丰台区2016届高三一模数学（理）试题及答案

丰台区2016届高三一模数学（理）试题及答案

丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习（一） 2016.3 高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共 40 分） 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1.已知全集 ，集合 ， ，那么集 合 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 2．在下列函数中，是偶函数,且在 内单调递增的是 （A） （B） （C） （D） 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调 查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估 计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度 超过 80km/h 的概率 （A） 75，0.25 （B）80,0.35 （C）77.5,0.25 （D）77.5,0.35 4. 若数列 满足 ，且 与 的等差中项是 5，则 等于 （A） （B） （C） （D） 5. 已知直线m,n和平面 ，若 ⊥ ，则“ ⊂ ”是“ ⊥ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6. 有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A） 72 （B）54 （C） 48 （D） 8 U = R { }| 2 3A x x x= ≤ − ≥或 { }| 1 4B x x x= < − >或 ( )UC A B { }| 2 4x x− <≤ { }| 2 3x x− < < { }| 2 1x x− < < − { }| 2 1 3 4x x x或− < < − < < 0 +∞（ ， ） | |2 xy = 2 1y x = | lg |y x= cosy x= { }na * 1 2 ( 0, )Nn n na a a n+ = ¹ Î 2a 4a 1 2 na a a+ + + 2n 2 1n - 12n- 12 1n- - α n α m α n m 频率 组距 车速(km/h) 0.06 0.05 0.04 908580757065O 60 0.01 0.02 7.如图，已知三棱锥 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面 PAB ⊥底面 ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是 （A） ,2,2 （B）4,2, （C） , ，2 （D） ,2, 8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴 来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政 府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 P1 低 于均衡价格 P0 时，需求量大于供应量，价格会上升为 P2；当产品价格 P2 高 于均衡价格 P0 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去， 产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是 （A） （B） （C） （D） P ABC- 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 俯视图 侧视图主视图 z y y x A B P C P2 P1 P0 数量 单价 需求曲线供应曲线 O P2 P1 P0 数量 单价 需求曲线 供应曲线 O 第二部分 （非选择题 共 110 分） 一、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9.已知双曲线 的一条渐近线为 ，那么双曲线的离 心率为_________. 10. 如图，BC 为⊙O 的直径，且 BC=6，延长 CB 与⊙O 在点 D 处的切线交于点 A，若 AD=4， 则 AB=________. 11. 在 中 角 ， ， 的 对 边 分 别 是 ， ， ， 若 ，则 ________． 12. 在 梯 形 ABCD 中 ， , ， E 为 BC 中 点 ， 若 ,则 x+y=_______. 13. 已知 满足 （k 为常数），若 最大值为 8，则 =________. 14.已知函数 若 ，则 的取值范围是______. 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= ABC∆ A B C a b c 3 sin cos cosb A c A a C= + sin A = //AB CD 2AB CD= AE xAB yAD  = + ,x y 0, , . x y x x y k ≥  ≤  + ≤ 2z x y= + k 1( 1), ( ) ( 1). x x f x x x + ≤=  > ( ) ( 1)f x f x> + x C B A D O 二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共 13 分） 已知函数 . (Ⅰ)求 的最小正周期； (Ⅱ)当 时，求函数 的单调递减区间. 16.（本小题共 13 分） 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对 这些人抽血，并将血样分成 4 组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有 1 人感染了病毒. ①求恰好化验 2 次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X，求 E（X）. (Ⅱ)如果这些人中有 2 人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y)，请指出（Ⅰ）②中 E（X）与 E(Y)的大小关系.（只写结 论,不需说明理由） 17.（本小题共 13 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且 BAD=60°，对角线 AC 与 BD 相交于 O；OF⊥平面 ABCD， BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证： EF//BC； (Ⅱ)求直线 DE 与平面 BCFE 所成角的正弦值. 18.（本小题共 14 分） 已知函数 . （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求证： ； （Ⅲ）若 在区间 上恒成立，求 的最小值. ( =cos (cos 3sin )f x x x x） + ( )f x π[0, ]2x ∈ (f x） ∠ ( ) lnf x x x= ( )y f x= (1, (1))f ( ) 1f x x≥ − 2 2( ) ( 0)f x ax aa ≥ + ≠ (0, )+∞ a O CD A B E F 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆 G： 的离心率为 ，短半轴长为 1. （Ⅰ）求椭圆 G 的方程； （Ⅱ）设椭圆 G 的短轴端点分别为 ，点 是椭圆 G 上异于点 的一动 点，直线 分别与直线 于 两点，以线段 MN 为直径作圆 . ① 当点 在 轴左侧时，求圆 半径的最小值； ②问：是否存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切？若存在，指出该 定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 20.（本小题共 13 分） 已知数列 是无穷数列， （ 是正整数）， . （Ⅰ）若 ，写出 的值； （Ⅱ）已知数列 中 ，求证：数列 中有无穷项为 1； （Ⅲ）已知数列 中任何一项都不等于 1，记 为 较大者）.求证：数列 是单调递减数列. )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 2 ,A B P ,A B ,PA PB 4x = ,M N C P y C x C { }na 1 2= ,a a a b= ,a b 1 1 1 1 1 ( 1), = ( 1) n n n n n n n n n a a a aa a a a a − − + − −  >  ≤ 1 22, =1a a= 4 5,a a { }na *1 )ka k N（= ∈ { }na { }na 2 1 2=max{ , }( 1,2,3, ;n n nb a a n − = max{ , }m n ,m n { }nb 丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习（一） 数 学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B A C A D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程． 解：(Ⅰ) 的最小正周期为 . ----------------------------------7 分 (Ⅱ)当 时，函数 单调递减, 即 的递减区间为： , 由 = , 所以 的递减区间为： . ------------------------------------13 分 16. 解：（Ⅰ）①恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件 A. 2 2 1 3 5 4 16 3 (0,1] 2( = 3sin cos cosf x x x x） + 3 1 cos2( = sin22 2 xf x x） ++ 3 1 cos2( =( sin2 )2 2 xf x x） ++ 1( =sin(2 )6 2f x x） π+ + 2 2 | | 2T π π πω= = = ( )f x π 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ (f x） ( )f x 2[ , ],6 3k k k Z π ππ π+ + ∈ 2[0, ] [ , ]2 6 3k k π π ππ π+ + [ , ]6 2 π π+ k Z∈ (f x） [ , ]6 2 π π 恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为 .-----4 分 ②确定出含有病毒血样组的次数为 X,则 X 的可能取值为 1，2，3. , ， . 则 X 的分布列为： 所以：E（X）= --------------------------------------------11 分 (Ⅱ) ------------------------------------------------------------------13 分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形 为菱形 所以 ∥ ，且 面 ， 面 所以 ∥面 且面 面 所以 ∥ . ----------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)因为 面 所以 ， 又因为 以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间 直角坐标系，取 的中点 ，连 . 易证 EM⊥平面 ABCD. 又因为 ，得出以下各点坐标： 向量 ，向量 ，向量 设面 的法向量为： 1( ) 4P A = 1 4 1( 1) 4P X = = 1( 2) 4P X = = 1( 3) 2P X = = X 1 2 3 P 1 4 1 4 1 2 1 1 1 91 2 34 4 2 4 × + × + × = ( ) ( )E X E Y< ABCD AD BC BC ⊄ ADEF AD ⊂ ADEF BC ADEF ADEF  BCEF EF= EF BC FO ⊥ ABCD FO AO⊥ FO OB⊥ OB AO⊥ O OA OB OF x y z CD M ,OM EM 2 2BC CE DE EF= = = = 3 1(0,1,0), ( 3,0,0), (0, 1,0), (0,0, 3), ( , , 3)2 2B C D F E− − − − 3 1( , , 3)2 2DE = − ( 3, 1,0)BC = − − (0, 1, 3)BF = − BCFE 0 0 0 0( , , )n x y z = 得到 令 时 设 与 所成角为 ，直线 与面 所成角为 . = = = = 直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 .----------------------------------------13 分 18.设函数 . （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求证： ； （Ⅲ）若 在区间 上恒成立，求 的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为 因为 ，切点为 . 切线方程为 ，化简得： .----------------------------4 分 （Ⅱ）要证： 只需证明： 在 恒成立， 当 时 ， 在 上单调递减； 当 时 ， 在 上单调递增； 当 时 0 0 0, 0 n BC n BF    ⋅ = ⋅ = 0 0 0 0 3 0 3 0 x y y z − − = − + = 0 3y = 0 ( 1, 3,1)n = − DF 0n ϕ DE BCEF θ sinθ |cos |ϕ 0 0 | | | | | | n DE n DE     ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 3 1|( ) ( 1) 3 3 1|2 2 3 1( 1) ( 3) (1) ( ) ( ) ( 3)2 2 − × − + × + × −− + + ⋅ + + 15 5 15 5 ( ) lnf x x x= ( )y f x= (1, (1))f ( ) 1f x x≥ − 2 2( ) ( 0)f x ax aa ≥ + ≠ (0, )+∞ a k ( ) ln 1f x x′ = + (1) ln1 1 1k f ′= = + = (1) 1 ln1 0f = ⋅ = (1,0) 0 1 ( 1)y x− = ⋅ − 1y x= − ( ) 1f x x≥ − ( ) ln 1 0g x x x x= − + ≥ (0, )+∞ ( ) ln 1 1 lng x x x′ = + − = (0,1)x ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1) (1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞ 1x = min( ) (1) 1 ln1 1 1 0g x g= = ⋅ − + = 在 恒成立 所 以 .--------------------------------------------------------------------------10分 （Ⅲ）要使： 在区间在 恒成立， 等价于： 在 恒成立， 等价于： 在 恒成立 因为 = = ①当 时， ， 不满足题意 ②当 时，令 ，则 或 （舍）. 所以 时 ， 在 上单调递减； 时 ， 在 上单调递增； 当 时 当 时，满足题意 所以 ，得到 的最小值为 -----------------------------------14分 19. 解：（Ⅰ）因为 的离心率为 ，短半轴长为 1. 所以 得到 所 以 椭 圆 的 方 程 为 .-----------------------------------------------------------3 分 （Ⅱ）① 设 ， 所以直线 的方程为： ( ) ln 1 0g x x x x= − + ≥ (0, )+∞ ( ) 1f x x≥ − 2 2lnx x ax a ≥ + (0, )+∞ 2ln x ax ax ≥ + (0, )+∞ 2( ) ln 0h x x ax ax = − − ≥ (0, )+∞ 2 1 2( )h x ax ax ′ = − + 2 2 2 2a x ax ax − + + 2 2 1 2( )( )a x xa a ax − + − 0a > 2(1) ln1 0h a a = − − < 0a > 0a < '( ) 0h x = 1x a = − 2x a = 1(0, )x a ∈ − ( ) 0h x′ < ( )h x 1(0, )a − 1( , )x a ∈ − +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 1( , )a − +∞ 1x a = − min 1 1( ) ( ) ln( ) 1 2h x h a a = − = − + + 1ln( ) 3 0a − + ≥ 3 0e a− ≤ < a 3e− )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 2 2 2 2 1 3 ,2 b c a a b c =  =   = + 2 1 , 3 a b c  =  =  = 2 2 14 x y+ = 0 0( , )P x y (0,1), (0, 1)A B − PA 0 0 11 yy xx −− = 令 ， 得 到 同 理 得 到 ， 得 到 所以，圆 半径 当 时，圆 半径的最小值为 3. --------------------------------------9 分 ② 当 在左端点时，圆 的方程为： 当 在右端点时，设 ， 所以直线 的方程为： 令 ，得到 同理得到 ， 圆 的方程为： ， 易知与定圆 相切, 半径 由前一问知圆 C 的半径 因为 ， ，圆 的圆心坐标为 圆心距 = = 当 时， ，此时定圆与圆 内切； 当 时， ，此时定圆与圆 外切； 存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切，该定圆的圆心为 和半径 . 4x = 0 0 4( 1) 1M yy x −= + 0 0 4( 1) 1N yy x += − 0 8| | | 2 |MN x = − C 0 0 4|1 |( 2 0)r xx = − − ≤ < 0 2x = − C P C 2 2( 4) 9x y- + = P (2,0)P (0,1), (0, 1)A B − PA 11 2y x −− = 4x = 1My = − 1Ny = C 2 2( 4) 1x y- + = 2 2( 2) 1x y- + = 1R = 0 0 0 0 0 41 , 2 0 4|1 | 4 1,0 2 xxr x xx  − − ≤ <= − =   − < ≤ 0 0 4( 1) 1M yy x −= + 0 0 4( 1) 1N yy x += − C 0 0 4(4, )y x 2 20 0 4(4 2) ( )yd x = − + 2 0 2 0 16(1 )44 x x − + 0 0 0 0 0 4 , 2 0 4 4| | ,0 2 xx x xx − − ≤ <=   < ≤ 02 0x- £ < 0 0 4 4(1 ) 1d r R x x= - = - - =- C 00 2x< £ 0 0 4 4( 1) 1d r R x x= + = - + = C x C (2,0) 1R = (注: 存在另一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切，该定圆的圆心为 和 半 径 . 得 分 相 同 ) ------------------------------------------------------------------------------------14 分 20..解：（Ⅰ） ；-----------------------------------------------------2 分 （Ⅱ） ，假设 ①当 时，依题意有 ②当 时，依题意有 ， ③ 当 时 ， 依 题 意 有 ， ， ， ， 由以上过程可知：若 ，在无穷数列 中，第 项后总存在数值为 1 的 项 ， 以 此 类 推 ， 数 列 中 有 无 穷 项 为 1. --------------------------------------------------6 分 （Ⅲ）证明：由条件可知 ， 因为 中任何一项不等于 1，所以 . ①若 ，则 . 因为 ，所以 . 若 ，则 ，于是 ； 若 ，则 ，于是 ； 若 ，则 ，于题意不符； 所以 ，即 . ②若 ，则 . 因为 ，所以 ； x C (6,0) 1R = 4 52, 1a a= = *1 )ka k N（= ∈ 1ka m+ = 1m = 2 3 1k ka a+ += = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = 1m > 2ka m+ = 3 1ka + = 1m < 2 1 ka m+ = 3 2 1 ka m+ = 4 1 ka m+ = 5 1 ka m+ = 6 1ka + = *1 )ka k N（= ∈ { }na k { }na 1( 1,2,3, )na n> =  { }na +1 1,2,3, )n na a n≠ = （ 2 1 2n na a− > 2 1n nb a −= 2 1 2 +1 2 = n n n aa a − 2 1 2 +1n na a− > 2 1 2 2 1n n a a − > 2 1 2 +2 2 12 2 n n n n aa aa − −= < 2 -1 2 +2n na a> 2 1 2 2 1n n a a − < 2 2 2 2 2 +2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n a a aa a a aa a a a − − − − = = = ⋅ < < 2 -1 2 +2n na a> 2 1 2 2 1n n a a − = 2 +2 1na = 2 1 2 +1 2 +2max{ , }n n na a a− > 1n nb b +> 2 1 2n na a− < 2n nb a= 2 2 +1 2 -1 = n n n aa a 2 2 +1n na a> 因为 ，所以 ； 所以 ，即 . 综上所述，对于一切正整数 ，总有 ，所以数列 是单调递减数列. -------------------------------------------------------------------------------13 分 2 2 +2 2 +1 = n n n aa a 2 2 +2n na a> 2 2 +1 2 +2max{ , }n n na a a> 1n nb b +> n 1n nb b +> { }nb