2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第7节 正弦定理和余弦定理

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第7节 正弦定理和余弦定理

‎2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第7节 正弦定理和余弦定理 ‎1．(2014·课标Ⅰ，16,5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ 解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.‎ 答案： ‎2．(2014·福建，12,4分)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ 解析：法一：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.‎ 法二：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.‎ 答案：2 ‎3．(2014·天津，12,5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．‎ 解析：由已知及正弦定理，得2b＝‎3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cos A＝＝－.‎ 答案：－ ‎4．(2014·江苏，14,5分)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C 的最小值是________．‎ 解析：由正弦定理可得a＋b＝‎2c，又cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cos C的最小值是.‎ 答案： ‎5．(2014·辽宁，17,12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ 解：(1)由·＝2得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.‎ 因a>c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝，‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.‎ 因a＝b>c，所以C为锐角，因此cos C＝＝＝.‎ 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝·＋·＝.‎ ‎6．(2014·湖南，18,12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝ ‎(1)求cos∠CAD的值；‎ ‎(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．‎ 解析：(1)如题图，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝.‎ 故由题设知，cos∠CAD＝＝.‎ ‎(2)如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.‎ 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，‎ 所以sin∠CAD＝＝＝，‎ sin∠BAD＝＝＝.‎ 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)‎ ‎＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ‎＝×－× ‎＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，＝.‎ 故BC＝＝＝3.‎ ‎7．(2014·课标Ⅱ，4,5分)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)‎ A．5 B. C．2 D．1‎ 解析：选B　由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°.‎ 当B＝45°时，由余弦定理可得 AC＝＝1，‎ 此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，‎ 与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．‎ 所以B＝135°.由余弦定理可得 AC＝ ＝.‎ ‎8．(2014·江西，4,5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－‎ b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 解析：选C　由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6　①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab　②.‎ 所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.‎ 所以S△ABC＝absin＝×6×＝.‎ ‎9．(2014·重庆，10,5分)已知△ABC的内角A，B，C满足sin ‎2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ 解析：选A　因为A＋B＋C＝π，由sin ‎2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得sin ‎2A＋sin 2B＋sin ‎2C＝，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin [(A＋B)－(A－B)]＋sin ‎2C＝，整理得2sin Ccos(A－B)＋2sin Ccos C＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，整理得4sin Asin Bsin C＝，即sin Asin Bsin C＝.又S＝absin C＝bcsin A＝casin B，因此S3＝a2b‎2c2sin Asin Bsin C＝a2b‎2c2.由1≤S≤2得1≤a2b‎2c2≤23，即8≤abc≤16，因此选项C，D不一定成立．又b＋c>a>0，因此bc(b＋c)>bc·a≥8，即bc(b＋c)>8，选项A一定成立．又a＋b>c>0，因此ab(a＋b)>ab·c≥8，即ab(a＋b)>8，显然不能得出ab(a＋b)>16，选项B不一定成立．综上所述，选A.‎ ‎10．(2014·山东，12,5分)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．‎ 解析：根据平面向量数量积的概念得·＝||·||cos A，当A＝时，根据已知可得||·||＝，故△ABC的面积为||·||·sin ＝.‎ 答案： ‎11．(2014·北京，15,13分)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，‎ cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ 解：(1)在△ADC中，因为 cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.‎ 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)‎ ‎＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B ‎＝×－× ‎＝ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3.‎ 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B ‎＝82＋52－2×8×5× ‎＝49.‎ 所以AC＝7.‎ ‎12．(2014·陕西，16,12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ 解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.‎ 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ ‎∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，‎ ‎∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 由余弦定理得 cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时等号成立．‎ ‎∴cos B的最小值为.‎ ‎13．(2014·安徽，16,12分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ 解：(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.‎ 由正、余弦定理得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.‎ ‎(2)由余弦定理得 cos A＝＝＝－.‎ 由于00)，则b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，故C＝.‎ 答案： ‎20．(2013福建，4分)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．‎ 解析：本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．‎ 因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，‎ 所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，‎ BD＝ ‎＝ ＝.‎ 答案： ‎21．(2013浙江，4分)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.‎ 解析：本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题．考查考生灵活利用公式的能力．△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(‎3a2－‎2c2)2＝0 ，＝，故sin∠BAC＝＝.‎ 答案： ‎22．(2013新课标全国Ⅰ，12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.‎ ‎(1)若PB＝，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.‎ 解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．‎ ‎(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.‎ ‎(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.‎ 在△PBA中，由正弦定理得＝，‎ 化简得cos α＝4sin α.‎ 所以tan α＝，即tan∠PBA＝.‎ ‎23．(2013江西，12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．‎ 解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力．‎ ‎(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos A cos B－ sin Acos B＝0，‎ 即有sin Asin B－ sin Acos B＝0，‎ 因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝ ，又0b B．a

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