ 1 2b 的最 小值为 2 A．2 B．4 C． 2 3 D． 4 5 8．已知 a＞0，函数 2( ) ( 1) sin cos 2f x a x x x x a       ，xR，记函数 ( )f x 的值域为M， 函数 ( ( ))f f x 的值域为 N，若MN，则 a的最大值是 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分， 共计 20分．在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．若 1 1( ) ( ) 2 2 a b ，则下列关系式中一定成立的是 A． 3 3a b B． e ea b (e≈2.718) C．(sin ＋cos )a＜(sin ＋cos )b（ 是第一象限角） D．ln(a2＋1)＜ln(b2＋1) 10．已知双曲线 C1： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)的实轴长是 2，右焦点与抛物线 C2：y2＝8x的焦点 F 重合，双曲线 C1与抛物线 C2交于 A、B两点，则下列结论正确的是 A．双曲线 C1的离心率为 2 3 B．抛物线 C2的准线方程是 x＝﹣2 C．双曲线 C1的渐近线方程为 y＝± 3 x D． AF BF ＝ 20 3 11．若数列 na 的前 n项和是 nS ，且 2 2n nS a  ，数列 nb 满足 2logn nb a ，则下列选项正确 的为 A．数列 na 是等差数列 B． 2nna  C．数列 2na 的前 n项和为 2 12 2 3 n  D．数列 1 1 n nb b       的前 n项和为 nT ，则 nT ＜1 12．函数 ( ) Acos( )f x x   (A＞0， ＞0， 2   ＜＜0)的部分图象如图所示，已知函数 ( )f x 在区间[0，m]有且仅有 3个极大值点，则下列说法正确的是 A．函数 ( )f x 的最小正周期为 2 B．点( 9 4  ，0)为函数 ( )f x 的一个对称中心 3 C．函数 ( )f x 的图象向左平移 3 2 个单位后得到 Ay  sin( )x  的图象 D．函数 ( )f x 在区间[ 3 25 m  ，0]上是增函数 三、填空题（本大题共 4小题， 每小题 5分，共计 20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( 1)f x f x   ，当 x (0，1)时，函数 ( ) 3xf x  ，则 1 3 (log 19)f ＝ ． 14．某校进行体育抽测，小明与小华都要在 50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6项运 动中选出 3项进行测试，假设他们对这 6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2项相同 的概率为 ． 15．已知边长是 4的菱形 ABCD，∠A＝60º，点 P是菱形 ABCD内部一点，若PA 3PB 2PC     ＝ 0  ，则△PBC与菱形 ABCD的面积的比值是 ． 16．已知对任意的 x＞0，不等式 e ln 1xx x ax   恒成立，则实数 a的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共 6小题，共计 70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10分）在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，并且 bcosAcosC＝asinBsinC ＋ 1 2 b．请在①b＝ 19，②c＝2，③2sinA＝3sinC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整， 并作答 ．注意：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的 解答计分．问题：已知 ，计算△ABC的面积． 18．（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 3a ＝7， 6S ＝48，数列 nb 满足 12 2n nb b   ， 1 3b  ．（1）证明：数列 2nb  是等比数列，并求数列 na 与数列 nb 通项公式； （2）若 ( 2)n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n项和 nT ． 4 19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，已知 PC⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AB∥ CD，AB＝2，AD＝CD＝1，BC＝PC，E是 PB 的中点． （1）求证：PB⊥平面 EAC；（2）求二面角 P—AC—E的大小． 20．（本小题满分 12分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试， 共 5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得 3分，答错得 0分，后两题考生每答对一道 题得 5分，答错得 0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩． （1）通过分析可以认为考生初试成绩 X服从正态分布 N(， 2 )，其中＝64， 2 ＝169，试估 计初试成绩不低于 90分的人数； （2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 3 4 ，后两题答对的概率均为 2 3 ，且 每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复试试成绩为 Y，求 Y的分布列及数学期望． 附：若随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则 P(﹣ ＜X＜ ＋ )＝0.6826，P(﹣2 ＜X＜ ＋2 )＝0.9544，P(﹣3 ＜X＜＋3 )＝0.9974． 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞b＞0)离心率为 2 2 ，点(1， 6 2 )在椭圆 C 上，P点坐标(0， 1 3  )，直线 l：y＝﹣x＋m交椭圆 C于 A、B两点，且 PA PB ． （1）求椭圆 C的方程；（2）求△PAB的面积． 5 22．（本小题满分 12分）已知函数 ( ) lnf x ax x x  ， 2( ) 1 bxg x x   ，a、bR． （1）讨论 ( )f x 的单调性；（2）已知函数 ( )f x 的极大值为 1．①若 b＝2，设 1＜n＜m，证明： ( )f m ＜ ( )g n ；②设 ( ) ( ) ( )t x f x g x  ，判断函数 ( )t x 零点个数，并说明理由． 6 7 8 9 10 11 12