【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-8函数与方程教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-8函数与方程教案

第八节　函数与方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．‎ ‎(对应学生用书第24页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．函数的零点 ‎ (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．‎ ‎ (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎ (3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a＞0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)或(x2,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜‎0”‎是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．‎ ‎2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)‎ ‎ (2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)‎ ‎ (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)‎ ‎ (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－‎4ac＜0时没有零点．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ ‎ A．0　　　　 B．1　　　　‎ ‎ C．2　　　　 D．3‎ ‎ B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，‎ ‎ ∴f(x)在(－1,0)内有零点，‎ ‎ 又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]‎ ‎3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ ‎ A．y＝cos x B．y＝sin x ‎ C．y＝ln x D．y＝x2＋1‎ ‎ A　[由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]‎ ‎4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)‎ ‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ ‎ C．(－2，－1) D．(－1,0)‎ ‎ D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，‎ ‎ f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，‎ ‎ ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，‎ ‎ f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D．]‎ ‎5．函数f(x)＝ax＋1－‎2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ 　[∵函数f(x)的图象为直线，‎ ‎ 由题意可得f(－1)f(1)＜0，‎ ‎ ∴(－‎3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，‎ ‎ ∴实数a的取值范围是.]‎ ‎(对应学生用书第25页)‎ 函数零点所在区间的判断 ‎　(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)‎ ‎ A．(a，b)和(b，c)内　　　　 B．(－∞，a)和(a，b)内 ‎ C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 ‎ (2)(2018·唐山模拟)设x0是方程x＝的解，则x0所在的范围是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (1)A　(2)B　[(1)∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，‎ ‎ f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，‎ ‎ 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A．‎ ‎ (2)构造函数f(x)＝x－，‎ ‎ 因为f(0)＝0－＝1＞0，‎ ‎ f＝－＝－＞0，f＝－＝－＜0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝x－在上存在零点，即x0∈，故选B．]‎ ‎ [规律方法]　　判断函数零点所在区间的方法：‎ ‎ 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是 ‎(　　)‎ ‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ ‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎ (2)(2018·衡阳模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　) 【导学号：79170044】‎ ‎ A．1 B．2‎ ‎ C．3 D．4‎ ‎ (1)C　(2)B　[(1)∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎ 又f(1)＝ln 1－－1＝－2＜0，‎ ‎ f(2)＝ln 2－0＜0，‎ ‎ f(3)＝ln 3－1＞0，‎ ‎ ∴x0∈(2,3)，故选C．‎ ‎ (2)f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.]‎ 判断函数零点的个数 ‎　(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)‎ ‎ A．1　　　　 B．2 ‎ ‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎ (2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝的零点个数是________．‎ ‎ (1)B　(2)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，‎ ‎ 可得|log0.5x|＝x.‎ ‎ 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．‎ ‎ (2)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，‎ ‎ 由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；‎ ‎ 当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－，‎ ‎ 综上，f(x)有3个零点．]‎ ‎ [规律方法]　　判断函数零点个数的方法：‎ ‎ (1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．‎ ‎ (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．‎ ‎ (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsinx＋－x2的零点个数为________．‎ ‎ (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是(　　)‎ ‎ A．0 B．2‎ ‎ C．4 D．6‎ ‎ (1)2　(2)C　[(1)f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2.‎ ‎ 设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．‎ ‎ 由图象知，两个函数图象有2个交点，故函数f(x)有两个零点．‎ ‎ (2)画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是4.‎ ‎]‎ 函数零点的应用 ‎　(2017·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．‎ ‎ [思路点拨]　先作出函数f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．‎ ‎ [解]　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，‎ ‎ 所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，‎ ‎ 则满足 ‎ 如图，即解得＜a＜.‎ ‎ 故a的取值范围是(，)．‎ ‎ [规律方法]　　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 ‎ (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎ (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎ (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎[变式训练3]　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎ 【导学号：79170045】‎ ‎ A．(1,3)　　　　 B．(1,2) ‎ ‎ C．(0,3)　　　　 D．(0,2)‎ ‎ (2)(2016·山东高考)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．‎ ‎ (1)C　(2)(3，＋∞)　[(1)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.‎ ‎ (2)作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋‎4m＝(x－m)2＋‎4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有‎4m－m20.又m>0，解得m>3.]‎