【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第十章54二项式定理作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第十章54二项式定理作业

【课时训练】第 54 节　二项式定理 一、选择题 1．(20 17 河南开封一模)( 1 x －2x2)5 的展开式中常数项是(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 【答案】C 【解析】( 1 x －2x2)5 的展开式的通项为 Tr ＋ 1 ＝C r5·( 1 x )5 － r·(－2x2)r＝(－1)rCr5·2r·x5r－5 2 ，当 r＝1 时，Tr＋1 为常数项，即 T2＝－ C15·2＝－10. 2．(20 17 辽宁葫芦岛二模)(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式 中 x5 与 x6 的系数相等，则 n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】(1＋3x)n 的展开式中含 x5 的项为 C5n(3x)5＝C5n35x5，展开 式中含 x6 的项为 C6n36x6.由两项的系数相等得 C5n·35＝C6n·36，解得 n＝7. 3．(2018 山西忻州模拟)若二项式 ( x－2 x)n 展开式中的第 5 项 是常数，则自然数 n 的值为(　　) A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【解析】由二项式 ( x－2 x)n 展开式的第 5 项 C4n·( x)n－4(－2 x )4 ＝16C4n·xn 2 －6 是常数项，可得n 2 －6＝0，解得 n＝12. 4．(2018 山西四校联考)已知(1＋x) 10＝a0＋a1(1－x)＋a 2(1－x)2 ＋…＋a10(1－x)10，则 a8＝(　　) A．－5 B．5 C．90 D．180 【答案】D 【解析】∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋… ＋a10·(1－x)10，∴a8＝C 810·22＝180. 5．(2018 河南商丘二模)若(1＋mx) 6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6， 且 a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数 m 的值为(　　) A．1 或 3 B．－3 C．1 D．1 或－3 【答案】D 【解析】令 x＝0，得 a0＝(1＋0)6＝1.令 x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1 ＋a2＋…＋a6.又 a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝ 1 或－3. 6．(2018 江西九江模拟)组合式 C0n－2C1n＋4C 2n－8C3n＋…＋(－2)nC nn的值等于(　　) A．(－1)n B．1 C．3n D．3n－1 【答案】A 【解析】由(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn 中，令 x＝－2， 得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 7．(2018 山东济南调研)(x＋a x)(2x－1 x)5 的展开式中各项系数的 和为 2，则该展开式中常数项为(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 【答案】D 【解析】令 x＝1，依题意得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，又 (2x－1 x) 5 的展开式通项 Tr＋1＝(－1)rCr5·25－r·x5－2r， ∴(x＋1 x)(2x－1 x)5 展开式中的常数项为 C35(－1)3·22＋C25(－1)2·23 ＝40. 二、填空题 8．(2018 郑州质量预测)二项式 (x－2 x)6 的展开式中，含 x2 项的 系数是________． 【答案】60 【解析】由二项展开式的通项公式得 Tr＋1＝Cr6x6－r·(－2 x )r＝Cr6x6 －2r(－2)r，令 6－2r＝2，得 r＝2，所以 x2 的系数为 C26(－2)2＝60. 9．(2018 广州模拟)( x＋a x2)10 展开式中的常数项为 180，则 a＝ ________. 【答案】±2 【解析】( x＋a x2)10 展开式的通项为 C r10( x)10－r·(a x2 )r＝arC r10 x5－5 2 r，令 5－5 2 r＝0，得 r＝2，又 a2C 210＝180，故 a＝±2. 10．(2018 河北定州中学月考)设 (1 x ＋x2)4 的展开式中 x2 的系数 为 m ， 则 直 线 y ＝ m 3 x 与 曲 线 y ＝ x2 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 ________． 【答案】4 3 【解析】(1 x ＋x2)4 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr4xr－4·x2r＝Cr4x3r－4， 令 3r－4＝2，得 r＝2，则 m＝C24＝6.又直线 y＝2x 与曲线 y＝x2 的交 点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积 S＝∫20(2x－x2)dx ＝(x2－1 3x3)20＝4 3 .,三、解答题,11.(2018 湖北七市联考)已知二项式 (3 x＋1 x)n 的展开式中各项的系数和为 256. (1)求 n 的值； (2)求展开式中的常数项． 【解】(1)由题意得 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝256， ∴2n＝256，解得 n＝8. (2)该二项展开式中的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr8(3 x)8－r·(1 x )r＝Cr8·x8－4r 3 ， 令8－4r 3 ＝0，得 r＝2，此时，常数项为 T3＝C28＝28. 12．(2018 广西桂林模拟)已知 (1 2 ＋2x)n. (1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数 列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最 大的项． 【解】(1)∵C4n＋C6n＝2C5n，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7 或 n＝14，当 n＝7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5.∴T4 的系数为 C37(1 2 )4·23＝35 2 ， T5 的系数为 C47(1 2 )3·24＝70， 当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. ∴T8 的系数为 C 714(1 2 )7·27＝3 432. (2)∵C0n＋C1n＋C2n＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12 或 n＝－13(舍去)．设第 r＋1 项的系数最大， ∵(1 2 ＋2x)12＝(1 2 )12(1＋4x)12， ∴Error! ∴9.4≤r≤10.4，又 r∈N*，∴r＝10. ∴展开式中系数最大的项为第 11 项，T11＝C1012·(1 2 )2·210·x10＝ 16 896x10.