高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）全解全析

高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）全解全析

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）全解全析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数 22i 1+i      等于（ ） A． 4i B． 4i C． 2i D． 2i 【答案】C 【解析】 2 2 2 2i 4i 4 2i.1+i (1+i) 2i        2．不等式 2 01 x x   ≤ 的解集是（ ） A． ( 1) ( 1 2]  ， ， B．[ 1 2] ， C． ( 1) [2 )   ， ， D． ( 1 2] ， 【答案】D 【解析】由 2 01 x x   ≤ 得 ( 2)( 1) 0 1 0 x x x      ≤ ，所以解集为 ( 1 2] ， . 3．设 M N， 是两个集合，则“ M N   ”是“ M N   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由韦恩图知 M N    M N   ;反之， M N   .M N   4．设 ，a b 是非零向量，若函数 ( ) ( ) ( )f x x x  a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A． ⊥a b B． ∥a b C．| | | |a b D．| | | |a b 【答案】A 【解析】 2 2 2( ) ( ) ( ) (| | | | )f x x x x x         a b a b a b a b a b ,若函数 ( )f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为 0，  a b = 0，  ⊥a b. 5．设随机变量 服从标准正态分布 (01)N ， ，已知 ( 1.96) 0.025   ， 则 (| | 1.96)P   =（ ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 【答案】C 【解析】 服从标准正态分布 (01)N ， ， (| | 1.96) ( 1.96 1.96)P P        (1.96) ( 1.96) 1 2 ( 1.96) 1 2 0.025 0.950.           6．函数 2 4 4 1 ( ) 4 3 1 x x f x x x x      ， ≤ ， ， 的图象和函数 2( ) logg x x 的图象 的交点个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B. 【解析】由图像易知交点共有 3 个。 7．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A．若函数 ( )f x 在 0x x 处连续，则 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x   → → B．函数 2 2( ) 4 xf x x   的不连续点是 2x  和 2x   C．若函数 ( )f x 、 ( )g x 满足 lim[ ( ) ( )] 0x f x g x  → ，则 lim ( ) lim ( )x x f x g x  → → D． 1 1 1lim 1 2x x x  → 【答案】C. 【解析】 lim ( ) lim ( )x x f x g x  → → 的前提是 lim ( ) lim ( )x x f x g x → → 与 必须都存在！ 8．棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 8 个顶点都在球O 的表面上， E F， 分别 是棱 1AA ， 1DD 的中点，则直线 EF 被球O 截得的线段长为（ ） A． 2 2 B．1 C． 21 2  D． 2 【答案】D. 【解析】正方体对角线为球直径，所以 4 32 R ，在过点 E、F、O 的球的大圆中， 由已知得 d= 2 3,2 1 R ， 2 2 4 1 4 3 r ，所以 EF=2r= 2 。 9．设 1 2F F， 分别是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 ,P 使线段 1PF 的中垂线过点 2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． 20 2      ， B． 30 3      ， C． 2 12      ， D． 3 13      ， 【答案】D 【解析】由已知 P 2 ( , )a yc ，所以 1F P 的中点 Q 的坐标为 2 ( , )2 2 b y c ，由 1 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2, , 1, 2 .2F P QF F P QF cy cy bk k k k y bb b c c         2 2 2 2 2 1 1 3( )(3 ) 0 (3 ) 0,1 .3y a c ee e           当 1 0F Pk  时， 2QFk 不存在，此时 2F 为中点， 2 32 .3 a c c ec     综上得 3 1.3 e  10．设集合 {1 2 3 4 5 6}M  ，，，，， ， 1 2 kS S S， ， ， 都是 M 的含两个元素的子集，且满足： 对任意的 { }i i iS a b ， ， { }j j jS a b ， （i j ， {1 2 3 }i j k 、 ，，， ， ），都有 min min j ji i i i j j a ba b b a b a              ， ， （ min{ }x y， 表示两个数 x y， 中的较小者）， 则 k 的最大值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解析】含 2 个元素的子集有 15 个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个； {1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有 11 个。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在横线上． 11．圆心为 (11)， 且与直线 4x y  相切的圆的方程是 ． 【答案】 2 2( 1) ( 1) 2x y    【解析】半径 R= 2 2 |411|  ，所以圆的方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    12．在 ABC△ 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，若 1a  ，b= 7 ， 3c  ，则 B  ． 【答案】 5π 6 【解析】由正弦定理得 1 3 7 3cos ,22 1 3 B       ，所以 5π .6B  13．函数 3( ) 12f x x x  在区间[ 3 3] ， 上的最小值是 ． 【答案】–16 【解析】 2( ) 12 3 0 2,f x x x       检验 ( 2) 16, (3) 9,f f     min( ) ( 2) 16.f x f     14．设集合 {( ) | | 2 |},A x y y x 1， ≥ 2 {( ) | | | }B x y y x b  ， ≤ ， A B   ． （1）b 的取值范围是 ； （2）若 ( )x y A B ， ，且 2x y 的最大值为 9，则b 的值是 ． 【答案】（1）[1 ) ， （2） 9 2 【解析】（1）由图象可知b 的取值范围是[1 ). ， （2）若 , ,x y A B  令 t= 2x y ，则在（0，b）处取得最大值， 所以 0+2b=9，所以 b= 9 2 . 15．将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表．从上 往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，…， 第 n 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 ． 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………… 图 1 【答案】 2 1n  ，32 【解析】由不完全归纳法知，全行都为 1 的是第 2 1n  行； 66 2 1 63,n     故第 63 行共有 64 个 1，逆推知第 62 行共有 32 个 1，第 61 行共有 32 个 1。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分） 已知函数 2 π( ) cos 12f x x     ， 1( ) 1 sin 22g x x  ． （I）设 0x x 是函数 ( )y f x 图象的一条对称轴，求 0( )g x 的值． （II）求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  的单调递增区间． 解：（I）由题设知 1 π( ) [1 cos(2 )]2 6f x x   ． 因为 0x x 是函数 ( )y f x 图象的一条对称轴，所以 0 π2 6x  πk ， 即 0 π2 π 6x k  （ k Z ）． 所以 0 0 1 1 π( ) 1 sin 2 1 sin( π )2 2 6g x x k     ． 当 k 为偶数时， 0 1 π 1 3( ) 1 sin 12 6 4 4g x          ， 当 k 为奇数时， 0 1 π 1 5( ) 1 sin 12 6 4 4g x      ． （II） 1 π 1( ) ( ) ( ) 1 cos 2 1 sin 22 6 2h x f x g x x x             1 π 3 1 3 1 3cos 2 sin 2 cos2 sin 22 6 2 2 2 2 2x x x x                    1 π 3sin 22 3 2x      ． 当 π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k  ≤ ≤ ，即 5π ππ π12 12k x k ≤ ≤ （ k Z ）时， 函数 1 π 3( ) sin 22 3 2h x x      是增函数， 故函数 ( )h x 的单调递增区间是 5π ππ π12 12k k     ， （ k Z ）． 17．（本小题满分 12 分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人 员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参 加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择 相互之间没有影响． （I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选 3 名下岗人员，记 为 3 人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望． 解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A ，“该人参加过计算机 培训”为事件 B ，由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 ( ) 0.6P A  ， ( ) 0.75P B  ． （I）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1 ( ) ( ) ( ) 0.4 0.25 0.1P P A B P A P B      所以该人参加过培训的概率是 2 11 1 0.1 0.9P P     ． 解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 3 ( ) ( ) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45P P A B P A B        该人参加过两项培训的概率是 4 ( ) 0.6 0.75 0.45P P A B    ． 所以该人参加过培训的概率是 5 3 4 0.45 0.45 0.9P P P     ． （II）因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数  服从二项分布 (3 0.9)B ， ， 3 3( ) 0.9 0.1k k kP k C     ， 01 2 3k  ，，，，即 的分布列是  0 1 2 3 P 0.001 0.027 0. 243 0.729  的期望是 1 0.027 2 0.243 3 0.729 2.7E        ． （或 的期望是 3 0.9 2.7E    ） 18．（本小题满分 12 分） 如图 2，E F， 分别是矩形 ABCD 的边 AB CD， 的中点，G 是 EF 上的一点，将 GAB△ ， GCD△ 分别沿 AB CD， 翻折成 1G AB△ ， 2G CD△ ，并连结 1 2G G ，使得平面 1G AB⊥ 平面 ABCD ， 1 2G G AD∥ ，且 1 2G G AD ．连结 2BG ，如图 3． A E B C F D G 1G 2G D FCB A E 图 2 图 3 （I）证明：平面 1G AB⊥平面 1 2G ADG ； （II）当 12AB  ， 25BC  ， 8EG  时，求直线 2BG 和平面 1 2G ADG 所成的角． 解：解法一：（Ｉ）因为平面 1G AB⊥ 平面 ABCD ，平面 1G AB  平面 ABCD AB ， AD AB⊥ ， AD  平面 ABCD ，所以 AD⊥平面 1G AB ，又 AD  平面 1 2G ADG ， 所以平面 1G AB ⊥平面 1 2G ADG ． （II）过点 B 作 1BH AG⊥ 于点 H ，连结 2G H ． 由（I）的结论可知， BH ⊥平面 1 2G ADG ， 所以 2BG H 是 2BG 和平面 1 2G ADG 所成的角． 因为平面 1G AB⊥平面 ABCD ，平面 1G AB  平面 ABCD AB ， 1G E AB⊥ ， 1G E  平面 1G AB ，所以 1G E ⊥平面 ABCD ，故 1G E EF⊥ ． 因为 1 2G G AD ， AD EF ，所以可在 EF 上取一点 O ，使 1 2EO G G ， 又因为 1 2G G AD EO∥ ∥ ，所以四边形 1 2G EOG 是矩形． 由题设 12AB  ， 25BC  ， 8EG  ，则 17GF  ．所以 2 1 8G O G E  ， 2 17G F  ， 2 217 8 15OF    ， 1 2 10G G EO  ． 因为 AD⊥平面 1G AB ， 1 2G G AD∥ ，所以 1 2G G ⊥平面 1G AB ，从而 1 2 1G G G B⊥ ． 故 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 6 8 10 200BG BE EG G G       ， 2 10 2BG  ． 又 2 2 1 6 8 10AG    ，由 1 1BH AG G E AB  得 8 12 48 10 5BH   ． 故 2 2 48 1 12 2sin 5 2510 2 BHBG H BG      ． 即直线 2BG 与平面 1 2G ADG 所成的角是 12 2arcsin 25 ． 解法二：（I）因为平面 1G AB⊥平面 ABCD ，平面 1G AB  平面 ABCD AB ， 1G E AB⊥ ， 1G E  平面 1G AB ，所以 1G E ⊥平面 ABCD ，从而 1G E AD⊥ ．又 AB AD⊥ ， 1G 2G D FCB A E O H 所以 AD⊥平面 1G AB ．因为 AD  平面 1 2G ADG ，所以平面 1G AB ⊥平面 1 2G ADG ． （II）由（I）可知， 1G E ⊥平面 ABCD ．故可以 E 为原点，分别以直线 1EB EF EG， ， 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题设 12AB  ， 25BC  ， 8EG  ，则 6EB  ， 25EF  ， 1 8EG  ，相关各点的坐标分别是 ( 6 0 0)A  ，， ， ( 6 25 0)D  ， ， ， 1(0 0 8)G ，， ， (6 0 0)B ，， ． 所以 (0 25 0)AD  ， ， ， 1 (6 0 8)AG  ，， ． 设 ( )n x y z ， ， 是平面 1 2G ADG 的一个法向量， 由 1 0 0 n AD n AG          ， . 得 25 0 6 8 0 y x z     ， 故可取 (4 0 3)n   ，， ． 过点 2G 作 2G O⊥平面 ABCD 于点O ，因为 2 2G C G D ，所以OC OD ， 于是点O 在 y 轴上． 因为 1 2G G AD∥ ，所以 1 2G G EF∥ ， 2 1 8G O G E  ． 设 2 (0 8)G m， ， （ 0 25m  ），由 2 2 217 8 (25 )m   ，解得 10m  ， 所以 2 (010 8) (6 0 0) ( 610 8)BG     ， ， ，， ， ， ． 设 2BG 和平面 1 2G ADG 所成的角是 ，则 2 2 2 2 2 2 2 | 24 24 | 12 2sin 256 10 8 4 3 BG n BG n                ． 故直线 2BG 与平面 1 2G ADG 所成的角是 12 2arcsin 25 ． 19．（本小题满分 12 分） 如图 4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 P 和居民区 O 的公路，点 P 所在 的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 （ 0 90   ），且 2sin 5   ，点 P 到 平面 的距离 0.4PH  （km）．沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可供利用．从点 O 到山 1G 2G D FCB A E O x y z 脚修路的造价为 a 万元/km，原有公路改建费用为 2 a 万元/km．当山坡上公路长度为 l km （1 2l≤ ≤ ）时，其造价为 2( 1)l a 万元．已知OA AB⊥ ，PB AB⊥ ， 1.5(km)AB  ， 3(km)OA  ． （I）在 AB 上求一点 D ，使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小； （II） 对于（I）中得到的点 D ，在 DA 上求一点 E ，使沿折线 PDEO 修建公路的总造价最小． （III）在 AB 上是否存在两个不同的点 D ， E ，使沿折线 PD E O  修建公路的 总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论． Ｏ A E D B H P 解：（I）如图， PH ⊥ ， HB  ， PB AB⊥ ， 由三垂线定理逆定理知， AB HB⊥ ，所以 PBH 是 山坡与 所成二面角的平面角，则 PBH   ， 1sin PHPB   ． 设 (km)BD x ， 0 1.5x≤ ≤ ．则 2 2 2 1PD x PB x    [1 2] ， ． 记总造价为 1( )f x 万元， 据题设有 2 2 1 1 1 11( ) ( 1 ) ( 3)2 2 4f x PD AD AO a x x a        21 43 34 16x a a             当 1 4x  ，即 1 (km)4BD  时，总造价 1( )f x 最小． （II）设 (km)AE y ， 50 4y≤ ≤ ，总造价为 2 ( )f y 万元，根据题设有 2 2 2 1 3 1( ) 1 3 2 2 4f y PD y y a             2 433 2 16 yy a a       ． A O ED B H P 则  2 2 1 23 yf y a y        ，由 2 ( ) 0f y  ，得 1y  ． 当 (01)y  ， 时， 2 ( ) 0f y  ， 2 ( )f y 在 (01)， 内是减函数； 当 51 4y     ， 时， 2 ( ) 0f y  ， 2 ( )f y 在 51 4      ， 内是增函数． 故当 1y  ，即 1AE  （km）时总造价 2 ( )f y 最小，且最小总造价为 67 16 a 万元． （III）解法一：不存在这样的点 D ， E ． 事实上，在 AB 上任取不同的两点 D ， E ．为使总造价最小， E 显然不能位于 D 与 B 之间．故可设 E 位于 D 与 A 之间，且 BD = 1(km)x ， 1(km)AE y  ， 1 2 30 2x y≤ ≤ ， 总造价为 S 万元，则 2 21 1 1 1 1132 2 4 x yS x y a         ．类似于（I）、（II）讨论知， 2 1 1 1 2 16 xx  ≥ ， 2 1 1 33 2 2 yy   ≥ ，当且仅当 1 1 4x  ， 1 1y  同时成立时，上述两个不 等式等号同时成立，此时 1 (km)4BD  ， 1(km)AE  ， S 取得最小值 67 16 a ，点 D E ， 分别与点 D E， 重合，所以不存在这样的点 D E ， ，使沿折线 PD E O  修建公路的总造价 小于（II）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得 2 21 1 1 1 1132 2 4 x yS x y a            2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 433 3 34 4 16x a y y y y a a                 2 2 1 1 1 1 1 432 3( 3 )( 3 )4 16y y y y a a      ≥ 67 16 a ． 当且仅当 1 1 4x  且 2 2 1 1 1 13( 3 )( 3 )y y y y    ，即 1 1 1 14x y ， 同时成立时， S 取得最小值 67 16 a ，以上同解法一． 20．（本小题满分 12 分） 已知双曲线 2 2 2x y  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， 过点 2F 的动直线与双曲线相交于 A B， 两点． （I）若动点 M 满足 1 1 1 1F M F A F B FO      （其中O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程； （II）在 x 轴上是否存在定点 C ，使 CA  ·CB  为常数？若存在，求出点C 的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：由条件知 1( 2 0)F  ， ， 2 (2 0)F ， ，设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ． 解法一：（I）设 ( )M x y， ，则 则 1 ( 2 )F M x y  ， ， 1 1 1( 2 )F A x y  ， ， 1 2 2 1( 2 ) (2 0)F B x y FO   ， ， ， ，由 1 1 1 1F M F A F B FO      得 1 2 1 2 2 6x x x y y y        ， 即 1 2 1 2 4x x x y y y       ， 于是 AB 的中点坐标为 4 2 2 x y     ， ． 当 AB 不与 x 轴垂直时， 1 2 1 2 2 4 822 y y y y xx x x     ，即 1 2 1 2( )8 yy y x xx    ． 又因为 A B， 两点在双曲线上，所以 2 2 1 1 2x y  ， 2 2 2 2 2x y  ，两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( )x x x x y y y y     ，即 1 2 1 2( )( 4) ( )x x x y y y    ． 将 1 2 1 2( )8 yy y x xx    代入上式，化简得 2 2( 6) 4x y   ． 当 AB 与 x 轴垂直时， 1 2 2x x  ，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程． 所以点 M 的轨迹方程是 2 2( 6) 4x y   ． （II）假设在 x 轴上存在定点 ( 0)C m， ，使 CA CB    为常数． 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 ( 2)( 1)y k x k    ． 代入 2 2 2x y  有 2 2 2 2(1 ) 4 (4 2) 0k x k x k     ． 则 1 2x x， 是上述方程的两个实根，所以 2 1 2 2 4 1 kx x k    ， 2 1 2 2 4 2 1 kx x k   ， 于是 2 1 2 1 2( )( ) ( 2)( 2)CA CB x m x m k x x        2 2 2 2 1 2 1 2( 1) (2 )( ) 4k x x k m x x k m       2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(4 2) 4 (2 ) 41 1 k k k k m k mk k        2 2 2 2 2 2(1 2 ) 2 4 42(1 2 )1 1 m k mm m mk k          ． 因为 CA CB    是与 k 无关的常数，所以 4 4 0m  ，即 1m  ，此时CA CB    = 1 ． 当 AB 与 x 轴垂直时，点 A B， 的坐标可分别设为 (2 2)， ， (2 2)， ， 此时 (1 2) (1 2) 1CA CB       ， ， ． 故在 x 轴上存在定点 (1 0)C ， ，使CA CB    为常数． 解法二：（I）同解法一的（I）有 1 2 1 2 4x x x y y y       ， 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 ( 2)( 1)y k x k    ． 代入 2 2 2x y  有 2 2 2 2(1 ) 4 (4 2) 0k x k x k     ． 则 1 2x x， 是上述方程的两个实根，所以 2 1 2 2 4 1 kx x k    ． 2 1 2 1 2 2 4 4( 4) 41 1 k ky y k x x k k k            ． 由①②③得 2 2 44 1 kx k    ．…………………………………………………④ 2 4 1 ky k   ．……………………………………………………………………⑤ 当 0k  时， 0y  ，由④⑤得， 4x ky   ，将其代入⑤有 2 2 2 2 44 4 ( 4) ( 4) ( 4)1 x y xyy x x y y      ．整理得 2 2( 6) 4x y   ． 当 0k  时，点 M 的坐标为 (4 0)， ，满足上述方程． 当 AB 与 x 轴垂直时， 1 2 2x x  ，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程． 故点 M 的轨迹方程是 2 2( 6) 4x y   ． （II）假设在 x 轴上存在定点点 ( 0)C m， ，使CA CB    为常数， 当 AB 不与 x 轴垂直时，由（I）有 2 1 2 2 4 1kx x k    ， 2 1 2 2 4 2 1 kx x k   ． 以上同解法一的（II）． 21．（本小题满分 13 分） 已知 ( )n n nA a b， （ nN* ）是曲线 xy e 上的点， 1a a ， nS 是数列{ }na 的前 n 项和， 且满足 2 2 2 13n n nS n a S   ， 0na  ， 2 3 4n  ，，，…． （I）证明：数列 2n n b b       （ 2n≤ ）是常数数列； （II）确定 a 的取值集合 M ，使 a M 时，数列{ }na 是单调递增数列； （III）证明：当 a M 时，弦 1n nA A  （ nN*）的斜率随 n 单调递增． 解：（I）当 2n≥ 时，由已知得 2 2 2 1 3n n nS S n a  ． 因为 1 0n n na S S    ，所以 2 1 3n nS S n  ． …… ① 于是 2 1 3( 1)n nS S n    ． ……② 由②－①得 1 6 3n na a n    ． …… ③ 于是 2 1 6 9n na a n    ． …… ④ 由④－③得 2 6n na a   ， …… ⑤ 所以 2 2 62 n n n n a a an a n b e e eb e       ，即数列 2 ( 2)n n b nb       ≥ 是常数数列． （II）由①有 2 1 12S S  ，所以 2 12 2a a  ．由③有 3 2 15a a  ， 4 3 21a a  ， 所以 3 3 2a a  ， 4 18 2a a  ． 而 ⑤表明：数列 2{ }ka 和 2 1{ }ka  分别是以 2a ， 3a 为首项，6 为公差的等差数列， 所以 2 2 6( 1)ka a k   ， 2 1 3 6( 1)ka a k    ， 2 2 4 6( 1)( )ka a k k     N* ， 数列{ }na 是单调递增数列 1 2a a  且 2 2 1 2 2k k ka a a   对任意的 k N*成立． 1 2a a  且 2 3 46( 1) 6( 1) 6( 1)a k a k a k        1 2 3 4a a a a    9 1512 2 3 2 18 2 4 4a a a a a          ． 即所求 a 的取值集合是 9 15 4 4M a a       ． （III）解法一：弦 1n nA A  的斜率为 1 1 1 1 n na a n n n n n n n b b e ek a a a a         任取 0x ，设函数 0 0 ( ) xxe ef x x x   ，则 0 0 2 0 ( ) ( )( ) ( ) xx xe x x e ef x x x     记 0 0( ) ( ) ( )xx xg x e x x e e    ，则 0 0( ) ( ) ( )x x x xg x e x x e e e x x       ， 当 0x x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 0( )x  ， 上为增函数， 当 0x x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 0( )x， 上为减函数， 所以 0x x 时， 0( ) ( ) 0g x g x  ，从而 `( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 0( )x， 和 0( )x  ， 上都是增函数． 由（II）知， a M 时，数列{ }na 单调递增， 取 0 nx a ，因为 1 2n n na a a   ，所以 1 1 n na a n n n e ek a a     2 2 n na a n n e e a a     ． 取 0 2nx a  ，因为 1 2n n na a a   ，所以 1 2 1 1 2 n na a n n n e ek a a        2 2 n na a n n e e a a     ． 所以 1n nk k  ，即弦 1( )n nA A n N* 的斜率随 n 单调递增． 解法二：设函数 1 1 ( ) nax n e ef x x a     ，同解法一得， ( )f x 在 1( )na ， 和 1( )na   ， 上都是增函数， 所以 1 1 1 11 1 lim n n n n n a a ax a n n an n n e e e ek ea a x a           → ， 2 1 1 1 1 1 2 1 1 lim n n n n n a a ax a n n an n n e e e ek ea a x a               → ． 故 1n nk k  ，即弦 1( )n nA A n N* 的斜率随 n 单调递增．