上海市浦东新区2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

上海市浦东新区2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

‎2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）‎ ‎1．数1与9的等差中项是______．‎ ‎2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．‎ ‎3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．‎ ‎4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．‎ ‎5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=______．‎ ‎6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．‎ ‎7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．‎ ‎8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．‎ ‎9．关于x的方程=0的解为______．‎ ‎10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．‎ ‎11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．‎ ‎12．定义=（n∈N*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．‎ ‎　‎ 二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)‎ 第15页（共15页）‎ ‎13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（　　）‎ A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1‎ ‎14．下列命题正确的是（　　）‎ A．若（an•bn）=a≠0，则an≠0且bn≠0‎ B．若（an•bn）=0，则an=0或bn=0‎ C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+…+an D．若无穷数列{an}有极限，则an=an+1‎ ‎15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（　　）‎ A． +=+ B． +=+ C． +=+ D． +=+‎ ‎16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（　　）‎ ‎①S7是所有Sn（n∈N*）中的最大值；‎ ‎②a7是所有an（n∈N*）中的最大值；‎ ‎③公差d一定小于0；‎ ‎④S9一定小于S6．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知，x，y的方程组．‎ ‎（1）求D，Dx，Dy；‎ ‎（2）当实数m为何值时方程组无解；‎ ‎（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．‎ ‎18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值．‎ ‎19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．‎ ‎（1）若∥，求的坐标；‎ ‎（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．‎ 第15页（共15页）‎ ‎20．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足bn=（lga1+lga2+…+lgan）．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．‎ ‎（1）求p，q的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．‎ ‎　‎ 第15页（共15页）‎ ‎2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）‎ ‎1．数1与9的等差中项是　5　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．‎ ‎【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，‎ 则可得2a=1+9，‎ 解得a=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是　　．‎ ‎【考点】二元一次方程组的矩阵形式．‎ ‎【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可 ‎【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为 可得到二元线性方程组的表达式 ‎∴‎ 故答案为 ‎　‎ ‎3．行列式中元素8的代数余子式的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．‎ ‎【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．‎ ‎【解答】解：设A=，‎ 元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；‎ 第15页（共15页）‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=　（，）或（﹣，﹣）　．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，‎ ‎∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），‎ ‎∴向量的单位向量==±=±（，）．‎ 故答案为：（，）或（﹣，﹣）．‎ ‎　‎ ‎5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=　6　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，‎ ‎∴a3=﹣1+2d=3，‎ ‎∴d=2，‎ ‎∵an=9=﹣1+（n﹣1）×2，‎ 解得n=6，‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ ‎6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵⊥，‎ ‎∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，‎ 解得x=，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为　﹣3　．‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．‎ 第15页（共15页）‎ ‎【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，‎ ‎∴=﹣3，‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为　1320　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．‎ ‎【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．‎ 判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；‎ 判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10‎ 判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；‎ 判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．‎ 故答案为：1320．‎ ‎　‎ ‎9．关于x的方程=0的解为　x=2或x=3　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．‎ ‎【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x的值．‎ 第15页（共15页）‎ ‎【解答】解： =1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，‎ ‎∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，‎ 故答案为：x=2或x=3．‎ ‎　‎ ‎10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为　（0，3）∪（3，6）　．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由Sn==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．‎ ‎【解答】解：设等比数列的公比为q，‎ 依题意知|q|＜1且q≠0，‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴Sn==3，‎ 可得q=1﹣∈（﹣1，1），‎ 即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，‎ 解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．‎ 故答案为：（0，3）∪（3，6）．‎ ‎　‎ ‎11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是　[0，1]　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时， •取得最小值；当点M位于边BC时， •取得最大值．即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 由数量积的意义可得：‎ 当点M位于边AD时， •取得最小值0；‎ 当点M位于边BC时， •取得最大值：1．‎ ‎∴•的取值范围是[0，1]．‎ 故答案为：[0，1]．‎ 第15页（共15页）‎ ‎　‎ ‎12．定义=（n∈N*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=　（）n﹣1　．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．‎ ‎【解答】解：由=，‎ ‎∴，‎ 当n=1， =（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，‎ ‎∴，‎ ‎=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），‎ ‎||===（），‎ ‎=2（﹣sinx，cosx），‎ ‎||==2=（）2，‎ ‎=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），‎ 第15页（共15页）‎ ‎||=2=2=（）3，‎ ‎=4（﹣sinx，﹣cosx），‎ ‎||=4=4=（）4，‎ ‎…‎ ‎∴||=（）n﹣1，‎ 故答案为：（）n﹣1．‎ ‎　‎ 二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)‎ ‎13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（　　）‎ A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．‎ ‎【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”，‎ 在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．下列命题正确的是（　　）‎ A．若（an•bn）=a≠0，则an≠0且bn≠0‎ B．若（an•bn）=0，则an=0或bn=0‎ C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+…+an D．若无穷数列{an}有极限，则an=an+1‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【分析】对于A，可举an=n，bn=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举an=n，bn=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举an=（）n﹣1，Sn=，求出极限即可判断；对于D，可举an=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．‎ 第15页（共15页）‎ ‎【解答】解：对于A，若（an•bn）=a≠0，可举an=n，bn=，‎ 即有an不存在， =0，故A错；‎ 对于B，若（an•bn）=0，可举an=n，bn=，则an不存在， bn=0，故B错；‎ 对于C，若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，可举an=（）n﹣1，Sn=，‎ 即有an=0， Sn=2，显然=a1+a2+…+an不成立，故C错；‎ 对于D，若无穷数列{an}有极限，可举an=， =0，显然=0，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（　　）‎ A． +=+ B． +=+ C． +=+ D． +=+‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．‎ ‎【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．‎ ‎【解答】解：∵=，，∴，∴．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（　　）‎ ‎①S7是所有Sn（n∈N*）中的最大值；‎ ‎②a7是所有an（n∈N*）中的最大值；‎ ‎③公差d一定小于0；‎ ‎④S9一定小于S6．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；‎ ‎∵d＜0，∴a1最大，故②错误；‎ 由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0‎ ‎∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；‎ 第15页（共15页）‎ S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知，x，y的方程组．‎ ‎（1）求D，Dx，Dy；‎ ‎（2）当实数m为何值时方程组无解；‎ ‎（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．‎ ‎【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．‎ ‎【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，Dx=﹣2，Dy=m﹣2；‎ ‎（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m的值；‎ ‎（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．‎ ‎【解答】解：（1）=，‎ D=m﹣4，Dx=﹣2，Dy=m﹣2 ‎ ‎（2）由A=，当丨A丨=0，‎ 即=m﹣4=0，解得：m=4，‎ ‎∴当m=4，方程组无解 ‎ ‎（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，‎ 由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，‎ ‎∴方程的解集为：．‎ ‎　‎ ‎18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）当；‎ 第15页（共15页）‎ ‎（2）当，‎ 由．‎ 综上得．‎ ‎　‎ ‎19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．‎ ‎（1）若∥，求的坐标；‎ ‎（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．‎ ‎（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．‎ ‎∴可设=（2x，x），‎ ‎==（1﹣2x，7﹣x），‎ ‎=﹣=（5﹣2x，1﹣x），‎ ‎∵∥，‎ ‎∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，‎ 解得x=．‎ ‎∴=．‎ ‎（2），‎ ‎∴k=2时， •取的最小值﹣8，此时，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足bn=（lga1+lga2+…+lgan）．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．‎ 第15页（共15页）‎ ‎【解答】解：（1）an=1000×=104﹣n，‎ ‎=，‎ ‎∴lgan=4﹣n，‎ ‎∴．‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项之和为Tn，则=﹣+，‎ 当n=6，7时，Tn取得最大值．‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．‎ ‎（1）求p，q的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；‎ ‎（2）把（1）中求得的p，q值代入Sn+1=pSn+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{an}是等比数列，进一步得到通项公式；‎ ‎（3）求出数列{an}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得，‎ 即，解得；‎ ‎（2）由（1）知，，①‎ 当n≥2时，，②‎ ‎①﹣②，得（n≥2），‎ 又，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．‎ 第15页（共15页）‎ ‎∴{an}的通项公式为（n∈N*）；‎ ‎（3）由，得，‎ 得，令，‎ ‎∵，∴f（n）为递增数列，‎ 且，‎ ‎∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．‎ ‎　‎ 第15页（共15页）‎ ‎2016年9月26日 第15页（共15页）‎