【数学】2019届一轮复习北师大版 常用逻辑用语 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 常用逻辑用语 学案

第2练　常用逻辑用语 ‎[明考情]‎ 常用逻辑用语高考中时有考查，以选择题或填空题的形式出现，常以不等式、向量三角函数、立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.命题的真假判断.‎ ‎2.全称命题与特称(存在性)命题.‎ ‎3.充要条件.‎ 考点一　命题的真假判断 要点重组　(1)四种命题的真假关系：互为逆否命题具有相同的真假性.‎ ‎(2)含逻辑联结词的命题的真假判断规律：‎ p∧q：一假即假；p∨q：一真即真；p和綈p：真假相反.‎ 特别提醒　可以从集合的角度来理解“且”“或”“非”，它们分别对应集合运算的“交集”“并集”“补集”.‎ ‎1.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案　D 解析　在选项D中，“若m，n垂直于同一平面，则m∥n”和D中命题互为逆否命题，正确.‎ ‎2.原命题为“若 1， 2互为共轭复数，则| 1|＝| 2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 答案　B 解析　设 1＝a＋bi(a，b∈R)，则| 1|＝| 2|＝，‎ ‎∴原命题和逆否命题为真.‎ 举反例易知逆命题和否命题为假.‎ ‎3.已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A.(綈p)∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)‎ 答案　D 解析　由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，‎ ‎∴綈p为假命题，綈q为真命题，‎ 故(綈p)∨(綈q)为真命题.‎ ‎4.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A.p∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)‎ 答案　A 解析　易知命题p假q真，‎ ‎∴p∨q为真.‎ ‎5.已知c＞0，且c≠1.设命题p：函数f(x)＝logcx为减函数.命题q：当x∈时，函数g(x)＝x＋＞恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数c的取值范围为(　　)‎ A. B.(1，＋∞)‎ C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)‎ 答案　C 解析　由命题p真，可得0＜c＜1.‎ ‎∵当x∈时，g(x)min＝2，‎ ‎∴由命题q真，可得＜2，解得c＞.‎ 若p真q假，则0＜c≤；若p假q真，则c＞1，‎ 故实数c的取值范围是∪(1，＋∞).‎ 考点二　全称命题与特称(存在性)命题 方法技巧　含有一个量词的命题的否定要点 改量词，否结论(将全称量词或存在量词改变，同时否定结论中的判断词).‎ ‎6.已知命题p：∃x0∈R，，命题q：∀x∈，tanx＞sinx，则下列为真命题的是(　　)‎ A.(綈p)∧q B.(綈p)∨(綈q)‎ C.p∧(綈q) D.p∨(綈q)‎ 答案　D 解析　当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈时，tanx－sinx＝＞0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)为真命题.‎ ‎7.(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)‎ A.p∧q B.p∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)‎ 答案　B 解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln1＝0.‎ ‎∴命题p为真命题，∴綈p为假命题.‎ ‎∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，‎ 此时a2＜b2，‎ ‎∴命题q为假命题，∴綈q为真命题.‎ ‎∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题.‎ 故选B.‎ ‎8.命题“∃x0∈R，2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________.‎ 答案　[－2，2]‎ 解析　由题意知，命题“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，所以只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.‎ ‎9.已知p：∃x0∈R，mx＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________.‎ 答案　[1，＋∞)‎ 解析　由p∨q为假命题知，p，q都是假命题.‎ 由p为假命题知，綈p：∀x∈R，mx2＋2＞0为真命题，‎ ‎∴m≥0. ①‎ 由q为假命题知，綈q：∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0为真命题，‎ ‎∴Δ＝4m2－4≥0，‎ ‎∴m≤－1或m≥1. ②‎ 由①②知，m≥1.‎ 考点三　充要条件 方法技巧　充要条件判定的三种方法 ‎(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论.‎ ‎(2)集合法：根据集合间的包含关系判定.‎ ‎(3)等价转换法：根据逆否命题的等价性判定.‎ ‎10.(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.‎ ‎11.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　如图，①(x－1)2＋(y－1)2≤2表示圆心为(1，1)，半径为的圆内区域所有点(包括边界)；②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.‎ ‎12.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，则“c＜0”是“∃x0∈R，f(x0)＜0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若c＜0，则Δ＝b2－4c＞0，所以“∃x0∈R，f(x0)＜0成立.若∃x0∈R，f(x0)＜0，则有Δ＝b2－4c＞0，即b2－4c＞0即可.当c＝1，b＝3时，满足Δ＝b2－4c＞0，‎ 所以“c＜0”是“∃x0∈R，f(x0)＜0”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎13.(2017·天津)设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵<.‎ ‎∴－<θ－<，即0＜θ＜.‎ 显然当0＜θ＜时，sinθ＜成立.‎ 但sinθ＜时，由周期函数的性质知，0＜θ＜不一定成立.‎ 故“＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎14.已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，‎ 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，‎ 因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，‎ 所以綈q是綈p的充分不必要条件，‎ 即p是q的充分不必要条件.‎ ‎15.若“0＜x＜1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，0]∪[1，＋∞) B.(－1，0)‎ C.[－1，0] D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)‎ 答案　C 解析　(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2，‎ ‎∵(0，1)[a，a＋2]，‎ ‎∴解得－1≤a≤0.‎ ‎1.设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3}，命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32＜k＜0，那么(　　)‎ A.“p且q”为真命题 B.“p或q”为真命题 C.“綈p”为真命题 D.“綈q”为假命题 答案　C 解析　不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题.若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32＜k≤0，所以命题q也是假命题，所以“綈p”为真命题.‎ ‎2.下列命题是假命题的是(　　)‎ A.∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ B.∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 C.∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)‎ D.∀a＞0，函数f(x)＝(lnx)2＋lnx－a有零点 答案　B 解析　选项B中，当φ＝时，f(x)＝sin ‎＝cos2x是偶函数，故B中命题是假命题.‎ ‎3.设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，3] B.(－∞，－2]∪[2，3)‎ C.(2，3] D.[3，＋∞)‎ 答案　B 解析　若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a≥3x2在[－1，1]上恒成立，所以a≥3.若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的根的判别式Δ＝a2－4≥0恒成立，即a≤－2或a≥2.‎ 由题意，得p真q假或p假q真.‎ 当p真q假时，即a∈∅；‎ 当p假q真时， 即a≤－2或2≤a<3.‎ 综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2，3).‎ 解题秘籍　(1)对命题或条件进行转化时，要考虑全面，‎ 避免发生因为忽略特殊情况转化为不等价的问题.‎ ‎(2)正确理解全称命题和特称(存在性)命题的含义；含一个量词的命题的否定不仅要否定结论，还要转换量词.‎ ‎1.已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，命题q：函数y＝cos的图象关于点对称，则下列命题中的真命题为(　　)‎ A.p∧q B.p∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.(綈p)∨(綈q)‎ 答案　A 解析　易知函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称是真命题；将x＝代入y＝cos中，得y＝0，故函数y＝cos的图象关于点对称是真命题.因为p和q都为真，所以p∧q为真命题.‎ ‎2.(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)‎ A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2‎ B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2‎ C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2‎ D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2‎ 答案　D 解析　全称命题的否定是特称(存在性)命题，特称(存在性)命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.‎ ‎3.(2016·天津)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，‎ 故q<0是q<－1的必要不充分条件.故选C.‎ ‎4.设命题p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)内单调递增，命题q：m≥－5，则p是q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　f′(x)＝＋4x＋m(x＞0)，‎ 由f′(x)＝＋4x＋m≥0，得m≥－.‎ 因为＋4x≥2＝4，所以－≤－4，所以m≥－4，即p：m≥－4.所以p是q的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5.下列四个结论：‎ ‎①若x＞0，则x＞sinx恒成立；‎ ‎②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；‎ ‎③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∀x∈R，x－lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0≤0”.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案　B 解析　记f(x)＝x－sinx，x＞0，则f′(x)＝1－cosx≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此当x＞0时，f(x)＞f(0)，即x－sinx＞0，x＞sinx，①正确；命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆命题为“若x＝0，则x－sinx＝0”，②不正确；由“命题p∨q为真”不能得出“命题p∧q为真”，反过来，由“命题p∧q为真”可得“命题p∨q为真”，因此“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，③不正确；命题“∀x∈R，x－lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0≤0”，④正确.综上所述，其中正确结论的个数是2，故选B.‎ ‎6.设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.(－∞，0)∪ D.(－∞，0)∪ 答案　A 解析　∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，‎ 又由题意知q是p的必要不充分条件，‎ ‎∴[a，a＋1]⊇，‎ 可得0≤a≤.‎ ‎7.命题：“∃x0∈R，cos2x0≤cos2x0”的否定是________.‎ 答案　∀x∈R，cos2x＞cos2x ‎8.在直角坐标系中，点在第四象限的充要条件是____________.‎ 答案　 解析　点在第四象限 ‎⇔⇔－1

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