2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（　　）‎ A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣4或 x＞2} D．{x|x＜﹣4或 x＞﹣2}‎ ‎2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c ‎4．（5分）在等比数列{an}中，an＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则 a2=（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．36‎ ‎5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（　　）‎ A．25 B．24 C．22 D．16‎ ‎6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（　　）n mile．‎ A．8 B．4 C． D．‎ ‎7．（5分）设等差数列{an}的公差d≠0，且a2=﹣d，若ak是a6与ak+6等比中项，则k=（　　）‎ A．5 B．6 C．9 D．36‎ ‎8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（　　）‎ A．15 B．16 C．17 D．18‎ ‎11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知数列{an}中，a1=2，若an+1﹣an=an2，设Tm=，若Tm＜2018，则正整数m的最大值为（　　）‎ A．2019 B．2018 C．2017 D．2016‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞‎ ‎13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是　 　．‎ ‎14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为　 　．‎ ‎15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}中，a1=l，Sn为其前n项和，当n≥2时，2an+Sn2=anSn 成立，则 S10=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，，求a，c．‎ ‎18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．‎ ‎（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和Sn=n2，求数列的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．‎ ‎（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？‎ ‎（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了 ‎ 90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？‎ ‎21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．‎ ‎22．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4﹣an﹣．‎ ‎（1）令bn=2n﹣1•an，证明数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（　　）‎ A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣4或 x＞2} D．{x|x＜﹣4或 x＞﹣2}‎ ‎【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，‎ B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，‎ 则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得：=，‎ 又，‎ ‎∴tanA=tanB=tanC，‎ 又A，B，C∈（0，π），‎ ‎∴A=B=C=，‎ 则△ABC是等边三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c ‎【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D ‎【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0‎ B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，‎ C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；‎ D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；‎ 故选A ‎【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在等比数列{an}中，an＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则 a2=（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．36‎ ‎【分析】先求出公比q，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，‎ 解得q=3或q=﹣4（舍去），‎ ‎∴a2=6q=18，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（　　）‎ A．25 B．24 C．22 D．16‎ ‎【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．‎ ‎【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，‎ 则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，‎ 故的最小值为25．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（　　）n mile．‎ A．8 B．4 C． D．‎ ‎【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．‎ ‎【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，‎ 由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，‎ ‎∴∠BAC=15°，‎ ‎∴AC=BC=8，‎ ‎∴CD=AC•cos∠ACD=4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设等差数列{an}的公差d≠0，且a2=﹣d，若ak是a6与ak+6‎ 等比中项，则k=（　　）‎ A．5 B．6 C．9 D．36‎ ‎【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}的公差d≠0，且a2=﹣d，‎ 可得a1=a2﹣d=﹣2d，则an=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，‎ 若ak是a6与ak+6的等比中项，‎ 即有ak2=a6ak+6，‎ 即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，‎ 由d不为0，可得k2﹣9k=0，‎ 解得k=9（0舍去）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，‎ ‎∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知△‎ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，‎ ‎∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），‎ ‎∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，‎ ‎∴cosBsinC=sinCsinB，‎ ‎∵C∈（0，π），sinC≠0，‎ ‎∴cosB=sinB，即tanB=1，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B=，‎ ‎∵S△ABC=acsinB=ac=1+，‎ ‎∴ac=4+2，‎ 由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，‎ ‎∴b的最小值为2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（　　）‎ A．15 B．16 C．17 D．18‎ ‎【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．‎ ‎【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，‎ ‎∴a8＞0，a9＜0，‎ ‎∴S16==8（a8+a9）＜0，‎ 则使＜0成立的最小自然数n的值为16．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．‎ ‎【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，‎ ‎∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．‎ 由约束条件作出可行域如图，‎ 由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．‎ 设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．‎ 由=2，解得k=0或k=﹣．‎ ‎∴z=的最小值为1﹣=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知数列{an}中，a1=2，若an+1﹣an=an2，设Tm=，若Tm＜2018，则正整数m的最大值为（　　）‎ A．2019 B．2018 C．2017 D．2016‎ ‎【分析】an+1=an2+an=an（an+1）≥6，推导出=，从而，进而Tm=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．‎ ‎【解答】解：由an+1﹣an=an2，得an+1=an2+an=an（an+1）≥6，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），‎ ‎∵，‎ ‎∴Tm==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣‎ ‎∵Tm＜2018，‎ ‎∴m﹣＜2018，‎ ‎∴m＜2018+‎ ‎∴正整数m的最大值为2018，‎ ‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞‎ ‎13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是　（﹣1，1）　．‎ ‎【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．‎ ‎【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：‎ 由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2‎ 即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），‎ 经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，‎ ‎∴可行域中的整点为（﹣1，1），‎ 故答案为：（﹣1，1），‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为　　．‎ ‎【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．‎ ‎【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴A+=，即A=，‎ 由正弦定理得：，即，‎ ‎∴sinC=，∴C=或C=（舍）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为　6　．‎ ‎【分析】利用余弦定理可求BD2=5﹣4cosA=25+24cosA，解得cosA=‎ ‎，结合范围0＜A＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD圆内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠C=π，‎ ‎∵连接BD，由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA，‎ 且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）‎ ‎=9+16+2×3×4cosA=25+24cosA，‎ ‎∴61﹣60cosA=25+24cosA，‎ ‎∴cosA=‎ 又0＜A＜π，‎ ‎∴sinA=．‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=AB•AD•sinA+CD•CB•sin（π﹣A）‎ ‎=×6×5×+×3×4×=6，‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知数列{an}中，a1=l，Sn为其前n项和，当n≥2时，2an+Sn2=anSn 成立，则 S10=　　．‎ ‎【分析】由已知得Sn﹣1Sn=Sn﹣1﹣Sn，可得数列{}是首项为1，公差为 的等差数列，从而能求 ‎【解答】解：∵2an+Sn2=anSn，‎ ‎∴Sn2=an（Sn﹣2），an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），‎ ‎∴Sn2=（Sn﹣Sn﹣1）（Sn﹣2），‎ 即Sn﹣1Sn=Sn﹣1﹣Sn，…①‎ 由题意Sn﹣1•Sn≠0，‎ 将①式两边同除以Sn﹣1•Sn，得﹣=，‎ ‎∵a1=l，‎ ‎∴=1‎ ‎∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，‎ ‎∴=1+（n﹣1）=（n+1）‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴S10=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题 ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，，求a，c．‎ ‎【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．‎ ‎（2）利用正弦定理已知条件求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．‎ 则：，‎ 由于：0＜B＜π，‎ 解得：B=．‎ ‎（2）由于，‎ 所以：a=2c，‎ 由及a2+c2﹣b2=﹣ac．‎ 得到：a2+c2+ac=7．‎ 解得：a=2，c=1．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．‎ ‎（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；‎ ‎（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，‎ 由此求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为 ‎△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，‎ 当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，‎ 则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；‎ ‎（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 即a＞1或﹣≤a＜﹣1，‎ ‎∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；‎ ‎（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，‎ ‎∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，‎ 解得﹣1＜a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和Sn=n2，求数列的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）设数列{an}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{an}的通项公式可求；‎ ‎（2）由{bn}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，‎ 得，解得a1=q=2．‎ ‎∴；‎ ‎（2）当n=1时，b1=S1=1，‎ 当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎=，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．‎ ‎（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？‎ ‎（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了 90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？‎ ‎【分析】（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=‎ xy，利用基本不等式，可得结论；‎ ‎（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则 ‎（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，‎ 当且仅当x=y=200时取等号；‎ ‎（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，‎ 要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以 MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy 所以x=y=300时，MN有最小值 300．‎ ‎∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．‎ ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；‎ ‎（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2‎ ‎=2bccosA，得sinA=‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴A=．‎ ‎（2）由正弦定理可得，‎ ‎∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴，∴‎ ‎∴，2‎ ‎∴2b﹣c的取值范围为（0，3）‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4﹣an﹣．‎ ‎（1）令bn=2n﹣1•an，证明数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由已知可得2an=an﹣1+，故2n﹣1•an=2n﹣2•an﹣1+1，进而可得数列{bn}为等差数列，并得到{bn}的通项公式；‎ ‎（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4﹣an﹣．‎ ‎∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，‎ 当n≥2时，Sn﹣1=4﹣an﹣1﹣．‎ 则an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an﹣，即2an=an﹣1+，‎ 故2n﹣1•an=2n﹣2•an﹣1+1，‎ 即2n﹣1•an﹣2n﹣2•an﹣1=1，‎ ‎∵bn=2n﹣1•an，‎ 即{bn}是以1为首项，以1为公差的等差数列；‎ 即bn=n； ‎ ‎（2）由（1）知：⇔，‎ 根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，‎ 由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；‎ 当n=1时，9≤λ≤10；‎ 当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；‎ 当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；‎ 当n≥4时，不存在满足条件的λ值；‎ 综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎