2017-2018学年四川省成都市新津中学高二上学期入学数学试题（解析版）

2017-2018学年四川省成都市新津中学高二上学期入学数学试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省成都市新津中学高二（上）入学数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）数列﹣3，7，﹣11，15，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=（﹣1）n（4n﹣1） B．an=（﹣1）n（4n+1） C．an=4n﹣7 D．an=（﹣1）n+1（4n﹣1）‎ ‎2．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎3．（5分）在△ABC中，a=3，b=3，A=，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，则原图形是（　　）‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎6．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎7．（5分）下列四个结论，正确的是（　　）‎ ‎①a＞b，c＜d⇒a﹣c＞b﹣d ‎②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd ‎③a＞b＞0⇒＞‎ ‎④a＞b＞0⇒＞．‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①④‎ ‎8．（5分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）‎ C．（） D．（‎ ‎9．（5分）等比数列{an}满足an＞0，n∈N+，且，则当n≥1时，log2a1+log2a2+…+log2a2n﹣1=（　　）‎ A．n（2n﹣1） B．（n+1）2 C．n2 D．（n﹣1）2‎ ‎10．（5分）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（　　）‎ A．1+ B．1+ C．3 D．4‎ ‎11．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（　　）‎ A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）‎ ‎12．（5分）如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）‎ A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列 C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）sin347°cos148°+sin77°cos58°等于　 　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　 　．‎ ‎15．（5分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为　 　．‎ ‎16．（5分）给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体．‎ 其中正确命题的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，17题10分，其余每题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（1）解不等式 ‎（2）若关于x的不等式：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（1）解不等式 ‎（2）若关于x的不等式：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，tanC=．‎ ‎（1）求cosC；‎ ‎（2）若且a+b=9，求c．‎ ‎20．（12分）△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：‎ ‎（1）BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎（3）BC边的垂直平分线DE的方程．‎ ‎21．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，（1）当直线l的斜率K=﹣1时，求直线l的方程；（2）当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎22．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．‎ ‎23．（12分）设数列{an}满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎24．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年四川省成都市新津中学高二（上）入学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）数列﹣3，7，﹣11，15，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=（﹣1）n（4n﹣1） B．an=（﹣1）n（4n+1） C．an=4n﹣7 D．an=（﹣1）n+1（4n﹣1）‎ ‎【分析】用排除法，n=1时，排除B、D；n=2时，排除C．‎ ‎【解答】解：当n=1时，A项中的a1=﹣3，‎ B项中的a1=﹣5，‎ C项中的a1=﹣3，‎ D项中的a1=3，可以排除B、D；‎ 当n=2时，C项中的a1=1，排除C，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了数列的通项公式，由于是选择题，用排除法比较好．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，‎ ‎∴a1+a11=a4+a8=16，‎ ‎∴S11==88，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在△ABC中，a=3，b=3，A=，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合大边对大角可得角B，利用三角形内角和定理可求C的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵a=3，b=3，A=，‎ ‎∴sinB===，‎ ‎∵b＜a，可得：B=，‎ ‎∴C=π﹣A﹣B=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．‎ ‎【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，则原图形是（　　）‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎【分析】由题意画出原平面图形，结合图形即可判断该图形是菱形．‎ ‎【解答】解：根据题意，直观图的两组对边分别平行，‎ 且O′A′=6cm，C′D′=O′C′=2cm，∴O′D′=2；‎ 还原为平面图形是邻边不垂直，且CD=2，OD=4，‎ 如图所示，‎ ‎∴OC=6cm，‎ ‎∴四边形OABC是菱形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平面图形与它的直观图应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【分析】先根据约束条件：‎ ‎，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积和周长C即可．‎ ‎【解答】‎ 解：不等式组所表示的平面区域如图所示 解得A（2，3）、B（1，0）、C（0，1），‎ 所以S△ABC=2；‎ ‎（表示的平面区域的面积为：‎ 矩形的面积﹣三个三角形的面积 ‎=2×3﹣﹣2﹣=2．）‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）下列四个结论，正确的是（　　）‎ ‎①a＞b，c＜d⇒a﹣c＞b﹣d ‎②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd ‎③a＞b＞0⇒＞‎ ‎④a＞b＞0⇒＞．‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①④‎ ‎【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出是否正确．‎ ‎【解答】解：①a＞b，c＜d⇒a﹣c＞b﹣d，正确；‎ ‎②c＜d＜0⇒﹣c＞﹣d＞0，又a＞b＞0，⇒﹣ac＞﹣bd，因此ac＜bd，因此②不正确；‎ ‎③利用函数f（x）=在R上单调递增，因此a＞b＞0⇒＞，正确；‎ ‎④a＞b＞0⇒＜，因此④不正确．‎ 只有①③正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）‎ C．（） D．（‎ ‎【分析】先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个根为﹣，﹣，‎ ‎﹣=﹣﹣，=，‎ ‎∴a=﹣6，b=5，‎ ‎∴x2﹣bx﹣a＜0，‎ ‎∴x2﹣5x+6＜0，‎ ‎∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，‎ ‎∴不等式的解集为：2＜x＜3．‎ ‎【点评】此题主要考查不等式和方程的关系，主要考查一元二次不等式的解法．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）等比数列{an}满足an＞0，n∈N+，且，则当n≥1时，log2a1+log2a2+…+log2a2n﹣1=（　　）‎ A．n（2n﹣1） B．（n+1）2 C．n2 D．（n﹣1）2‎ ‎【分析】根据条件先求出等比数列的通项公式，然后根据对数的运算法则以及等差数列的通项公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∵an＞0，‎ ‎∴an=2n，即log2an=log22n=n，‎ 即log2a1+log2a2+…+log2a2n﹣1=1+2+…+（2n﹣1）==n（2n﹣1），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（　　）‎ A．1+ B．1+ C．3 D．4‎ ‎【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．‎ ‎【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4‎ 当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．‎ ‎∵x=a处取最小值，‎ ‎∴a=3‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（　　）‎ A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）‎ ‎【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点．‎ ‎【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），‎ 又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．‎ 故选B ‎【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直线l2关于点（2，1）对称，故有直线l1上的定点关于点（2，1）对称点 一定在直线l2上．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）‎ A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列 C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列 ‎【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．‎ ‎【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，‎ ‎|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，‎ ‎|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，‎ 由于a，c不确定，‎ 则{dn}不一定是等差数列，‎ ‎{dn2}不一定是等差数列，‎ 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，‎ 由三角形的相似可得 ‎==，==，‎ 两式相加可得，==2，‎ 即有hn+hn+2=2hn+1，‎ 由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，‎ 则数列{Sn}为等差数列．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）sin347°cos148°+sin77°cos58°等于　　．‎ ‎【分析】分别利用诱导公式化简各项，然后利用两角和的正弦函数公式的逆运算得到一个特殊角，利用特殊角的三角函数值求出即可．‎ ‎【解答】解：原式=sin（360°﹣13°）cos（180°﹣32°）+‎ sin（90°﹣13°）cos（90°﹣32°）=（﹣sin13°）•（﹣cos32°）+cos13°sin32°‎ ‎=sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin（13°+32°）=sin45°=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查学生灵活运用诱导公式化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式进行化简求值．此题的突破点是角度的变换．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　1　．‎ ‎【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，‎ ‎∴cosC==，cosA==‎ ‎∴sinC=，sinA=，‎ ‎∴==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为　x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0　．‎ ‎【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．‎ ‎【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0‎ 若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0‎ ‎∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0‎ 故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0‎ ‎【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体．‎ 其中正确命题的序号是　②③④　．‎ ‎【分析】利用题意结合棱柱的定义逐一考查所给的说法是否正确即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：结合题意逐一考查给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但是不一定全等，该说法错误；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，该说法正确；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱，该说法正确；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体，该说法正确．‎ 则其中正确命题的序号是②③④．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎【点评】本题考查了棱柱的空间结构特征及其应用，重点考查学生对基础概念的理解，属于中等题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，17题10分，其余每题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（1）解不等式 ‎（2）若关于x的不等式：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据不等式的解法解分式不等式即可；‎ ‎（2）对x2的系数分类讨论：当a=2时，直接得出；当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为{x|x∈R}，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式＞0，‎ ‎∴＜0，解得：﹣3＜x＜2，‎ 故不等式的解集是（﹣3，2）；‎ ‎（2）①当a=2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x都成立，因此a=2满足题意；‎ ‎②当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为{x|x∈R}，‎ 则，‎ 化为，‎ 解得﹣2＜a＜2．‎ 综上①②可知：a的取值范围为（﹣2，2]．‎ ‎【点评】本题考查了解分式不等式问题，考查二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（1）解不等式 ‎（2）若关于x的不等式：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据不等式的解法解分式不等式即可；‎ ‎（2）对x2的系数分类讨论：当a=2时，直接得出；当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为{x|x∈R}，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式，‎ ‎∴＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，‎ 故不等式的解集是（﹣3，﹣）；‎ ‎（2）①当a=2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x都成立，因此a=2满足题意；‎ ‎②当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为{x|x∈R}，‎ 则，‎ 化为，‎ 解得﹣2＜a＜2．‎ 综上①②可知：a的取值范围为（﹣2，2]．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法，考查二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，tanC=．‎ ‎（1）求cosC；‎ ‎（2）若且a+b=9，求c．‎ ‎【分析】（1）利用切化弦，同角三角函数的平方关系式，求出C的余弦值，判断C的范围，求出C的大小即可．‎ ‎（2）通过向量的数量积，求出ab的关系，结合已知条件，利用余弦定理，求出c的大小．‎ ‎【解答】解：（1）∵tanC=3，∴=3‎ 又∵sin2C+cos2C=1‎ 解得cosC=±．‎ ‎∵tanC＞0，‎ ‎∴C是锐角．‎ ‎∴cosC=．‎ ‎（2）∵，∴abcoC=，由（1）知ab=20．‎ 又∵a+b=9‎ ‎∴a2+2ab+b2=81．‎ ‎∴a2+b2=41．‎ ‎∴c2=a2+b2﹣2abcosC=36．‎ ‎∴c=6．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查同角三角函数的基本关系式，余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：‎ ‎（1）BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎（3）BC边的垂直平分线DE的方程．‎ ‎【分析】（1）利用点斜式可得：BC边所在直线的方程．‎ ‎（2）线段BC的中点D（0，2），利用截距式可得BC边上中线AD所在直线的方程．‎ ‎（3）kDE=﹣=2．利用斜截式BC边的垂直平分线DE的方程．‎ ‎【解答】解：（1）BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0．‎ ‎（2）线段BC的中点D（0，2），可得BC边上中线AD所在直线的方程：=1，化为：2x﹣3y+6=0．‎ ‎（3）kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2．‎ ‎【点评】本题考查了直线的方程的求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，（1）当直线l的斜率K=﹣1时，求直线l的方程；（2）当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）由点斜式即可得出方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为：=1（a，b＞0），把点P（3，2）代入可得：=1．利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由点斜式可得：y﹣2=﹣（x﹣3），化为：x+y﹣5=0．‎ ‎（2）设直线l的方程为：=1（a，b＞0），把点P（3，2）代入可得：=1．‎ ‎∴，化为：ab≥24．当且仅当3b=2a=12时取等号．‎ 则S=ab≥12，‎ 直线l的方程为：=1．‎ ‎【点评】本题考查了直线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．‎ ‎【分析】（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，满足定理所需条件；‎ ‎（2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，则MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，满足定理所需条件．‎ ‎【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，‎ 由N为PC的中点知ENDC，‎ 又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB 又M是AB的中点，∴ENAM，‎ ‎∴AMNE是平行四边形 ‎∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD ‎∴MN∥平面PAD 证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，‎ 又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ‎∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，‎ ‎∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，‎ 又MN⊂平面PMC，‎ ‎∴平面PMC⊥平面PCD．‎ ‎【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）设数列{an}满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）利用累加求和方法、等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎（2）利用错位相减法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1．‎ ‎∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=3×[22n﹣3+22n﹣5+…+22﹣1]+2‎ ‎=3×+2=2×4n﹣1．‎ ‎（2）bn=nan=n×22n﹣1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn=2+2×23+3×25+…+n×22n﹣1，‎ ‎4Sn=2×4+2×25+…+（n﹣1）22n﹣1+n•22n+1，‎ ‎∴﹣3Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1=﹣n•22n+1，‎ 可得Sn=．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．‎ ‎（2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，‎ ‎∵△ABC是正三角形，AD=CD，‎ ‎∴DO⊥AC，BO⊥AC，‎ ‎∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，‎ ‎∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．‎ 解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，‎ ‎∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，‎ 设AD=CD=，则OC=OA=1，‎ ‎∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，‎ 由余弦定理得：‎ cos∠CBD==，‎ 即，解得BE=1或BE=2，‎ ‎∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，‎ ‎∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，‎ ‎∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，‎ ‎∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．‎ 法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，‎ ‎∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，‎ 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），‎ 设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），‎ ‎∴=（1，），=（﹣1，），‎ ‎∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，‎ 由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，‎ ‎∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，‎ ‎∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，‎ ‎∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎