2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．对于非零向量， ，下列命题中正确的是 A．或 B． 在方向上的投影为 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为,所以A,D是错的,由投影的定义可知当方向相反时为—,所以B是错的,答案选C.‎ ‎【考点】向量的数量积运算与几何意义 ‎2．数列满足，，那么 A．-1 B． C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据数列的递推关系得到数列是周期是3的周期数列，从而可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 故数列是周期数列，周期是3，‎ 则 ，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ ‎3．在锐角中，角A，B所对的边长分别为,若，则角A等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理将边化为角可得，进而结合条件即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，由正弦定理可得：，‎ 又，所以.‎ 因为△ABC为锐角三角形，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理求解三角形，属于基础题.‎ ‎4．设等差数列的前n项和为，若，，则( )‎ A．63 B．45 C．39 D．27‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，公差为d，‎ 由，，‎ 得，‎ 解得，；‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．‎ ‎5．已知向量的夹角为，且，则( )‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】向量的夹角为，且，，又，，，故选B.‎ ‎6．在中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，,则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理角化边可得，进而得，利用余弦定理可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，由正弦定理可得，代入可得.‎ 由余弦定理可得.所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正余弦定理求解三角形，属于基础题.‎ ‎7．向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】向量满足， ‎ 得到 ‎ 故答案为：A。‎ ‎8．设锐角的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,则b的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由为锐角三角形，结合条件可得，再由正弦定理可得，结合A的范围可得解.‎ ‎【详解】‎ 锐角中，角A. B. C所对的边分别为a、b、c，，‎ ‎，解得 ‎∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∴，‎ 则b的取值范围为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的应用，注意锐角三角形的等价转化，需要三个角均为锐角，属于中档题.‎ ‎9．在中， 是的中点，点在上，且,且（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如下图，以B为原点，BA,BC分别为x,y轴建立平面坐标系A(4,0),B（0，0），C（0，6），D(2,3),设E(0,t),,即，‎ ‎ 。选A.‎ ‎10．等差数列、的前项和分别为和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质和等差数列的前项和公式，化简所求的表达式为的形式，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 根据等差数列的性质和等差数列的前项和公式得，原式 .故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11．如图，在平面四边形ABCD中，‎ 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。‎ 详解：连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 ‎ ‎ ‎= ‎ 所以当时，上式取最大值 ，选A.‎ 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。‎ ‎12．已知数列和首项均为1，且，，数列的前项和为，且满足，则（ ）‎ A．2019 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由，可得数列是常数列，由首项为1可得：，‎ 再由，可得,从而可求的通项，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由，可得：，即数列是常数列，又数列首项为1，所以，所以可化为，因为数列的前项和，所以，‎ 所以，因此数列是以2为公差的等差数列，又,‎ 所以,故，所以.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由数列的递推公式来求数列的通项公式，对于形如的递推式，只需两边同除以即可，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．数列的前项和，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴时，．‎ 当时，，‎ 当时，不满足，‎ 则数列的通项公式为：，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14．已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列四个结论：①；②； ③； ④最小.其中一定正确的结论是________ （只填序号）.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】逐一判断每一个命题的真假得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 ‎①，所以该命题是真命题；②，，不一定为零，所以该命题是假命题；③，，所以该命题是真命题.故答案为：①③‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项和求和，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．在中，角的对边分别为，已知，，，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意根据正弦定理得B=2C（舍）或B+2C=π，从而解得C=A，即a=c=3，再利用余弦定理可得b.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 根据正弦定理知，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 在中，，∴，‎ ‎∴B=2C或B+2C=π，‎ 当B=2C时，B+C=3C>π，（舍）‎ ‎∴B+2C=π，∴C=A，即a=c=3，‎ 又<，∴B<或B>（舍，因为），‎ ‎∴，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB=3，‎ ‎∴b=.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正、余弦定理及应用，考查了三角形中角的大小关系，考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题.‎ ‎16．已知是外接圆的圆心，若且，则_______．(的角所对边分别为，外接圆半径为，有)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取中点，则有，代入已知式子可得，由，可得两边同乘，化简得：，即 ‎，由正弦定理化简可得，由，两边同时除以得：， ，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知的周长为10，且．‎ ‎（1）求边长的值；‎ ‎（2）若，求角的余弦值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理将条件转化为边的关系，结合周长即可求出；‎ ‎（Ⅱ）将条件代入余弦定理，即可求出A的余弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理，可化为 ‎ 联立方程组解得 ‎ 所以，边长 ‎（Ⅱ）由又由（Ⅰ）得得 ‎ ‎ =‎ 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.‎ ‎18．记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎19．已知向量，，其中O为原点． ‎ ‎(1) 若，求向量与的夹角；‎ ‎(2) 若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)根据向量夹角的定义和两角和的三角函数；（2）向量模的求法。‎ 解：（1）‎ ‎ ．．．．．．．7分 ‎（2）当时，．．．．．．．．14分 ‎20．在中，角所对的边分别为，且 ‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若的外接圆直径为1，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由正弦定理边化角，结合同角三角函数基本关系可得；‎ ‎(2)结合题意可得，结合角的范围可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题得 所以 即 得 所以或（不成立）‎ 即 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由，设 ‎，所以 因为 故 ‎ ‎ ‎ ‎ 由得 所以 故 ‎21．已知数列满足，，‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{|bn|}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) Tn＝‎ ‎【解析】（1）n（an+1﹣n﹣1）＝（n+1）（an+n）（n∈N），可得nan+1﹣（n+1）an＝2n ‎（n+1），变形2．利用等差数列的定义及其通项公式即可证明．‎ ‎（2）bn15＝2n﹣15，可得数列{bn}的前n项和Sn＝n2﹣14n．令bn≤0，解得n≤7．得到n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣bn＝﹣Sn．n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn＝﹣2S7+Sn．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵n（an+1﹣n﹣1）＝（n+1）（an+n）（n∈N），‎ ‎∴nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），∴2．‎ ‎∴数列是等差数列，公差为2，首项为2．‎ ‎∴2+2（n﹣1）＝2n，‎ ‎∴an＝2n2．‎ ‎（2）解：bn15＝2n﹣15，‎ 则数列{bn}的前n项和Snn2﹣14n．‎ 令bn＝2n﹣15≤0，解得n≤7．‎ ‎∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣bn＝﹣Sn＝﹣n2+14n．‎ n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn＝﹣2S7+Sn＝﹣2×（72﹣14×7）+n2﹣14n＝n2﹣14n+98．‎ ‎∴Tn．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知正项数列，，且 ‎（1）数列满足，若仍是中的项，求在区间中的所有可能值之和；‎ ‎（2）若将上述递推关系改为：，且数列中任意项 ‎，试求满足要求的实数的取值范围 ‎【答案】（1）1006008；（2）‎ ‎【解析】（1）对两边取倒数，得，可得，进而由得，结合题中范围求和即可；‎ ‎（2）不等式两边取倒数得，由，可得，进而求范围可得解解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对两边取倒数，得，故是等差数列，‎ 又，故，.‎ ‎.‎ 设是中的第项，则，‎ 所以 ‎（2）对两边取倒数，得，‎ ‎.‎ ‎，而，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由数列的递推关系求数列的通项公式，考查了倒数法和裂项相消法，涉及到了不等式恒成立思想求参数范围，属于难题.‎