江西省南康中学平川中学信丰中学2019-2020学年高二12月月考试题 数学（理）
2019－2020学年第一学期南康中学平川中学信丰中学联考
高二年级理科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
2.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为
A. B. C. D.
3.设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
(1)若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；
(2)若mα，nα，m//β,n//β则α//β；
(3)m⊥β，n⊥α，m⊥nα⊥β；
(4)若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l//γ，则m//n。
其中正确的命题是
A.(1)(3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(3)(4)
4.如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为
A.4 B.4 C.6 D.6
5.下列关于命题的说法正确的是
A.命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题是“若xy＝0，则x≠0”
B.命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题
C.命题“x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“x∈R，x2－2x＋2≥0”
D.命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题是真命题
6.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为
A.11 B.12 C.13 D.14
7.从A、B两个城市分别随机抽取6台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设A、B两组数据的平均数分别为，，方差分别为，，则mA，mB
A. <，mA>mB B. <，mA
，mA>mB D. >，mA0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是 。
16.已知，直线y=mx+2m和曲线有两个不同的交点，他们围成的平面区域为N，向区域M上随机投以点A，点A落在N内的概率为p(N)，若，则实数的取值范围是 。
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤)
17.(本题满分10分)已知命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
18.(本题满分12分)将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数。图中三角形阴影部分的三个顶点为(0，0)、(4，0)和(0，4)。
(1)若点Q(a，b)落在如图阴影所表示的平面区域(包括边界)的事件记为A，求事件A的概率；
(2)若点Q(a，b)落在直线x+y=m(m为常数)上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值。
19.(本题满分12分)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
(1)在答题卡给定的坐标系中画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数x是否线性相关？(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测进店人数为80时，商品销售的件数(结果保留整数)。
(参考数据：)
参考公式：，其中，为数据x，y的平均数。
20.(本题满分12分)如下图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点。
(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ)若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(Ⅲ)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由。
21.(本题满分12分)十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在[1500，1750)，[1750，2000)，[2000，2250)，[2250，2500)，[2500，2750)，[2750，3000)(单位：克)中，其频率分布直方图如上图所示。
(Ⅰ)按分层抽样的方法从质量落在[1750，2000)，[2000，2250)的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；
(Ⅱ)以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以40元/千克收购；
B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购。
请你通过计算为该村选择收益最好的方案。
22.(本题满分12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1。
(1)若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD；
(2)当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
(3)在第(2)问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置。
2019—2020学年第一学期南康中学平川中学信丰中学联考
高二年级理科数学参考答案
1---12. ABDD BBAD AADC
13. 50 14. 2或-2 15. 16.
16.提示 当直线在从轴开始逆时针旋转到位置时，符合题意，取
极限，计算即可。
17. 解：设，
易知．┄┈4分
由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，┄┈6分
，┄┈9分
故所求实数的取值范围是．┄┈10分
18.解：（ 1）基本事件总数为6×6=36┄┈2分
当a=1时，b=1，2，3；┄┈3分
当a=2时，b=1，2；┄┈4分
当a=3时，b=1﹒┄┈5分
共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，
∴P（A）=┄┈8分
（2）当m=7时，┄┈10分
（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种，
此时P==最大┄┈12分
19.解（1）
┄┈2分
由散点图可以判断，商品件数与进店人数线性相关┄┈4分
（2）因为，，，
，，，
所以，┄┈7分
┄┈9分
所以回归方程，┄┈10分
当时，（件）┄┈11分
所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件. ┄┈12分
20.解（Ⅰ）证明：∵平面,∴；┄┈1分
∵底面是菱形，∴;┄┈2分
∵,平面,┄┈3分
∴平面.┄┈4分
（Ⅱ）证明：∵底面是菱形且，∴为正三角形，∴,┈┈5分
∵,∴；┈┈6分
∵平面，平面,∴；
∵,∴平面，┈┈7分
平面,∴平面平面.┄┈8分
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；┈┈9分
理由如下:
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，
∴且，┈10分
∴且，即四边形为平行四边形，┈┈11分
∴;
又平面，平面，
∴平面.┄┈12分
21.解Ⅰ由题得蜜柚质量在和的比例为2：3，
应分别在质量为，的蜜柚中各抽取2个和3个．┈┈2分
记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为， ，，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，，┈┈4分
其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，
故这2个蜜柚质量均小于2000克的概率为．┈┈5分
Ⅱ方案A好，┈┈6分
理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，
同理，蜜柚质量在，，
，的频率依次为，，，，．┈┈7分
若按A方案收购：
根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，┈┈8分
于是总收益为
元┈┈9分
若按B方案收购：
蜜柚质量低于2250克的个数为，
蜜柚质量低于2250克的个数为，┈┈10分
收益为元．┈┈11分
方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A．┈┈12分
22．解 （1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．
在中，ME为中位线，∴，
∵，∴，┈┈1分
∴四边形AMED为平行四边形．∴．┈┈2分
∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．┈┈3分
（2）解：以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则，，，，，┈┈4分
由条件得M为线段SB近B点的三等分点．
于是，即┈┈5分
设平面AMC的一个法向量为，则，
令y=1,将坐标代入得，┈┈6分
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．┈┈7分
（3）设，其中．
由于，所以．┈┈8分
所以，┈┈9分
可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，┈┈11分
此时，，
即点N在线段CD上且．┈┈12分
