2020版高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式测评 新人教A版选修4-5
第一讲 不等式和绝对值不等式
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若<0,给出下列不等式:①a+b
|b|;③a2.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析由已知得b0,从而>2,因此①④正确.
答案B
2.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A⊆B,则实数a,b必满足( )
A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3
C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3
解析由题意可得集合A={x|a-1b+2},又A⊆B,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b≤-3或a-b≥3,因此选D.
答案D
3.对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( )
A.[0,+∞) B.(0,2)
C.[0,2) D.(0,+∞)
解析如图,|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P在点A右侧时|PB|-|PC|>8,故x≥0.
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答案A
4.下列函数中,最小值为2的是( )
A.y=x+
B.y=x2-2x+4
C.y=x2+
D.y=
解析在函数y=x2+中,x2>0,所以y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.
答案C
5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于 ( )
A.8 B.2 C.-4 D.-2
解析由已知得-41,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|0),则a,b之间的关系是( )
A.b≥ B.b<
C.a≤ D.a>
解析由|f(x)-1|0),
由a2 016=a2 015+2a2 014,得q2=q+2,
解得q=2或q=-1(舍去).
又因为aman=16,即·2m+n-2=16,所以m+n=6.
因此(m+n)
=,
当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B.
答案B
12.设0-2,且x≠0,则的取值范围是 .
解析因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时,有>0;当-21时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证f(ab)>|a|f.
(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|
=
当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;
当-3≤x≤1时,不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.
所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}.
(2)证明因为f(ab)=|ab-1|,
|a|f=|a|=|a-b|,
又|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2
=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)
=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|.
故所证不等式成立.
21.导学号26394018(本小题满分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.
(1)求的最小值;
(2)求证3≤x2+y2+z2<9.
(1)解因为x+y+z≥3>0,>0,
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所以(x+y+z)≥9,即≥3,当且仅当x=y=z=1时,取最小值3.
(2)证明因为x2+y2+z2=
≥
==3(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).
又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,
所以3≤x2+y2+z2<9(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).
22. (本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.
(1)求f(x)>x的解集;
(2)若a+b=1,对∀a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.
解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,
当x<-1时,由f(x)>x得1-2x+x+1>x,解得x<-1;
当-1≤x≤时,由f(x)>x得1-2x-x-1>x,解得-1≤x<0;
当x>时,由f(x)>x得2x-1-(x+1)>x,即-2>0,无解.
综上,不等式f(x)>x的解集为{x|x<0}.
(2)∵f(x)=如图.
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又a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
∴(a+b)
=5+
≥5+2=9,
当且仅当时,等号成立,
即a=,b=.
∵≥|2x-1|-|x+1|恒成立,
∴|2x-1|-|x+1|≤9,
结合图象知-7≤x≤11,
故x的取值范围是-7≤x≤11.
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