【数学】2020届一轮复习人教B版（文）39选修4系列作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）39选修4系列作业

天天练39　选修4系列 ‎1．[2019·合肥市第一次质检]已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sinθ－ρcos2θ＝0.‎ ‎(1)求曲线C的直线坐标方程；‎ ‎(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．‎ 解析：(1)∵sinθ－ρcos2θ＝0，‎ ‎∴ρsinθ－ρ2cos2θ＝0，即y－x2＝0.‎ ‎(2)将代入y－x2＝0，得＋t－1＋t2＝0，即t＝0，从而，交点坐标为(1，)，‎ ‎∴交点的一个极坐标为.‎ ‎2．[2019·沈阳质检]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.‎ 解析：(1)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)解法一　由(1)知，曲线C是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝，则|AB|＝2× ＝.‎ 解法二　由可取A，B两点的坐标分别为，.‎ 由两点间的距离公式可得|AB|＝.‎ 解法三　设A，B两点所对应的参数分别为tA，tB，‎ 将代入x2＋y2－4y＝0，并化简整理可得t2＋t－3＝0，‎ 从而因此|AB|＝＝.‎ ‎3．[2018·全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ 解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ ‎4．已知x，y，z是正实数，且x＋2y＋3z＝1.‎ ‎(1)求＋＋的最小值；‎ ‎(2)求证：x2＋y2＋z2≥.‎ 解析：(1)＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当x＝y＝z时，等号成立．所以＋＋的最小值为6＋2＋2＋2.‎ ‎(2)证明：由柯西不等式得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝1，所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．‎ ‎5．[2019·唐山模拟]已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使f(x)<2成立．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝6，求证：＋≥.‎ 解析：(1)∵|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，‎ ‎∴若存在实数x使|x－m|＋|x|<2成立，则|m|<2，解得－21，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，‎ ‎∴α＋β＝4.‎ ‎∴＋＝(α＋β)＝≥＝，当且仅当α＝2β＝时取等号．‎ ‎6．[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．‎ 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；‎ 若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，‎ 所以≥1，故0＜a≤2.‎ 综上，a的取值范围为(0,2]．‎