【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：第六章测评

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：第六章测评

第六章测评 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=(　　)‎ A.(-2,-1) B.(2,1)‎ C.(3,-1) D.(-3,1)‎ 解析∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.‎ ‎∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).‎ 答案A ‎2.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.135° D.45°或135°‎ 解析由正弦定理,得,则sin B=.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.‎ 答案B ‎3.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ 解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.‎ 答案B ‎4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=absin C=.‎ 答案C ‎5.已知a·b=-12,|a|=4,a与b的夹角为135°,则|b|=(　　)‎ A.12 B.3 C.6 D.3‎ 解析-12=|a||b|cos 135°,且|a|=4,故|b|=6.‎ 答案C ‎6.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析如图,=-=-)=)=.‎ 答案A ‎7.‎ ‎(2020山东潍坊模拟)如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值是(　　)‎ A.2 B.0‎ C.-1 D.-2‎ 解析由平行四边形法则得=2,‎ 故()·=2,||=2-||,且反向,设||=t(0≤t≤2),‎ 则()·=2=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴当t=1时,()·取得最小值,为-2,故选D.‎ 答案D ‎8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=,C=,则△ABC的面积是(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析∵sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,∴2sin Bcos A=6sin Acos A.当cos A=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cos A≠0时,由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cos C==cos,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absin C=.综上可得△ABC的面积为,故选D.‎ 答案D 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)‎ ‎9.(2020江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是(　　)‎ A.(4,-8) B.(8,4)‎ C.(-4,-8) D.(-4,8)‎ 解析当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8).‎ 答案AD ‎10.(2019山东济南高一期末)对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是(　　)‎ A.若a∥b且b∥c,则a∥c B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c D.(a·b)·c=a·(b·c)‎ 解析对于A,b=0,命题不成立;对于B,显然成立;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=,b=,c=,则(a·b)·c与a·(b·c)分别是与c,a共线的向量,显然(a·b)·c=a·(b·c)不成立.‎ 答案ACD ‎11.(2019福建厦门外国语学校高一月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是(　　)‎ A.若,则△ABC一定是等边三角形 B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 解析由,‎ 利用正弦定理可得,‎ 即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,‎ 所以△ABC是等边三角形,A正确;‎ 由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,‎ 即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,‎ ‎△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;‎ 由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,‎ 即sin (B+C)=sin B,即sin A=sin B,‎ 则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;‎ 由余弦定理可得cos C=>0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确.‎ 答案AC ‎12.(2019山东烟台高一期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)‎ A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6‎ B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆半径为 解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设(x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知,c边最大,所以三角形中角C最大,‎ 又cos C=>0,所以角C为锐角,所以B错误;‎ 由上可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cos A=,‎ 所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C,‎ 由三角形中角C最大且角C为锐角可得,2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sin C=,所以2R=,解得R=,所以D正确.‎ 答案ACD 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2019全国Ⅲ高考)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos=.‎ 解析∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,‎ ‎∴|c|=3.又a·c=2|a|2-a·b=2,‎ ‎∴cos=.‎ 答案 ‎14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b=　　　　　,C=　　　　　. ‎ 解析在△ABC中,因为a=4,c=2,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+22-2×4×2cos 60°=12,所以b=2,又由正弦定理,得sin C=,又由c0,‎ 故cos B=,所以B=45°.‎ ‎20.(12分)(2019山东高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B=bcos A.‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)若△ABC的面积为2,a=5,求△ABC的周长.‎ 解(1)由题意,在△ABC中,因为asin B=bcos A,‎ 所以由正弦定理,可得sin Asin B=sin Bcos A,‎ 又因为B∈(0,π),可得sin B≠0,‎ 所以sin A=cos A,即tan A=.‎ 因为A∈(0,π),所以A=.‎ ‎(2)由(1)可知A=,且a=5,‎ 又由△ABC的面积2bcsin A=bc,‎ 解得bc=8,‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,‎ 整理得(b+c)2=49,‎ 解得b+c=7,‎ 所以△ABC的周长a+b+c=5+7=12.‎ ‎21.(12分)(2020江苏扬州中学高三检测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=cos 2A,cos2,且m·n=1.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若b+c=2a=2,求sin的值.‎ 解(1)由题意得,m·n=cos 2A+2cos2,‎ 由二倍角的余弦公式可得,cos 2A=2cos2A-1,2cos2=cos A+1,‎ 又因为m·n=1,所以2cos2A+cos A=1,‎ 解得cos A=或cos A=-1,‎ ‎∵0

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