【数学】2020届一轮复习人教B版 直线与圆 课时作业
一、选择题
1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.
2．已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )
A．(3，) B．(2，)
C．(1，) D.
解析：选C 直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．
4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为( )
A．(－3，3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2)
D．[－3，3 ]
解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d
0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.
法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.
二、填空题
7．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________.
解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝± .
答案：±
8．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．
解析：以OC为直径的圆的方程为2＋(y－2)2＝2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－＝5－，化简得3x＋4y－5＝0，所以C到直线AB的距离d＝＝4.
答案：4
9．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________.
解析：直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为M(0，2)，半径为2.如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±.
答案：±
三、解答题
10．已知圆(x－1)2＋y2＝25，直线ax－y＋5＝0与圆相交于不同的两点A，B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(－2,4)，求实数a的值．
解：(1)把直线ax－y＋5＝0代入圆的方程，
消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，
由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，
故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，
即12a2－5a>0，解得a>或a<0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪.
(2)由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB的斜率为a，
则直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB，
故圆心M(1,0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0，
解得a＝，由于∈，
所以a＝.
11．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为R.
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以R＝＝2.
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
由于|MN|＝2，于是2＋()2＝20，解得k＝，
此时，直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
所以所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
12．在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l与圆O相切于第一象限，且直线l与坐标轴交于点D，E，当线段DE的长度最小时，求直线l的方程．
解：(1)因为点O到直线x－y＋1＝0的距离为，
所以圆O的半径为 ＝，
故圆O的方程为x2＋y2＝2.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，
由直线l与圆O相切，得＝，即＋＝，则|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
B组——大题专攻补短练
1．已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，
由题意得 ＝·，
整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．
(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．
设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.
设直线CD：y＝－x＋t，
由解得点P，
由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝ ，
而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3，
|EP|2＝2，
所以2＋2＝3－，整理得t2－3t＝0，
解得t＝0或t＝3，
所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，
所以解方程组得圆心C(3,2)，
又因为圆的半径为1，
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，
设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
所以＝1，解得k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，
所以设圆心C为(a,2a－4)，
又因为圆C的半径为1，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有
＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，
所以2－1≤ ≤2＋1，
解得0≤a≤，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
4．(2018·广州高中综合测试)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，
所以 ＝·.
整理得，x2＋y2＝2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.
由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)
由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.①
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②
由k1·k2＝·＝·＝3，
得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，
即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③
将②代入③，整理得b2＝3－k2.④
由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤
由①和④，解得k<－或k>.⑥
要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，
所以0不是方程(*)的根，
所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范围为
[－，－1)∪∪∪(1， ]．
