【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-4简单的三角恒等变换学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-4简单的三角恒等变换学案

‎§4.4　简单的三角恒等变换 考纲展示►　‎ 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 考点1　三角函数式的化简与证明 倍角公式与半角公式变形 ‎(1)‎ 答案：2sin2α　2cos2α　1－2sin 2　2cos2－1　±　±　± ‎(2)1±sin α＝2；‎ ‎1＋cos α＝2cos2；‎ ‎1－cos α＝2sin2；‎ tan ＝＝.‎ ‎(3)辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，‎ 其中sin φ＝________，cos φ＝________ .‎ 答案：　 倍角公式中的特殊情形．‎ 判断正误：‎ ‎(1)存在实数α，使cos 2α＝2cos α.(　　)‎ ‎(2)存在实数α，使sin 2α＝2sin α.(　　)‎ ‎(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)√‎ ‎[典题1]　(1)[2017·湖北随州模拟]已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，‎ ‎∵α∈，∴sin α＋cos α>0，‎ ‎∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴ ‎＝＝.‎ ‎(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　解法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β ‎＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝.‎ 解法二：原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－cos 2α·cos 2β ‎＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β ‎＝cos2(α＋β)－·cos (2α＋2β)‎ ‎＝cos2(α＋β)－·[2cos2(α＋β)－1]‎ ‎＝.‎ ‎[点石成金]　三角函数式化简的原则与方法 ‎(1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ‎①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．‎ ‎③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等．‎ ‎(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．‎ ‎(3)化简三角函数式的常用技巧 ‎①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；‎ ‎②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；‎ ‎③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；‎ ‎④注意利用角与角之间的隐含关系；‎ ‎⑤注意利用“1”的恒等变形.‎ 证明下列各式：‎ ‎(1)已知：2sin β＝sin α＋cos α，sin2γ＝2sin αcos α，求证：2cos 2β＝cos2γ；‎ ‎(2)已知：5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.‎ 证明：(1)由已知可得4sin2β＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2γ，∴1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．‎ 由此得cos2γ＝2cos 2β，故要证的等式成立．‎ ‎(2)把5sin α＝3sin(α－2β)化成5sin [(α－β)＋β]＝3sin [(α－β)－β]，得 ‎5sin(α－β)cos β＋5cos (α－β)sin β＝3sin(α－β)·cos β－3cos (α－β)sin β.‎ 移项合并得2sin(α－β)cos β＋8cos (α－β)sin β＝0.‎ 依题意β≠kπ＋且α－β≠kπ＋，k∈Z，‎ 则cos (α－β)cos β≠0.‎ 上式两边都除以2cos βcos (α－β)，‎ 即得tan (α－β)＋4tan β＝0.‎ 考点2　三角函数式的求值 ‎[考情聚焦]　研究三角函数式的求值，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的特点，选择适当的公式进行求解，在高考中是一个热点考查方向．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 给值求值 ‎[典题2]　设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　tan θ＝tan ＝＝－，‎ ‎∴sin θ＝－cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得cos2θ＝1，∴cos2θ＝，‎ 又易知cos θ<0，∴cos θ＝－，‎ ‎∴sin θ＝，故sin θ＋cos θ＝－.‎ 角度二 给角求值 ‎[典题3]　4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2－1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－ ‎＝－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 角度三 给值求角 ‎[典题4]　[2017·山东济南模拟]已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝.‎ ‎(1)求sin α的值；‎ ‎(2)求β的值．‎ ‎[解]　(1)因为tan ＝，‎ 所以sin α＝sin ＝2sin cos ‎＝＝＝ ‎＝.‎ ‎(2)因为0<α<，sin α＝，‎ 所以cos α＝.‎ 又0<α<<β<π，所以0<β－α<π.‎ 由cos (β－α)＝，得0<β－α<.‎ 所以sin(β－α)＝＝，‎ 所以sin β＝sin [(β－α)＋α]‎ ‎＝sin(β－α)cos α＋cos (β－α)sin α ‎＝×＋×＝＝.‎ 由<β<π，得β＝.‎ ‎[点石成金]　三角函数式求值的常见题型及求解策略 ‎(1)给值求值 已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：‎ ‎①先化简所求式子；‎ ‎②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；‎ ‎③将已知条件代入所求式子，化简求值．‎ ‎(2)给角求值 给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．‎ ‎(3)给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：‎ ‎①已知正切函数值，则选正切函数．‎ ‎②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 ‎，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．‎ 考点3　三角恒等变换的综合应用 ‎[考情聚焦]　利用三角恒等变换将三角函数式化简后研究其图象与性质是高考中的热点，常与三角函数的其他知识(如图象平移变换、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性)相结合命题．题目难度适中，属中档题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 三角恒等变换与三角函数性质的综合 ‎[典题5]　已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝5＝5sin ，‎ 所以函数的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的增区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的减区间为(k∈Z)．‎ ‎(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得 x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．‎ ‎[点石成金]　利用三角恒等变换将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，解决此类问题需要注意以下问题：‎ ‎(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．‎ ‎(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．‎ 角度二 三角恒等变换与三角形的综合 ‎[典题6]　在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是(　　)‎ A．1 B. ‎ C. D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由csin A＝acos C，得 sin Csin A＝sin Acos C，‎ 又在△ABC中，sin A≠0，所以sin C＝cos C，tan C＝，C∈(0，π)，所以C＝.‎ 所以sin A＋sinB＝sin A＋sin ＝sin A＋cos A＝sin ，A∈，所以当A＝时，sin A＋sinB取得最大值，故选C.‎ ‎[点石成金]　三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．‎ ‎ 根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：‎ ‎ (1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；‎ ‎ (2)利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．‎ 角度三 三角恒等变换与向量的综合 ‎[典题7]　[2017·安徽合肥二检]已知m＝，n＝(cos x,1)．‎ ‎(1)若m∥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．‎ ‎[解]　(1)由m∥m，得sin－cos x＝0，展开变形，可得sin x＝cos x，即tan x＝.‎ ‎(2)f(x)＝m·n＝sin＋，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 ‎－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ 答案：D 解析：因为cos ＝cos cos α＋sin ·sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 答案：B 解析：解法一：由tan α＝，得 ＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin .‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ ‎∴由sin(α－β)＝sin ，得 α－β＝－α，∴2α－β＝.‎ 解法二：tan α＝＝ ‎＝＝cot ‎＝tantan ，‎ ‎∴α＝kπ＋，k∈Z ‎∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.‎ ‎3．[2016·浙江卷]已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.‎ 答案：　1‎ 解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x ＝sin＋1，所以A＝，b＝1.‎ ‎4．[2014·重庆卷]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ 解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ ‎(2)由(1)得f＝sin＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝ ‎＝＝.‎ 因此cos＝sin α＝sin ‎＝sincos ＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 给值求角忽视角的范围致误 ‎[典例]　[2017·江苏模拟]已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝，sin(α＋β)＝‎ eq f(5 (3),14)，则β＝________.‎ ‎[错解]　∵0<α<π，cos α＝，‎ ‎∴sin α＝＝.‎ 又∵sin(α＋β)＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－＝－.‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝.‎ 又∵0<β<π，∴β＝或.‎ ‎[错因分析]　(1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．‎ ‎(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．‎ ‎[解析]　因为0<α<π，cos α＝，所以sin α＝＝，故<α<.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝<，所以0<α＋β<或<α＋β<π.‎ 由<α<，知<α＋β<π，‎ 所以cos(α＋β)＝－＝－，‎ 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝，‎ 又0<β<π，所以β＝.‎ ‎[答案]　 答题启示 利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．‎