辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

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辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试 数学(理)试题 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. 已知i是虚数单位,复数z=‎‎1-i‎|i|‎,下列说法正确的是‎(‎  ‎‎)‎ A. z的虚部为‎-i B. z对应的点在第一象限 C. z的实部为‎-1‎ D. z的共复数为‎1+i ‎【答案】D ‎【解析】解:‎∵z=‎1-i‎|i|‎=1-i, ‎∴z的虚部为‎-1‎;z对应的点的坐标为‎(1,-1)‎,在第四象限; z的实部为1;z的共复数为‎1+i. 故选:D. 利用复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. ‎ 2. 若集合A={x|1≤x<2}‎,B={x|x>b}‎,且A∩B=A.‎则实数b的范围是‎(‎  ‎‎)‎ A. b≥2‎ B. ‎10‎“ D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ‎2‎)‎,P(ξ≤3)=0.72‎,则P(ξ≤-1)═0.28‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:A.‎当m=0‎时,若“‎|a|<|b|‎”,则”‎|am|<|bm|‎”不成立,即充分性不成立,故A错误, B.若‎¬(p∨q)‎为真命题,则p∨q为假命题,则p,q都是假命题,故B正确, C.命题“‎∀x∈R,ax+b≤0‎”的否定是“‎∃x∈R,ax+b>0‎“正确,故C正确, D.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ‎2‎)‎,P(ξ≤3)=0.72=P(ξ>-1)‎, 则P(ξ≤-1)═1-P(ξ>-1)=1-0.72=0.28‎,故D正确, 故错误的是A, 故选:A. A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断 B.根据复合命题真假关系进行判断 C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断 D.根据正态分布的性质进行判断 本题主要考查命题的真假判断,涉及充分条件和必要条件的判断,复合命题真假关系,含有量词的命题的否定以及正态分布,综合性较强,难度不大. ‎ 2. 已知cosα=‎‎3‎‎5‎,α∈(-π‎2‎,0)‎,则sin2α‎1-cos2α的值为‎(‎  ‎‎)‎ A. ‎-‎‎4‎‎3‎ B. ‎4‎‎3‎ C. ‎-‎‎3‎‎4‎ D. ‎‎3‎‎4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解:由cosα=‎‎3‎‎5‎,α∈(-π‎2‎,0)‎, 得sinα=-‎1-cos‎2‎α=-‎‎4‎‎5‎, ‎∴sin2α‎1-cos2α=‎2sinαcosα‎2sin‎2‎α=cosαsinα=‎3‎‎5‎‎-‎‎4‎‎5‎=-‎‎3‎‎4‎. 故选:C. 由已知求得sinα 第13页,共14页 ‎,再由倍角公式求解sin2α‎1-cos2α的值. 本题考查三角函数的化简求值,考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用,是基础题. ‎ 1. 将函数f(x)=sin(2x-π‎6‎)‎图象上的所有点向左平移t(t>0)‎个单位长度,到的函数g(x)‎是奇函数‎.‎则下列结论正确的是‎(‎  ‎‎)‎ A. t的最小值是π‎6‎,g(x)‎的对称中心为是‎(kπ‎2‎+π‎12‎,0)‎,k∈Z B. t的最小值为π‎6‎,g(x)‎的对称轴为x=kπ‎2‎+‎π‎3‎,k∈Z C. t的最小值为π‎12‎,g(x)‎的单调增区间为‎(kπ-π‎4‎,kπ+π‎4‎)‎,k∈Z D. t的最小值为π‎12‎,g(x)‎的周期为π ‎【答案】D ‎【解析】解:函数f(x)=sin(2x-π‎6‎)‎图象上的所有点向左平移t(t>0)‎个单位长度,得到 g(x)=sin(2x+2t-π‎6‎)‎, 由于函数g(x)‎是奇函数. 所以:‎2t-π‎6‎=kπ(k∈Z)‎, 解得:t=kπ‎2‎+‎π‎12‎, 由于t>0‎, 所以:当k=0‎时,t的最小值为π‎12‎, 且函数的最小正周期为π. 故选:D. 首先利用三角函数关系式的恒等变变换,把函数的图象进行平移变换,利用奇函数的性质,求出t的最小值,进一步求出函数的最小正周期. 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型. ‎ 2. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为42,则判断框中的条件可以是‎(‎  ‎)‎ ‎ 第13页,共14页 A. n≤6‎? B. n>6‎? C. n≤5‎? D. n>5‎?‎ ‎【答案】D ‎【解析】解:第一次,s=2‎,a=4‎,不满足条件‎.n=2‎, 第二次,s=2+4=6‎,a=6‎,不满足条件‎.n=3‎, 第三次,s=6+6=12‎,a=8‎,不满足条件‎.n=4‎, 第四次,s=12+8=20‎,a=10‎,不满足条件‎.n=5‎, 第五次,s=20+10=30‎,a=12‎,不满足条件‎.n=6‎, 第六次,s=30+12=42‎,a=14‎,满足条件. 输出S=42‎, 即n=6‎满足条件‎.‎,n=5‎不满足条件. 则条件应该为n>5‎?, 故选:D. 根据程序框图进行模拟运算即可得到结论. 本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键. ‎ 1. 设F‎1‎,F‎2‎是双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(s>0,b>0)‎的两个焦点,P是C上一点,若‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=4a,且‎△PF‎1‎F‎2‎的最小内角的正弦值为‎1‎‎3‎,则C的离心率为‎(‎  ‎‎)‎ A. 2 B. 3 C. ‎2‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】C ‎【解析】解:因为F‎1‎、F‎2‎是双曲线的两个焦点,P是双曲线上一点,且满足‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=4a, 不妨设P是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知‎|PF‎1‎|-|PF‎2‎|=2a, 所以‎|F‎1‎F‎2‎|=2c,‎|PF‎1‎|=3a,‎|PF‎2‎|=a, ‎△PF‎1‎F‎2‎的最小内角的正弦值为‎1‎‎3‎,其余弦值为‎2‎‎2‎‎3‎, 由余弦定理,可得‎|PF‎2‎‎|‎‎2‎=|F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎+|PF‎1‎‎|‎‎2‎-2|F‎1‎F‎2‎||PF‎1‎|cos∠PF‎1‎F‎2‎, 即a‎2‎‎=4c‎2‎+9a‎2‎-2×2c×3a×‎‎2‎‎2‎‎3‎, c‎2‎‎-2‎2‎ca+2a‎2‎=0‎, 即c=‎2‎a, 所以e=ca=‎‎2‎. 故选:C. 利用双曲线的定义求出‎|PF‎1‎|‎,‎|F‎1‎F‎2‎|‎,‎‎|PF‎2‎|‎ 第13页,共14页 ‎,然后利用最小内角的正弦值为‎1‎‎3‎,其余弦值为‎2‎‎2‎‎3‎,结合余弦定理,求出双曲线的离心率. 本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力,属于中档题. ‎ 1. 函数f(x)=e‎|x|‎-2|x|-1‎的图象大致为‎(‎  ‎‎)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解:函数f(x)=e‎|x|‎-2|x|-1‎是偶函数,排除选项B, 当x>0‎时,函数f(x)=ex-2x-1‎,可得f'(x)=ex-2‎, 当x∈(0,ln2)‎时,f'(x)<0‎,函数是减函数,当x>ln2‎时,函数是增函数, 排除选项A,D, 故选:C. 判断函数的奇偶性,排除选项,通过函数的导数,判断函数的单调性,然后判断函数的图象即可. 本题考查函数的导数的应用,函数的图象的判断,是中档题. ‎ 2. 关于圆周率,数学发展史上出现过许多银有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验,受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:第一步,请n名学生,每个学生随机写下一个都小于1的正实数对‎(x,y)‎;第二步,统计两数能与1构成纯角三角形边的数对‎(x,y)‎的个数m;第三步,估计π的值‎.‎若n=100‎,m=31‎,则估计π的值‎(‎  ‎‎)‎ A. ‎100‎‎31‎ B. ‎81‎‎25‎ C. ‎78‎‎25‎ D. ‎‎31‎‎25‎ ‎【答案】B ‎【解析】解:由题意,100对都小于1的正实数对‎(x,y)‎满足‎01‎, 则不等式组表示图形的面积为π‎4‎‎-‎‎1‎‎2‎. 则:π‎4‎‎-‎1‎‎2‎≈‎31‎‎100‎.‎解得π=‎‎81‎‎25‎. 故选:B. 两个数能与1构成钝角三角形的数对‎(x,y)‎满足x‎2‎‎+y‎2‎-1<0‎,且‎01‎,从而不等式组表示图形的面积为π‎4‎‎-‎1‎‎2‎.‎由此能估计π的值. 本题考查几何概型,古典概型等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题. ‎ 1. 若两个非零向量a,b满足‎|a+b|=|a|=|b|‎,则向量b与a‎-‎b的夹角是‎(‎  ‎‎)‎ A. π‎6‎ B. π‎3‎ C. ‎2π‎3‎ D. ‎‎5π‎6‎ ‎【答案】D ‎【解析】解:‎∵|a+b|=|a|=|b|‎; ‎∴(a+b‎)‎‎2‎=a‎2‎+2a⋅b+a‎2‎=‎a‎2‎; ‎∴a⋅b=-‎‎1‎‎2‎a‎2‎; ‎∴(a-b‎)‎‎2‎=a‎2‎+a‎2‎+a‎2‎=3‎a‎2‎; ‎∴|a-b|=‎3‎|a|‎,且b‎⋅(a-b)=-‎1‎‎2‎a‎2‎-a‎2‎=-‎‎3‎‎2‎a‎2‎; ‎∴cos=b‎⋅(a-b)‎‎|b||a-b|‎=‎-‎‎3‎‎2‎a‎2‎‎3‎a‎2‎=-‎‎3‎‎2‎; 又‎0≤≤π; ‎∴‎b与a‎-‎b的夹角是:‎5π‎6‎. 故选:D. 根据‎|a+b|=|a|=|b|‎即可得出a‎⋅b=-‎‎1‎‎2‎a‎2‎,从而得出‎|a-b|=‎3‎|a|‎,b‎⋅(a-b)=-‎‎3‎‎2‎a‎2‎,从而可求出cos=-‎‎3‎‎2‎,根据向量夹角的范围即可求出b与a‎-‎b的夹角. 考查向量数量积的运算,向量长度的求法,向量夹角的余弦公式,以及向量夹角的范围. ‎ 2. 斜率为‎4‎‎3‎且过抛物线C:y‎2‎‎=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点,若AF‎=λFB(λ>1)‎,则实数λ为‎(‎  ‎‎)‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】解:抛物线C:y‎2‎‎=4x焦点F(1,0)‎,设A(x‎1‎,y‎1‎)‎,y‎1‎‎>0‎,B(x‎2‎,y‎2‎).‎ 直线方程为:y=‎4‎‎3‎(x-1)‎,联立y=‎4‎‎3‎(x-1)‎y‎2‎‎=4x,化为:y‎2‎‎-3y-4=0‎, 解得y‎1‎‎=4‎,y‎2‎‎=-1‎. ‎∵AF=λFB(λ>1)‎,‎∴4=-λ×(-1)‎,解得λ=4‎. 故选:C. 抛物线 第13页,共14页 C:y‎2‎‎=4x焦点F(1,0)‎,设A(x‎1‎,y‎1‎)‎,y‎1‎‎>0‎,B(x‎2‎,y‎2‎).‎直线方程为:y=‎4‎‎3‎(x-1)‎,与抛物线方程联立解出坐标,再根据AF‎=λFB(λ>1)‎,利用向量坐标相等得出. 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 1. 已知‎(x-1)(ax+1‎‎)‎‎6‎展开式中x‎2‎的系数为0,则正实数a的值是______.‎ ‎【答案】‎‎2‎‎5‎ ‎【解析】解:‎(x-1)(ax+1‎‎)‎‎6‎中,‎(ax+1‎‎)‎‎6‎中x‎2‎的系数为:C‎6‎‎4‎a‎2‎,x项的系数为:C‎6‎‎5‎a, ‎(x-1)(ax+1‎‎)‎‎6‎展开式中含x‎2‎项的系数为0,可得:‎-C‎6‎‎4‎a‎2‎+C‎6‎‎5‎a=0‎,则‎15a=6‎, 所以a=‎‎2‎‎5‎, 故答案为:‎2‎‎5‎. 求出‎(ax+1‎‎)‎‎6‎展开式中含x‎2‎项的系数以及x项的系数,然后利用已知条件,列出方程求得a的值. 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题. ‎ 2. 正方体的棱长为1,则该正方体外接球的半径为______.‎ ‎【答案】‎‎3‎‎2‎ ‎【解析】解:正方体的棱长为1,则该正方体外接球的半径:‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎. 故答案为:‎3‎‎2‎. 利用已知条件,直接求出正方体的外接球的半径即可. 本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系,是基本知识的考查. ‎ 3. ‎△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且‎△ABC的面积为b‎2‎‎3sinB,若‎6cosA⋅cosC=1‎,b=3‎,则‎∠ABC=‎______.‎ ‎【答案】‎π‎3‎ ‎【解析】解:‎∵△ABC的面积为b‎2‎‎3sinB‎=‎1‎‎2‎acsinB,b‎2‎‎=‎3‎‎2‎acsin‎2‎B, ‎∴‎由正弦定理可得:sin‎2‎B=‎3‎‎2‎sinAsinCsin‎2‎B, ‎∴‎可得:sinAsinC=‎‎2‎‎3‎, ‎∵6cosA⋅cosC=1‎,可得:cosAcosC=‎‎1‎‎6‎, ‎∴cos∠ABC=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=‎2‎‎3‎-‎1‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎, ‎∵∠ABC∈(0,π)‎, ‎∴∠ABC=‎π‎3‎. 故答案为:π‎3‎. ‎ 第13页,共14页 由已知利用三角形的面积公式,正弦定理可求sinAsinC=‎‎2‎‎3‎,又由‎6cosA⋅cosC=1‎,可得cosAcosC=‎‎1‎‎6‎,根据三角形内角和定理,诱导公式,两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC的值,结合范围‎∠ABC∈(0,π)‎,即可得解‎∠ABC=‎π‎3‎. 本题主要考查了三角形的面积公式,正弦定理,三角形内角和定理,诱导公式,两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. ‎ 1. 若直线y=x+1‎是曲线f(x)=x+‎1‎x-alnx(a∈R)‎的切线,则a的值是______.‎ ‎【答案】‎‎-1‎ ‎【解析】解:设切点的横坐标为x‎0‎,f'(x)=1-‎1‎x‎2‎-ax=x‎2‎‎-ax-1‎x‎2‎=1⇒x‎0‎=-‎1‎a⇒-a=‎‎1‎x‎0‎, 则有:f(x‎0‎)=x‎0‎+‎1‎x‎0‎-alnx‎0‎=x‎0‎+1⇒lnx‎0‎-x‎0‎+1=0‎, 令h(x)=lnx-x+1⇒h'(x)=‎1‎x-1=0⇒x=1‎, 则h(x)‎在‎(0,1)‎上单调递增,在‎(1,+∞)‎上单调递减, 又因为h(1)=0‎,所以x‎0‎‎=1⇒a=-1‎; 故答案为:‎-1‎. 设切点的横坐标为x‎0‎,求出导函数,利用直线y=x+1‎与曲线y=f(x)‎相切,转化求解切点横坐标以及a的值即可. 本题考查函数的导数的应用,函数的切线方程的求法‎.‎考查转化思想以及计算能力. ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)‎ 2. 已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且Sn‎=‎n‎2‎. ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式; ‎(2)‎设bn‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎an,求数列‎{bn}‎的前n项和Tn.‎ 第13页,共14页 ‎【答案】解:数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且Sn‎=‎n‎2‎. 当n=1‎时,a‎1‎‎=S‎1‎=1‎, 当n≥2‎时,an‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1(‎首项符合通项‎)‎, 故:an‎=2n-1‎. ‎(2)‎由于an‎=2n-1‎, 所以:bn‎=(‎1‎‎2‎‎)‎an=(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎, 则:bn+1‎bn‎=‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n+1‎‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎=‎‎1‎‎4‎, 所以:数列‎{bn}‎是以首项为‎1‎‎2‎,公比为‎1‎‎4‎的等比数列. 故:Tn‎=‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎4‎n)‎‎1-‎‎1‎‎4‎=‎2‎‎3‎(1-‎1‎‎4‎n)‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎首先求出数列的通项公式, ‎(2)‎利用‎(1)‎的通项,进一步求出数列的通项公式,进一步求出数列的和 本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的前n项和公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型. ‎ 1. 从某校高三年中随机抽取100名学生,对其眼视力情况进行统计‎(‎两眼视力不同,取较低者统计‎)‎,得到如图所示的频率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在‎[4.1,4.3)‎的概率为‎1‎‎10‎. ‎(1)‎求a,b的值; ‎(2)‎若高校A专业的报考资格为:任何一眼裸眼视力不低于‎4.9‎,高校B专业的报考资格为:任何一眼裸眼视力不低于‎5.0‎,已知在‎[4.9,5.1)‎中有‎1‎‎3‎的学生裸眼视力不低于‎5.0‎. 现用分层抽样的方法从‎[4.9,5.1)‎和‎[5.1,5.3)‎中抽取4名同学,4人中有资格‎(‎仅考虑视力‎)‎考B专业的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望.‎ 第13页,共14页 ‎【答案】解:‎(1)‎由频率分布直方图的性质得: b×0.2=‎‎1‎‎10‎‎(b+0.75+1.75+a+0.75+0.25)×0.2=1‎, 解得b=0.5‎,a=1‎. ‎(2)‎在‎[4.9,5.1)‎中,共有15人,其中5人不低于‎5.0‎,在这15人中,抽取3人, 在‎[5.1,5.3]‎中共有5人,抽取1人, 随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4, P(ξ=1)=C‎10‎‎3‎C‎5‎‎0‎C‎15‎‎3‎=‎‎24‎‎91‎, P(ξ=2)=C‎10‎‎2‎C‎5‎‎1‎C‎15‎‎3‎=‎‎45‎‎91‎, P(ξ=3)=C‎10‎‎4‎C‎5‎‎2‎C‎15‎‎3‎=‎‎20‎‎91‎, P(ξ=4)=C‎10‎‎0‎C‎5‎‎3‎C‎15‎‎3‎=‎‎2‎‎91‎, ‎∴ξ的分布列为:‎ ‎ ‎ξ ‎1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎‎24‎‎91‎ ‎ ‎‎45‎‎91‎ ‎ ‎‎20‎‎91‎ ‎ ‎‎2‎‎91‎ E(ξ)=1×‎24‎‎91‎+2×‎45‎‎91‎+3×‎20‎‎91‎+4×‎2‎‎91‎=2‎‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎由频率分布直方图的性质列出方程组,能求出a,b. ‎(2)‎在‎[4.9,5.1)‎中,共有15人,其中5人不低于‎5.0‎,在这15人中,抽取3人,在‎[5.1,5.3]‎中共有5人,抽取1人,随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和E(ξ)‎. 本题考查频率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. ‎ 1. 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎,F‎1‎,F‎2‎分别为椭圆C的左、右焦点,点P(‎2‎‎6‎‎3‎,‎3‎‎3‎)‎满足PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=0‎. ‎(1)‎求椭圆C的方程; ‎(2)‎直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M,N两点,设O为坐标原点,直线OM,直线l,直线ON的斜分别为k‎1‎,k,k‎2‎,且k‎1‎,k,k‎2‎成等比数列,求k‎1‎‎⋅‎k‎2‎的值.‎ 第13页,共14页 ‎【答案】解:‎(1)‎依题意F‎1‎‎(-c,0)‎, ‎∴PF‎1‎⋅PF‎2‎=-c‎2‎+3=0‎,即c=‎‎3‎ ‎∵e=ca=‎‎3‎‎2‎, ‎∴a=2‎, ‎∴b‎2‎=a‎2‎-c‎2‎=1‎, ‎∴‎椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎, ‎(2)‎设直线l的方程为y=k(x-‎3‎)‎,M(x‎1‎,y‎1‎)‎,N(x‎2‎,y‎2‎)‎, 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=k(x-‎3‎)‎,得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+8‎3‎k‎2‎x+4(3k‎2‎-1)=0‎, 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎8‎‎3‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎12k‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎, ‎∵‎k‎1‎,k,k‎2‎成等比数列, ‎∴k‎1‎⋅k‎2‎=k‎2‎=y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=‎k‎2‎‎(x‎1‎-‎3‎)(x‎2‎-‎3‎)‎x‎1‎x‎2‎, 则‎3‎‎(x‎1‎+x‎2‎)=3‎, 即‎8‎‎3‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎‎=‎‎3‎, 解得k‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎ 故k‎1‎‎⋅k‎2‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎依题意F‎1‎‎(-c,0)‎,由PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=-c‎2‎+3=0‎,即c=‎‎3‎,根据离心率求出a,即可求出b,可得椭圆方程 ‎(2)‎设直线l的方程为y=k(x-‎3‎)‎,M(x‎1‎,y‎1‎)‎,N(x‎2‎,y‎2‎)‎,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理,转化求解即可. 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了椭圆的简单性质,直线的斜率,等比数列的性质,属于中档题. ‎ 1. 已知在四棱P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2‎,AB=1‎,PA⊥‎平面ABCD,F是线段BC的中点. ‎(1)‎求证:PF⊥FD; ‎(2)‎若直线PB与平面ABCD所成的角为‎45‎‎∘‎,求二面角A-PD-F的余弦值; ‎(3)‎画出平面PAB与平面PDF的交线l.(‎不写画法‎)‎ ‎ ‎【答案】‎(1)‎证明:‎∵PA⊥‎平面ABCD,且四边形ABCD为矩形, 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设‎|PA|=h, ‎∴P(0,‎0,h)‎,B(1,‎0,‎0)‎,D(0,‎2,‎0)‎,C(1,‎2,‎0)‎,F(1,‎1,‎0)‎,E(‎1‎‎2‎,‎0,‎0)‎, ‎∴PF=(1,1,-h)‎,FD‎=(-1,1,0)‎, ‎∴PF⋅FD=0‎,则PF⊥FD; ‎(2)‎解:‎∵PA⊥‎底面ABCD,‎∴PB在底面ABCD的投影为BA, ‎∴∠PBA为PB与平面ABCD所成角,即‎∠PBA=‎‎45‎‎∘‎, ‎∴△PBA为等腰直角三角形,则‎|AP|=|AB|=1‎,即h=1‎. ‎∴‎平面PFD的法向量为n‎=(1,1,2)‎,平面APD为yOz平面, ‎∴‎平面APD的法向量为m‎=(0,1,0)‎, 设二面角A-PD-F的平面角为θ,可知θ为锐角, ‎∴cosθ=|cos|=‎1‎‎6‎=‎‎6‎‎6‎; ‎(3)‎解:如图,延长DF,AB交于G,连接PG, 则PG即为所求直线l.‎ ‎【解析】‎(1)‎以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设‎|PA|=h,分别求出P,B,D,C,F,E的坐标,然后证明PF‎⋅FD=0‎,则PF⊥FD; ‎(2)‎由PA⊥‎底面ABCD,可得PB在底面ABCD的投影为BA,得到‎∠PBA为PB与平面ABCD所成角,由此求得平面PFD的法向量为n‎=(1,1,2)‎,平面APD为yOz平面,可得平面APD的法向量为 第13页,共14页 m‎=(0,1,0)‎‎,由两法向量所成角的余弦值可得而面角A-PD-F的余弦值; ‎(3)‎延长DF,AB交于G,连接PG,则PG即为所求直线l. 本题考查空间中的直线与直线,直线与平面的位置关系,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题. ‎ 1. 已知函数f(x)=lnx-ax+‎‎1‎x. ‎(1)‎若1是函数f(x)‎的一个极值点,求实数a的值; ‎(2)‎讨论函数f(x)‎的单调性; ‎(3)‎在‎(1)‎的条件下证明:f(x)≤xex-x+‎1‎x-1‎.‎ 第13页,共14页 ‎【答案】解:‎(1)f'(x)=‎1‎x-a-‎‎1‎x‎2‎,‎(x>0)‎, f'(1)=1-a-1=0‎,故a=0‎, ‎(2)f'(x)=‎‎-ax‎2‎+x-1‎x‎2‎, 方程‎-ax‎2‎+x-1=0‎的判别式‎△=1-4a, ‎①‎当a≥‎‎1‎‎4‎时,‎△≤0‎,f'(x)≤0‎, f(x)‎在‎(0,+∞)‎递减, ‎②‎当‎00‎,x‎2‎‎=‎1+‎‎1-4a‎2a>0‎, 故f(x)‎在‎(0,x‎1‎)‎递减,在‎(x‎1‎,x‎2‎)‎递增,在‎(x‎2‎,+∞)‎递减, ‎③‎当a=0‎时,f'(x)=‎x-1‎x‎2‎, f(x)‎在‎(0,1)‎递减,在‎(1,+∞)‎递增, ‎④‎当a<0‎时, 方程‎-ax‎2‎+x-1=0‎的根为x=‎‎1±‎‎1-4a‎2a, 且x‎1‎‎=‎1-‎‎1-4a‎2a>0‎,x‎2‎‎=‎1+‎‎1-4a‎2a<0‎, 故f(x)‎在‎(0,x‎1‎)‎递减,在‎(x‎1‎,+∞)‎递增; ‎(3)‎在‎(1)‎的条件下f(x)≤xex-x+‎1‎x-1‎, xex-lnx-x-1≥0‎, g'(x)=(x+1)ex-‎1‎x-1‎, 令h(x)=(x+1)ex-‎1‎x-1‎, h'(x)=(x+2)ex+‎1‎x‎2‎>0‎,‎(x>0)‎, 故h(x)‎在‎(0,+∞)‎递增, 又h(‎1‎‎2‎)<0‎,h(e)>0‎, 故‎∃x‎0‎∈(‎1‎‎2‎,e)‎,使得h(x‎0‎)=0‎,即x‎0‎ex‎0‎‎=1‎, g(x)‎在‎(0,x‎0‎)‎递减,在‎(x‎0‎,+∞)‎递增, 故g(x‎)‎min=g(x‎0‎)=x‎0‎ex‎0‎-ln‎1‎ex‎0‎-x‎0‎-1=0‎, 故f(x))≤xex-x+‎1‎x-1‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎求出函数的导数,计算f'(1)=0‎,得到关于a的方程,解出即可; ‎(2)‎求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可; ‎(3)‎求出函数的导数,令h(x)=(x+1)ex-‎1‎x-1‎,根据函数的单调性证明即可. 本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题. ‎ 1. 在平面直角坐标系中,直线l过原点且倾斜角为π‎4‎;曲线C‎1‎的参数方程x=‎3‎‎3‎cosαy=sinα‎(α为参数‎)‎;曲线C‎2‎的参数方程为x=3+‎13‎cosαy=2+‎13‎sinα‎(α为参数‎)‎. ‎(1)‎求直线1的极坐标方程,曲线C‎1‎和曲线C‎2‎的普通方程; ‎(2)‎若直线1与曲线C‎1‎和曲线C‎2‎在第一象限的交点分别为M、N,求M、N之间的距离.‎ ‎【答案】解:‎(1)‎直线l的极坐标方程为θ=‎π‎4‎,‎(ρ∈R)‎; 曲线C‎1‎ 的普通方程为x‎2‎‎1‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎; 曲线C‎2‎的普通方程为‎(x-3‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=13‎. ‎(2)‎曲线C‎1‎的极坐标方程为ρ‎2‎‎=‎‎1‎‎1+2cos‎2‎θ, 曲线C‎2‎的极坐标方程为:ρ=6cosθ+4sinθ, ‎∴|OM|=6cosπ‎4‎+4sinπ‎4‎=5‎‎2‎,‎|ON|=‎1‎‎1+2×(‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎, 可得‎|MN|=|ON|-|OM|=5‎2‎-‎2‎‎2‎=‎‎9‎‎2‎‎2‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎直线l的极坐标方程为θ=‎π‎4‎,‎(ρ∈R)‎;利用sin‎2‎α+cos‎2‎α=1‎可得C‎1‎和C‎2‎的普通方程; ‎(2)‎将C‎1‎,C‎2‎化成极坐标方程后将θ=‎π‎4‎代入可求得‎|OM|‎,‎|ON|‎,再相加. 本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题. ‎ 2. 设函数f=|x+1|-|2x-4|‎. ‎(1)‎求不等式f(x)>2‎的解集; ‎(2)‎若关于x的不等式f(x)>t‎2‎+2t解集非空,求实数t的取值范围.‎ 第13页,共14页 ‎【答案】解:‎(1)|x+1|-|2x-4|>2‎, 等价为x-5>2‎x<-1‎或‎-1≤x≤2‎‎3x-3>2‎或‎-x+5>2‎x>2‎, 可得x∈⌀‎或‎5‎‎3‎‎t‎2‎+2t解集非空, 可得t‎2‎‎+2t
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